Mathématiques Stage n C.F.A du bâtiment Ermont 1
Rappels : Le périmètre p d un cercle de rayon R se calcule avec la formule : p = 2. π. R Un tour complet correspond à un angle de 360. Nous avons réussi à la leçon précédente à calculer des longueurs d arcs de cercle d angles 180, 90 et 45 (voir la leçon sur le cercle). Mais comment faire pour calculer la longueur d un arc d angle quelconque, comme 37, 93 ou encore 148? Remarque fondamentale : Un arc de cercle est défini par son rayon et son angle : si l un des deux est inconnu, on ne connait pas l arc et on ne peut rien faire. Si la valeur du rayon augmente, la longueur de l arc augmente. Si la valeur de l angle augmente, la longueur de l arc augmente. Tous les exercices concernant le calcul de la longueur d un arc commencent donc par la même chose : trouver combien valent le rayon R et l angle a de l arc de cercle. Si on ne les trouve pas, on ne peut rien faire 2
Rappels : On se donne un cercle de rayon R = 10 cm. Quelle formule allez-vous utiliser pour calculer le périmètre p de ce cercle? Calculez le périmètre p de ce cercle : 1) On découpe ce cercle en petits arcs de cercle identiques, d angle égal à 1 : a) Combien de petits arcs de 1 faut-il pour reconstituer le cercle en entier? b) Proposez un calcul de la longueur d un de ces petits arcs de 1 : 3
2) On se donne à présent un arc de 23 : a) Combien de petits arcs de 1 faut-il pour reconstituer un arc de 23? b) Proposez un calcul de la longueur d un arc de 23 : 3) On se donne à présent un arc d angle a, où a est un angle quelconque compris entre 0 et 360. a) Combien de petits arcs de 1 faut-il pour reconstituer un arc d angle a? b) Proposez un calcul de la longueur d un arc d angle a : 4
On considère un cercle de rayon R, et on place deux points distincts A et B sur le cercle. La partie de cercle qui se trouve entre A et B (et qui est en gras sur le schéma ci-dessous) s appelle arc de cercle. C est une forme circulaire définie par son rayon R et son angle a. On calcule la longueur de cet arc en utilisant la formule : = 2. π. R. a 360 5
Remarque : Voici trois extraits d instructions techniques pour le cintrage des tubes. Lisez-les puis répondez aux questions suivantes : a) Qu appelle-t-on longueur développée d un tube? b) Quelle est à chaque fois la première instruction à suivre? c) Quel problème rencontre-t-on quand on veut calculer la longueur développée d un tube cintré avec précision? 6
Exercice 1 : a) Calculez la longueur développée du coude : b) Quelle est la longueur totale du tube? Exercice 2 : On donne : r = 60 mm e = 30 mm d = 70 mm 1) Tube n 1 : a) Calculez la longueur développée du coude : b) Quelle est la longueur totale du tube? 7
2) Tube n 2 : a) Calculez le rayon de cintrage du tube n 2 : b) Calculez la longueur développée du coude : c) Quelle est la longueur totale du tube? Exercice 3 : Calculez la longueur de tube nécessaire pour réaliser cette lyre de dilatation : Cotes en mm. Résultat au mm prés. 8
Exercice 4 : Calculer la longueur développée de ce tube. Toutes les cotes sont en mm. On donne : r.c = 81 mm. 9
Exercice 5 : On doit réaliser les trois tubes concentriques représentés ci-contre : On donne : R1= 60 mm e = 50 mm D D = 350 mm D Calculer la longueur développée de chaque tube, puis le total des trois. 10
Exercice 6 : On veut réaliser le raccord à direction perpendiculaire et retour d équerre suivant. Les cotes sont en mm. a) Entourez sur le dessin les cotes qui seront nécessaires au calcul de la longueur développée totale de ce tube. b) Calculez cette longueur développée totale. 11
Synthèse : les calculs de longueurs d arcs de cercle Objectif 1 : Savoir calculer la longueur d un arc de cercle d angle simple et usuel (Obligatoire et important pour tout le monde) Objectif 2 : Savoir calculer la longueur d un arc de cercle d angle a quelconque. (Pour ceux qui veulent aller au bout des choses sur ce sujet) 12
Objectif 1 : Savoir calculer la longueur d un arc de cercle d angle simple et usuel (Obligatoire et important pour tout le monde) Pour un cercle entier, donc pour 360, avec un rayon R, le périmètre p vaut : P = 2 x x R p 2 p 4 p 8 p 3 p 6 p 12 13
Objectif 2 : Savoir calculer la longueur d un arc de cercle d angle a quelconque. (Pour ceux qui veulent aller au bout des choses sur ce sujet) R a 2 π R a 2 x π x R Le périmètre du cercle entier 360 On ne conserve que 1 x a On multiplie par le nombre de degrés qu il nous faut 14