Préparation des élèves à l écrit du DNB en Mathématiques

Préparation des élèves à l écrit du DNB en Mathématiques Sommaire Commentaires généraux page 2 Evaluation par compétences page 3 Activités Numériques page 4 Activités Géométriques page 7 Problème page 10 DNB 2013 page 13 Acquis des élèves DNB 2011 page 14 Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 1

Commentaires généraux Ce document a été préparé à partir des différents sujets proposés en DNB blanc dans les collèges de l académie. Les objectifs de ce document sont de faire un état des lieux, de tirer quelques indicateurs sur les types de sujets proposés et de donner des pistes de travail pour préparer au mieux les élèves pour la session 2013. Le travail d évaluation des compétences doit se faire autour des huit items suivants : Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des problèmes C1 : Rechercher, extraire et organiser l information utile C2 : Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes C3 : Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer C4 : Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l aide d un langage adapté. Savoir utiliser des connaissances et des compétences mathématiques D1 : Organisation et gestion des données D2 : Nombres et Calculs D3 : Géométrie D4 : Grandeurs et Mesures. Il est important que les élèves prennent l habitude d écrire leur démarche, leur raisonnement. Pour cela, il faut leur expliquer qu une compétence peut être acquise sans que la réponse soit complètement exacte. Quelques éléments à prendre en compte : - habituer les élèves à lire et à comprendre des énoncés longs : c est l une des difficultés apparue lors des derniers sujets de l examen du DNB - penser à l utilisation du tableur - mettre en avant la recherche et la résolution de problèmes. Rappelons que ce travail doit commencer dès la classe de sixième. Le document ressource Aide au suivi de l acquisition des connaissances et des capacités permet d avoir des repères sur les attendus à chacun des niveaux du collège. Au final, 22 établissements sur 30 ont envoyé leur sujet de brevet blanc. Beaucoup de sujets se ressemblent ou ont des exercices en commun. Plusieurs sujets se basent sur l examen de 2010 avec ou sans modification d énoncé. La plupart des sujets propose des exercices intéressants. 6 établissements font apparaître l évaluation par compétences directement sur le sujet. Les moyennes se situent entre 4,8 et 9,8 sur 20 : il y a donc encore un travail à faire sur ce type de sujet pour que les élèves puissent progresser et améliorer leurs résultats. Quelques établissements proposent encore des sujets «ancienne version», il faut absolument prendre l habitude de faire travailler les élèves sur des sujets «nouvelle version» qui présentent moins de technique calculatoire. Dans l ensemble, les équipes pédagogiques ont fait un grand pas en avant vers le changement des pratiques. La suite de ce document a été voulue «constructive». Pour vous donner des pistes de travail, nous sommes partis d exemples choisis dans les différents sujets. Nous avons donc fait le choix d analyser quelques exercices, de mettre en avant quelques modifications et de signaler les items du socle commun évalués. Il semble important de mutualiser les ressources, donc n hésitez pas à envoyer vos sujets de devoir commun, vos travaux ou activités et les prochains DNB Blanc. L ensemble des sujets fournis est disponible sur le site disciplinaire : http://webtice.ac-guyane.fr/math/spip.php?rubrique8 Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 2

