Simulation numérique en thermo-hydraulique : modèles et applications

Simulation numérique en thermo-hydraulique : modèles et applications Marc MEDALE EPUM, Dpt Mécanique - Énergétique UMR 6595 CNRS - Université de Provence Technopôle de Château Gombert, Marseille Marc.Medale@polytech.univ-mrs.fr

Motivations générales Étudier les configurations où la thermique modifie radicalement le comportement hydrodynamique observé dans le cas isotherme ; Rechercher les différents régimes d écoulement et interpréter les comportements physiques observés ; Analyser l influence des principaux paramètres de contrôle, et de la géométrie.

Objectifs de l étude sur R-B-M. Re-visiter le problème à l aide des outils de simulation numérique ; Comprendre les raisons d existence de la convection cellulaire (réseau hexagonal) ; Montrer l influence du confinement (forme et taille du récipient) sur la structure de l écoulement (cellules) ; Identifier et caractériser quelques uns des régimes dynamiques observés.

Plan de la présentation Aspects physiques de l instabilité de RBM Modélisations physique et mathématique ; Raisons d existence de la convection cellulaire (rés. hex.) ; Principaux aspects numériques Modèles numériques développés ; Implémentation de la MAN ; Tests numériques de quelques variantes. Quelques applications potentielles Quelques régimes dynamiques atypiques. Conclusions et perspectives

Modélisation physique diffusion : Pr = ν χ Archimède : Ra = gβd3 T νχ Interface : Ma = γd T µχ Cr = µχ σd paroi froide Bi = hd k Seuils de convection : fs air liquide Déformation surface libre négligeable si : Ma c0 79,6 fv d 3 > 120 νχ g Ra c0 669 d>0,5 mm paroi chaude

Equations du problème Transferts thermiques dans la couche liquide θ T=T t +v. θ = c - T 2 θ +w d z+θ Conditions. aux limites thermiques θ. =0 paroi inférieure θ = 0 surface libre n =-Biθ À la surface libre Ecoulement dans la couche liquide.v =0 1 v Pr t +v. v =- p+ 2 v +Raθ z Conditions aux limites d écoulement v =0 parois rigides.. v. n=0 ; u z =-Ma θ x ; v z =-Ma θ y surface libre

Quelques exemples d écoulements de B.M. confinés Expériences de Koschmieder & Prahl (récipients circulaires et carrés) ; Expériences de Cerisier (récipients triangulaires et hexagonaux).

c) Seven cells, Ma=77, Ra=19, Γ=8,27 ; d) Nineteen cells, Ma=101, Ra=27, Γ=16,23

a) Seven cells, Ma=105, Ra=48, Γ=8.4 ; b) Fourty eight cells, Ma=105, Ra=48, Γ=22.4

Fourty five cells, Ma=105, Ra=48, Γ=22

Modèles numériques développés Calcul de solutions stationnaires Formulation couplée (vites.-pres.-temp.) ; Newton-Raphson + cubic line search ; Solveur direct parallèle (LU) ; Méthode de continuation (long. d arc, MAN). B) Calcul de solutions instationnaires Formulation segregated (vites.-pres.-temp.) ; Méthode de Projection Incrémentale ; Newton-Raphson + cubic line search ; Solveur itératif parallèle (BCGS + ASM) ; Schéma d Euler semi-implicite.

Implémentation d algorithmes spécifiques à l étude d instabilités Suivi de branche(s) de solutions stationnaires : Implémentation d algorithmes de continuation (Newton+CLA, MAN) ; Tests et validation (couche infinie) : detection du seuil et des bifurcations secondaires ; Etudes de stabilité des solutions obtenues : détermination de diagrammes de stabilité et caractérisation des diverses bifurcations.

Calculs parallèles à hautes perf. Choix stratégiques : Calculs parallèles à hautes performances (HPC) ; Durée de vie machines - codes : 5 et 10 ans ; Analyse fonctionnelle du code ; Développements centrés sur les spécificités de nos modèles ; Sous-traitance des parties génériques (Petsc, BLAS, LAPACK, MPI, etc.) ; Développement en local dans un environnement de programmation orienté objets (Petsc) ; Adéquation modèles - algorithmes - plates-formes ; Exécution à l IDRIS (Cray T3E, IBM SP3 et SP4), en local (Sun Enterprise, Sun Farm).

Principaux paradigmes de Petsc Performances Superposition des phases de com. et calculs ; Choix du moment opportun pour communiquer ; Optimisation des communications répétées ; Regroupement des données à communiquer avant de les envoyer ; Facilité de programmation Gestion d objets // de haut niveau (mat., vect., solver, etc.) ; Généricité (Prog. Orientée Objets) ; Portabilité.

