Durée 2 heures Une feuille de formulaire autorisée Les exercices doivent être obligatoirement rédigés sur des feuilles séparées. Exercic (7 points) : (les 3 parties sont relativement indépendantes) De la vapeur surchauffée, de température T v = 650 C, circule à l intérieur d une longue conduite rectiligne en acier (λ 1 = 20 W/m K) de rayon intérieur R 0 = 25 cm et de rayon extérieur R 1 = 30 cm (voir figur). On souhaite isoler cette conduite avec de la magnésie (λ 3 = 0,08 W/m K). La température de ce matériau ne pouvant excéder T m = 300 C, on dispose entre le tube et la magnésie un isolant haute température de conductivité thermique λ 2 = 0,1 W/m K. Cette canalisation circule à l intérieur d une pièce, de température T a = 20 C. Les coefficients d échanges convectifs vapeur-tube et magnésie-air ambiant valent respectivement : h i = 120 W/m 2 K et h e = 30 W/m 2 K. T 0, T 1, T 2, T 3 sont les températures des surfaces correspondant respectivement aux rayons R 0, R 1, R 2, R 3. λ 1, λ 2, λ 3 sont les conductivités thermiques correspondant respectivement aux épaisseurs, e 2, e 3. h i et h e sont les coefficients d échange convectif entre les surfaces et les fluides intérieur et extérieur. Figur 1. Pour des raisons techniques, l épaisseur de magnésie est fixée à e 3 = 10 cm. Déterminer l épaisseur e 2 de la couche d isolant haute température répondant aux contraintes. Quel est, dans ces conditions, le débit d énergie (flux thermique) perdu par unité de longueur de tube? Toute méthode numérique ou graphique pour trouver l épaisseur e 2 sera acceptée, mais un minimum d explications devront être données. Évaluer la température T 3 à la surface extérieure de la magnésie. SP & MH 2 Pag sur 6
2. Cette canalisation est suspendue au plafond de la pièce par des pattes de scellement en acier de même nature que la canalisation (λ 1 = 20 W/m K), de section rectangulaire (l p = 20 cm, e p = 3 cm) et de longueur L p = 60 cm, régulièrement espacées de D p = 5 m (voir figure 2). Figure 2 On cherche à évaluer les pertes que leur présence occasionne à partir des hypothèses suivantes : les couches isolantes ont, le long des pattes, une épaisseur totale L i = 30 cm, le flux transitant de la patte vers l isolant est nul (pas de dispersion axiale), la température dans la patte ne dépend que de la variable x, le plafond est une paroi adiabatique (flux nul en bout d ailette). Donner l expression du flux dans la partie de l ailette encastrée dans l isolant. Donner l expression du flux dans la partie de l ailette en contact avec l air ambiant. Calculer le flux thermique (débit d énergie) évacué par chaque patte de scellement. Calculer l accroissement relatif de flux perdu auquel cela correspond. (cette question est la seule à ne pas être indépendante de la première partie). 3. Les considérations précédentes attribuent à T v une valeur constante et uniforme : que pensez-vous de cette hypothèse? Écrire, dans une zone sans patte de scellement, l équation de bilan dont l intégration permettrait de traiter complètement le problème thermique. SP & MH 2 Page 2 sur 6
Exercice 2 (8 points) : Mesure de la conductivité thermique. On souhaite réaliser la mesure de la conductivité thermique d un matériau isolant. A cet effet on réalise le montage suivant (cf. figure ci-dessous) T Chaud T1 T2 Acier Calorifuge T3 e Echantillon T4 T5 Acier T6 T Froid On applique sur les faces de l échantillon à analyser (barreau cylindrique de diamètre d = 4 cm et d épaisseur e = 3 cm) un flux de chaleur grâce au dispositif suivant : De part et autre de l échantillon, on installe : un échangeur de chaleur qui impose une température constante T chaud sur la partie supérieure et T froid sur la partie inférieure. on intercale de part et d autre, 2 blocs en acier identiques de même diamètre que l échantillon d épaisseur e acier = 5 cm, de conductivité connue ( acier = 25 W/m C) et instrumentés en température (3 thermocouples sur chaque blocs d aciers espacés de = 2 cm, qui donnent la température dans l axe). L ensemble du dispositif est parfaitement calorifugé latéralement. SP & MH 2 Page 3 sur 6
1/ Le dispositif ainsi conçu, permet-il de d étudier le problème en monodimensionnel? Justifiez votre réponse. 2/ Au cours de l essai, on relève le profil de température suivant : T1 ( C) T2 ( C) T3 ( C) T4 ( C) T5 ( C) T6 ( C) 101,5 99 96,5 36 33,5 31 Tracez le profil de température. Peut-on considérer le relevé de température satisfaisant? Justifiez votre réponse. Calculer alors le flux de chaleur (W) ainsi que la densité de flux de chaleur (W/m 2 ), traversant le dispositif. 3/ Déterminer la conductivité thermique du matériau ( matériau en W/m C). 4/ La valeur ainsi mesurée apparait sous estimée. En fait, dans le dispositif mis en place, le contact Acier/Matériau n est pas parfait. Il en résulte une résistance de contact sur chacune des faces du matériau en contact avec les blocs d acier. T T T Echantillon Acier Résistance de contact Pour en tenir compte, on renouvelle l expérience en prenant le même matériau à une autre épaisseur e = 4 cm. On relève les températures : T 1 ( C) T 2 ( C) T 3 ( C) T 4 ( C) T 5 ( C) T 6 ( C) 101 99 97 35 33 31 Écrire les équations de bilans pour les deux expérimentations (avec les deux échantillons d épaisseur e et e ) en tenant compte des résistances de contact. En déduire la conductivité thermique vraie du matériau. 5/ Calculer la valeur de la résistance de contact. 6/ Tracer le profil de température du dispositif avec le premier échantillon d épaisseur e = 3 cm. SP & MH 2 Page 4 sur 6
Exercice 3 (5 points) : Estimer le temps nécessaire pour cuire un hot-dog dans l eau bouillante. On suppose que le hot dog est initialement à 6 C, que le coefficient de transfert de chaleur par convection est d00 W/m 2 K, et que la température finale doit être de 80 C au centre (axe central). Quelle est à ce moment la température à la surface? Traiter le hot-dog comme un long cylindre de 20 mm de diamètre ayant les propriétés : =0.52 W/m.K c P =3350 J/kg.K =880 kg/m³ On pourra, si nécessaire, utiliser les diagrammes fournis, en remarquant que la conductivité est notée k, que T 0 est la température au centre (axe central), et T i la température initiale, T étant la température du fluide environnant. On note que la diffusivité thermique (m²/s) est bien : c P SP & MH 2 Page 5 sur 6
Température du centre en fonction du temps dans un cylindre de rayon r 0 Distribution de la température dans un cylindre de rayon r 0 SP & MH 2 Page 6 sur 6