Evaluation des compétences Dans cette partie, seuls les sujets mettant explicitement l évaluation des compétences ont servi de base de travail. Dans une logique de cohérence avec le LPC, il est important de faire apparaître au moins les huit items usuels C1, C2, C3, C4 et D1, D2, D3, D4, mais il n est pas utile d aller dans le détail et de chercher à évaluer des sous-sous-items. Même si cela peut être intéressant de les expliciter avec les élèves, en tant qu enseignant il est plus important d évaluer globalement l item. Voilà des exemples de regroupement des sous-items : 2 3 4 5 6 7 8 10 11 1 devient 9 D1 9 10 11 D2 1 2 3 4 D3 6 7 D4 5 8 En revanche, il pourrait être très intéressant, comme dans les deux exemples qui suivent, d expliciter dans quels exercices les items seront validés tout en restant sur des items plus généraux. Exemple 1 Organisation et gestion de données Exercices Je sais effectuer, à la main, des traitements de données. Ex1 Je sais calculer un taux de pourcentage, une fréquence. Ex 1 Je sais lire, utiliser, interpréter des données présentées sous forme de Ex 1 et Pb tableaux, de graphiques Nombres et calculs Exercices Je sais mobiliser des écritures différentes d un même nombre. Ex 2 et 3 Je mène à bien un calcul instrumenté (calculatrice). Ex 2 ; 3 ; 4 et Pb Je sais choisir l opération qui convient au traitement de la situation. Ex 2 ; 3 Je sais conduire un calcul littéral simple. Ex 4 et Pb Géométrie Exercices Je sais effectuer des constructions simples (en utilisant des outils ; des Ex 4 définitions Je sais utiliser ou propriétés) les propriétés d une figure et les théorèmes de géométrie Ex 4 et Pb pour traiter une situation simple. Je sais raisonner logiquement, pratiquer la déduction, démontrer. Ex 4 et Pb Grandeurs et mesures Exercices Je sais calculer une longueur, une aire Ex 4 et Pb Pratiquer une démarche scientifique Exercices Je sais rechercher, extraire et organiser l information utile Tous Je sais réaliser, manipuler, appliquer des consignes Tous Je sais présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, Tous communiquer Exemple 2 1) Rechercher, extraire et organiser l information utile / Extraire d un document papier, d un fait observé les informations utiles : compétence évaluée sur les exercices numérique 2 et géométrique 1 2) Organisation et gestion de données / appliquer un taux de pourcentage : compétence évaluée sur l exercice numérique 2 3) Géométrie / Utiliser les propriétés d une figure et les théorèmes de géométrie : compétence évaluée sur l exercice géométrique 1 devient devient D1 D2 D3 D4 C1 C2 C4 Ex 1 - Pb Ex 2, 3, 4 - Pb Ex 4 - Pb Ex 4 - Pb Tous Tous Tous D1 Num 2 D3 Geo 1 C1 Num 2 Geo 1 Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 3

Activités Numériques Dans la partie numérique, il est important de faire attention à ce que les exercices ne soient pas trop techniques, ni trop calculatoires. Aussi importante soit la maîtrise des techniques de calculs, les élèves doivent être régulièrement confrontés à ce type d exercices, en particulier lors des activités rapides de début de séance, afin que ces savoirs soient ancrés dans la durée en étant réactivés régulièrement. Le rendez-vous pour évaluer la maîtrise est plus dans le quotidien, dans la résolution de problèmes, que lors d une épreuve de DNB où compte tenu du temps limité tout ne pourra être abordé. Il ne faut donc pas en faire une fixation lors de la conception des devoirs communs ou des DNB Blanc. De plus, on observe que, très souvent, les calculs proposés sont répétitifs pour un contrôle du type DNB. Quelques équipes ont fait le choix de faire apparaître l utilisation d un tableur et d autres ont mis en avant un exercice plus ouvert. Exemple 1 : Calcul numérique Ce type d exercices est à proposer en cours, mais pas forcément dans un contrôle de type DNB. Ils permettent d évaluer des connaissances D2. Exemple 2 : Calcul littéral Il est plus intéressant de proposer, lors d un contrôle, un exercice du type programme de calcul. Ici, les indications induisent une stratégie de résolution experte hors de portée de certains élèves. Les connaissances testées sont du type D2. Ouvrir le questionnement favorise l activité de chacun en augmentant la palette des stratégies accessibles. Dans un programme de calcul, les connaissances testées portent sur les items C1, C2, C3, C4 et D2. On est donc amené à valider plus de connaissances que l exercice précédent (voir vade-mecum page 7). Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 4

Activités Numériques Exemple 3 : Pgcd Exemple 4 : introduction du tableur La question 1 permet de tester en cours la compréhension des techniques de recherche du pgcd. On travaille sur des connaissances C2 et D2. La question 2 permet d évaluer en plus les items C1 et C4. Pour un devoir de type DNB, il est plus intéressant de ne pas mettre la question 1, il sera alors possible d évaluer en plus l item C3 et donc de savoir si l élève est capable de mobiliser cette notion ce qui est différent. C est un constat récurrent sur la difficulté des élèves français à mobiliser leur connaissance aux évaluations PISA. Ces deux exercices permettent de tester la connaissance des élèves sur les formules simples et le vocabulaire qu ils doivent apprendre à maîtriser au collège. Il est important de les habituer à ce type de questionnement exigible au DNB. Cela permet aussi d évaluer les élèves, en plus de l item D1, sur les items C1 et C2. Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 5