Structure du code développé Développement dans l environnement de programmation de Petsc -> Petsc : Portable Extensible Toolkit for Scientific Computations (Argone National Laboratory, MCS) -> Bon compromis temps de dévelop. - performances d exploitation Architecture du code : MPI Application code PETSC Finite Element Library BLAS LAPACK

Typologie de résolution RAM Stationnaire Solver direct Qqes 10 iter. Instationnaire, implicite Solver itératif Qqes 10 3 pas. Instationnaire, explicite Solver itératif Qqes 10 6 pas. CPU

Suivi de branches de solutions Méthode Asymptotique Numérique (de base) : Partant d un point connu (U 0,λ 0 ) d une branche de solution, on développe en série entière : U(s) = U 0 + su 1 + s 2 U 2 + s 3 U 3 + s 4 U 4 + + s n U n λ(s) = λ 0 + sλ 1 + s 2 λ 2 + s 3 λ 3 + s 4 λ 4 + + s n λ n Paramétrisation de type longueur d arc : s = (U - U 0 ).U 1 + (λ - λ 0 ) λ 1 Détermination de long. de pas optimale (Cochelin, 1994) : s opt = (ε / Res(n+1) )(1/ n+1) Puis on recommence avec comme nouveau point de départ (U(s=s opt ), λ( s=s opt )), etc.

Application : RBM couche infinie Pr=1 ; Bi=0 ; Lx=10 λ c ; Ly=Lx/Sqrt(3) 1,4 1,2 MAN_N=30, eps=1e-9 1 sqrt(ec) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 60 80 100 120 140 Ma

Comparaisons MAN - NR_CLA Pr=1 ; Bi=0 ; Lx=10 λ c ; Ly=Lx/Sqrt(3) 1,6 Vitesse moyenne = f(ma) 1,4 1,2 Sqrt(Ec) 1 0,8 0,6 0,4 NRPF_CLA MAN_N=30, eps=1e-9 0,2 60 80 100 120 140 160 Ma

Optimisations et adaptations Optimisation du calcul des vecteurs seconds membres ; Auto-adaptation de l ordre maxi de perturbation en cours de continuation ; Paramétrisation de S. Lopez (CMAME, 2000).

Comparaisons (suite) 60 50 Prix des calculs Prix du calcul NRPF_CLA MAN_n=30 MAN_nadap_pCochelin MAN_nadap_pLopez heures CPU 40 30 20 10 0 80 100 120 140 160 Ma

Pourquoi ces écoulements multi-cellulaires? Théorème de l énergie cinétique 1 dec Pr dt =Ra Ω θ.v.z dv -Ma Σ V. θ ds - Φ Incompressibilité Cas 1 : Ra > Ra c et Ma = 0 1 2 3 1) Puissance des forces extérieures de volume (gravité) 2) Puissance des forces interfaciales (thermo-capilarité) 3) Dissipation visqueuse Cas 2 : Ra = 0etMa> Ma c

Justification numérique Parce que c est la configuration qui satisfait le mieux l ensemble des conditions suivantes : 1) convertir l énergie thermique en énergie cinétique ; 2) minimiser la dissipation visqueuse ; 3) paver régulièrement le plan. C est donc la configuration qui maximise les transferts 2 Energie cinétique = f(t) Ma=105 ; Ra=0 0,006 Energie interne = f(t) Ma=105 ; Ra=0 1,1 Nusselt adim en surface = f(t) Ma=105 ; Ra=0 Energie cinétique (par unité de volume) 1,5 1 0,5 Ec cylindre Ec hexagone Ec pentagone Ec carré Energie interne (par unité de volume) 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 Eth cylindre Eth hexagone Eth pentagone Eth carré Nusselt adim (surface libre) 1,08 1,06 1,04 1,02 Nu_sl cylindre Nu_sl hexagone Nu_sl pentagone Nu_sl carré 0 0 10 0 1 10 1 2 10 1 3 10 1 4 10 1 5 10 1 6 10 1 Temps adim 0 0 10 0 1 10 1 2 10 1 3 10 1 4 10 1 5 10 1 6 10 1 Temps adim 1 0 10 0 1 10 1 2 10 1 3 10 1 4 10 1 5 10 1 6 10 1 Temps adim

Conditions d existence du réseau hexagonal Proche du seuil de convection ; Soit dans un récipient de grand rapport d aspect ; Soit dans un récipient plus petit, mais dont la géométrie est `compatible` (en dimensions et en formes) ;

3. Quelques applications potentielles Récipient circulaire ; Récipient hexagonal ; Récipient pentagonal ; Récipient carré.

Récipient circulaire : Γ=4.7; Pr=880; Ma=140; Ra=60.

Récipient hexagonal : Γ=4.08; Pr=880; Ma=131; Ra=60.

Récipient pentagonal : Γ=4.24; Pr=880; Ma=150; Ra=60.

Récipient carré : Γ=9.75; Pr=880; Ma=130; Ra=0.

Conclusions et perspectives Le domaine des instabilités thermoconvectives est très riche et encore très peu exploré numériquement ; Le développement de modèles numériques adaptés à la classe de problème considérée reste un défi ; Il y a encore beaucoup de choses passionnantes à faire en modélisation numérique des écoulements