Activités Numériques Exemple 5 : problème ouvert A l aide des informations données par ces trois dessins, déterminer combien pèsent le grand Dédé, le petit Francis et le chien Boudin. Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. Cet exercice n est pas difficile, mais il demande une habitude de recherche que les élèves n ont pas forcément. Il est important de les préparer à ce type de questions pour qu ils ne rendent pas «feuille blanche». Il faut que les élèves comprennent qu un schéma, un dessin, un début de calculs, des tests, sont autant de traces qui peuvent être valorisées. L entrainement à la narration de recherche, pourquoi pas à l aide d un cahier dédié, doit être une activité régulière en cours. Il est intéressant de constater que deux établissements ont donné ce même exercice. L évaluation des compétences porte sur les items C1, C2, C3 et C4, et dans ce problème sur l item D2. Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 6

Activités Géométriques En géométrie, les exercices observés restent très classiques et très peu mettent en œuvre les items du domaine Pratiquer une démarche scientifique alors que la mise en situation dans le cadre de la recherche de problèmes reste l objectif majeur du programme. Le choix a été fait de présenter quelques exercices contextualisés. Exercice 1 Cet exercice, classique en soi, est intéressant par sa présentation. Il permet de contextualiser la réciproque du théorème de Pythagore. Les longueurs ne sont pas indiquées sur la figure, l élève doit rechercher l information. Le raisonnement porte sur le choix de la propriété à utiliser. L évaluation des compétences porte ainsi sur les items C1, C2, C3 et C4, et dans ce problème sur l item D3. Exercice 2 Cet exercice permet de contextualiser l utilisation du théorème de Thalès. L élève doit chercher les informations concernant le parallélisme et ce qu il doit déterminer. Le raisonnement porte sur le calcul de la longueur CT et sur la prise de décision pour répondre à la question. L évaluation des compétences porte sur les items C1, C2, C3 et C4, et dans ce problème sur l item D3. Plusieurs établissements ont proposé cet exercice en rajoutant des questions permettant de guider les élèves. Cet exercice, issu d un sujet existant, a été proposé sous différentes formes par plusieurs établissements : à l aide de questions fermées, ou comme ici à l aide d une question ouverte. Que penser de l élève qui sans utiliser le théorème de Thalès aura utilisé une réduction du triangle pour constater que CT < 3,5 m? Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 7

Activités Géométriques Exercice 3 Jean-Baptiste, élève de troisième, se promène sur l île de Manhattan, à New York. On lui a demandé de vérifier que les 14 ème et 42 ème rues sont bien parallèles, et que la 6 ème avenue est perpendiculaire à ces deux rues. Pour cela, il mesure des distances grâce à l avenue de Broadway. Voici son parcours : Jean-Baptiste part du point C à 11h, remonte la 6 ème avenue jusqu à Bryant Park, tourne à gauche jusqu à Times Square, puis descend Broadway jusqu à Union Square Park où il arrive à 12h. Là, il s arrête pour faire une pause. Jean-Baptiste a mesuré les longueurs suivantes : CE = 1400 m, EB = 560 m BT = 192 m, TE = 592 m et EU = 1480 m 1. Exprimer en kilomètres le trajet réalisé par Jean-Baptiste. La vitesse moyenne d un marcheur se situe entre 5 km/h et 6 km/h. Comment peut-on qualifier l allure de Jean-Baptiste? Expliquer! 2. Montrer que les droites (BT) et (CU) sont parallèles. 3. Calculer la distance entre le point de départ C de Jean-Baptiste et Union Square Park. 4. Montrer que la 42 ème rue et la 6 ème avenue forment un angle droit. Cet exercice est intéressant car il met en œuvre différents domaines mathématiques D3 et D4. La recherche des informations se fait à travers le texte mais aussi par la compréhension de la figure. L évaluation des compétences porte sur les items C1, C2, C3 et C4, et dans ce problème sur l item D3. Exercice 4 Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 8

Activités Géométriques L élève doit tout d abord chercher les informations, puis mettre en œuvre une démarche, un raisonnement. L évaluation des compétences porte sur les items C1, C2, C3 et C4, et dans ce problème sur l item D4. Exercice 5 L exercice ainsi présenté laisse peu de l attitude aux élèves pour la prise d initiative. Seuls les items mathématiques sont réellement évalués. Il est alors intéressant de modifier l énoncé pour mettre en pratique les items de recherche car l énoncé est porteur de sens. Une reformulation possible : Un équipage guyanais, participant à une course de voiliers, décide de refaire les voiles de son trois mâts. L équipage sait que DCE est un triangle rectangle en C et EFG est un triangle rectangle en E, que les points D, F et G sont alignés et que les points G, E, C et B sont alignés. On a aussi EG = 4,5 m, FG = 7,5 m, EC = 7,5 m, AB = 24 m, BC = 7 m et AC = 25 m. Déterminer la surface de toile nécessaire pour refaire les trois voiles. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. L élève doit alors prendre l initiative des théorèmes à utiliser. Il met en œuvre les compétences C1, C2, C3 et C4. Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 9

Partie - Problème Pour la partie problème, les exercices proposés sont souvent les problèmes des sujets de DNB des années précédentes. Encore trop de problèmes restent très classiques et très peu mettent en œuvre les items du domaine Pratiquer une démarche scientifique alors que la mise en situation dans le cadre de la recherche de problèmes reste l objectif majeur du programme. Le choix a été fait de présenter quelques énoncés plus contextualisés. Problème 1 Ce problème (tout l énoncé n a pas été reproduit) est intéressant pour la pratique d une recherche et d un raisonnement. Les élèves sont amenés à chercher les informations dont ils ont besoin pour répondre aux questions. Tous les items C1, C2, C3 et C4 peuvent être évalués. Les capacités mathématiques mises en œuvre sont nombreuses et les quatre items D1, D2, D3 et D4 sont abordés. Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 10

Partie - Problème Problème 2 : Ce problème (tout l énoncé n a pas été reproduit), plutôt concret pour les élèves, permet aussi de mettre en œuvre une pratique de la recherche d informations et de raisonnement. L évaluation des compétences porte sur les items C1, C2, C3 et C4, et dans ce problème sur D1, D2 et D4. Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 11

Partie - Problème Problème 3 : Le magasin de produits de beauté Lestétic propose deux offres simultanément : l une est un bon de réduction envoyé par la poste, l autre est une offre proposée sur son site internet. Document 1 : Le bon de réduction envoyé par courrier. Votre coupon CADEAU 10% sur vos achats en magasin. Document 2 : Bienvenue sur le site internet des produits de beauté Lestétic 20% sur vos achats en ligne Cliquez vite ici Livraison Colissimo en 3 à 5 jours : 5,95 Eva souhaite acheter un pot de crème à 30 le pot. Laquelle de ces offres, Eva va choisir? Consignes données à l élève : Tu dois déterminer quelle offre est la plus intéressante pour Eva qui n a pas de frais de déplacement pour se rendre au magasin, et qui souhaite acheter un pot de crème à 30. Tu présenteras ta démarche et tes arguments. Ce problème ne donne pas de consignes précises aux élèves sur la méthode à adopter. C est à eux de mettre en œuvre un raisonnement pour aboutir à une conclusion. L évaluation des compétences porte sur les items C1, C2, C3 et C4, et dans ce problème sur l item D1. Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 12

DNB 2013 Le BO n 13 du 29 mars 2012 publie les nouvelles modalités pour l examen du DNB session 2013. Voici quelques informations et commentaires apparaissant dans ce texte et concernant plus particulièrement l épreuve de mathématiques : - la disparition des trois parties : Numérique / Géométrie / Problème au profit de 6 à 10 exercices : en général, cela correspondant au nombre d exercices donnés dans les différents DNB, la différence va porter sur le mélange des domaines mathématiques abordés dans les exercices. - dans l'esprit du socle commun, le sujet doit permettre d'apprécier la capacité du candidat à mobiliser ses connaissances et à mettre en œuvre une démarche scientifique pour résoudre des problèmes simples, en particulier l'ensemble du sujet doit préserver un équilibre entre les quatre premiers items de la compétence 3 : il est donc important d habituer les élèves à mettre en œuvre les items C1, C2, C3 et C4, en particulier, la recherche et l utilisation d informations dans différents types de documents. - les sujets sont élaborés en fonction des programmes ou référentiels des classes de troisième correspondant à la série ; ils peuvent faire appel aux acquis des classes antérieures. Les exercices correspondent aux exigences du socle commun pour la série professionnelle et portent sur différentes parties du programme de troisième pour la série générale. - un des exercices au moins a pour objet une tâche non guidée, exigeant une prise d'initiative de la part du candidat : il faut donc faire travailler régulièrement les élèves sur des questions ouvertes où toutes les démarches peuvent être valorisées et pas seulement la démarche experte. - les exercices peuvent prendre appui sur des situations issues de la vie courante ou d'autres disciplines : comme on a pu le constater dans les sujets du DNB des dernières années, il est de plus en plus important de contextualiser les exercices. - les solutions exactes, même justifiées de manière incomplète, comme la mise en œuvre d'idées pertinentes, même maladroitement formulées, seront valorisées lors de la correction, en particulier doivent aussi être pris en compte les essais, les démarches engagées, même non aboutis. Les candidats en sont informés par l'énoncé : une évaluation par compétences prend en compte une démarche globale et valorise les efforts de l élève. On tend de plus en plus vers une globalisation de la notation. Les collègues du collège Albert Londres ont proposé à leurs élèves pour le deuxième DNB Blanc, un sujet ne faisant pas apparaître les parties numériques et géométriques. Il serait intéressant d avoir un bilan par rapport aux résultats et aux réactions des élèves. Il est aussi intéressant de consulter le sujet du DNB 2012 de Pondichéry. Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 13

Acquis des élèves DNB 2011 Guyane Centre de Cayenne et de Saint-Laurent / 2714 copies corrigées A - Activités numériques, Exercice 1, question 1 : Calculer une fréquence à partir du diagramme en bâton. Démarche correcte Démarche incorrecte Pas de réponse Guyane 36% 48% 16% France 60,3% 30,8% 8,9% La notion de calcul de fréquence est introduite dans les programmes en classe de 5 ème et exigible pour le socle commun en classe de 4 ème. C est donc une notion que les élèves doivent maîtriser en fin de 3 ème. Au vu des résultats, il semble important que cette notion soit retravaillée en classe de 3 ème. B - Activités numériques, Exercice 2 : Résoudre un problème du premier degré (on comptabilisera toute démarche de résolution correcte engagée par le candidat, même si elle n aboutit pas). Démarche correcte Démarche incorrecte Pas de réponse Guyane 13% 37% 50% France 37% 28,8% 34,2% Encore trop d élèves ne donnent pas de réponse. Ils ne sont pas encore dans une démarche expérimentale, dans une démarche de recherche de solution. Il faudrait donc proposer plus d activités ouvertes et valoriser davantage le travail de recherche. C - Activités géométriques, Exercice 1 : Reproduire une figure. Démarche correcte Démarche incorrecte Pas de réponse Guyane 55% 25% 20% France 78,7% 14,3% 7% Les élèves ont l habitude de construire des figures dans les classes de 6 ème et de 5 ème. On constate qu un élève sur deux ne sait plus faire ce type de construction. Il semble donc important que ce travail de construction soit poursuivi en 4 ème et en 3 ème pour s assurer qu en fin de collège une plus grande proportion des élèves maîtrise cette capacité exigible pour le socle commun. D - Activités géométriques, Exercice 2, question 2.a : Calculer le volume d un pavé droit. Démarche correcte Démarche incorrecte Pas de réponse Guyane 20% 25% 55% France 48,9% 23% 28,1% Cette notion est introduite en classe de 6 ème pour être reprise et consolidée dans les niveaux supérieurs. Il semble, au vu des résultats, important de rappeler qu il ne faut pas systématiquement laisser la séquence sur les volumes pour la fin de l année, mais prévoir des progressions qui permettent d introduire les notions de calculs de volume suffisamment tôt dans l année et les réinvestir sous forme de problème régulièrement. E - Problème, Partie III, question 1.a : Effectuer une lecture graphique. Démarche correcte Démarche incorrecte Pas de réponse Guyane 61% 6% 33% France 83,1% 3,1% 13,8% Le problème de la gestion du temps peut expliquer qu un élève sur trois ne réponde pas. F - Problème, Partie III, question 1.b : Modéliser une situation de proportionnalité. Démarche correcte Démarche incorrecte Pas de réponse Guyane 9% 19% 72% France 23,9% 25,4% 50,7% Le problème de la gestion du temps peut expliquer qu un élève sur trois ne réponde pas à la question. Inspection Pédagogique Régionale de Mathématiques Page 14