Chapitre 4 : Notions de fonctions Objectifs : *Connaitre la définition d une fonction et le vocabulaire de base * Savoir tracer une représentation graphique *Savoir résoudre graphiquement des équations et des inéquations * Savoir résoudre des inéquations du premier degré et de produit nul et quotient. Exemple : 1) Quel est le prix du gazole en 1998? en 2008? en 2013? 2) Quel est le prix du sans plomb 95 en 1998? en 2008? en 2013? 3) Pourquoi la courbe du super Pb s arrête t-elle soudainement et pas les autres? 4) En quelle(s) année(s), le sans plomb 95 coûtait 1? Même question pour le gazole? Chapitre 4 : Notions de fonctions Page 1
I. Vocabulaire et notations Définition: Soit D une partie de l ensemble des nombres réels. Une fonction f définie sur D associe à tout nombre réel x de D un unique nombre réel, noté f(x). D est appelé l ensemble de définition de la fonction f. On note : f : D R x f (x) Et on lit : «La fonction f, définie pour x appartenant à D, qui à un nombre x associe le nombre f(x).» Définitions : Soit a D. Si f(a) = b, on dit que : b est l image de a par la fonction f. a est un antécédent de b par la fonction f. Remarque : une fonction peut être définie par un graphique, un tableau ou une formule. Méthode algébrique: Lorsqu une fonction est définie par une formule : Chercher l image d un nombre a, c est calculer f(a). Chercher les antécédents d un nombre b, c est résoudre l équation f(x)=b. Méthode graphique: Lorsqu une fonction est définie par un graphique : Chercher l image d un nombre a, c est trouver l ordonnée du point de la courbe d abscisse a. Chercher les antécédents d un nombre b, c est trouver les abscisses des points de la courbe d ordonnées b. Exemple 1 : Soit f : R R x x²+5 D = R et donc l' image de 0 par f est: Les antécédents de 6 par f sont : Exemple 2 : L image de -2 est Les antécédents de 4 sont Chapitre 4 : Notions de fonctions Page 2
II. Représentation graphique Définitions :f est une fonction définie sur D. Dans un repère du plan, la courbe représentative (ou représentation graphique) C de f est l ensemble des points M (x ;y) dont : L abscisse x décrit l ensemble de définition D L ordonnée y est l image de x par f. On dit que la courbe C a pour équation y=f(x) dans le repère choisi. A la calculatrice lycée : Pour visualiser une fonction : Appuyer sur Puis rentrer l expression de votre fonction comme ci-dessous (où l on a Pour visualiser une fonction : Appuyer sur Puis rentrer l expression de votre fonction comme ci-dessous (où l on a rentré rentré f(x)=2x-5): pour le X, on utilise la touche. Ensuite, il faut régler la fenêtre d affichage : f(x)=2x-5): pour le X, on utilise la touche. Ensuite, il faut régler la fenêtre d affichage : et régler les paramètres pour un affichage optimal. Ensuite on affiche le graphique : Pour modifier la visualisation d une fonction : Le graphique peut ne pas nous convenir, on peut vouloir zoomer. Zbox permet de définir une zone (une boîte) sur laquelle on veut zoomer. Zoom In permet de zoomer. Zoom out permet de dézoomer ZStandard permet d afficher la fenêtre par défaut de la calculatrice. Pour lire des informations sur une fonction : Pour afficher les coordonnées d un point sur la courbe, il faut activer le mode un curseur s affiche sur la courbe, que l on peut déplacer à l aide des flèches, les coordonnées en bas de l écran correspondent aux coordonnées du point sur lequel le curseur se situe : et régler les paramètres pour un affichage optimal. Ensuite on affiche le graphique : Pour modifier la visualisation d une fonction : Le graphique peut ne pas nous convenir, on peut vouloir zoomer. Box permet de définir une zone (une boîte) sur laquelle on veut zoomer. In permet de zoomer. Out permet de dézoomer Auto permet d afficher la fenêtre par défaut de la calculatrice. Pour lire des informations sur une fonction : Pour afficher les coordonnées d un point sur la courbe, il faut activer le mode un curseur s affiche sur la courbe, que l on peut déplacer à l aide des flèches, les coordonnées en bas de l écran correspondent aux coordonnées du point sur lequel le curseur se situe : Chapitre 4 : Notions de fonctions Page 3
Pour dresser la table de valeur d une fonction : Après avoir rentrée une fonction dans, on peut afficher une table de valeur. D abord on règle la première valeur de X que l on veut afficher et le pas entre deux valeurs. Pour dresser la table de valeur d une fonction : Appuyer sur Puis rentrer l expression de votre fonction (si vous avez rentrer une fonction dans graph, elle apparait aussi ici et inversement). D abord on règle la première et la dernière valeur de X que l on veut afficher et le pas entre deux (ici, on veut afficher une table de valeur qui démarre à 5 puis affiche 5,1 5,2, ). On peut désormais afficher la table : valeurs. (ici, on veut afficher une table de valeur de 5 à 8, de 0,1 en 0,1) On peut désormais afficher la table : Exercices : Math repère 2010 Hachette 15à17p27+18,21,22,23p28 III. Résolutions graphiques d équations Propriété : les solutions de l équation f(x)=k sont les abscisses des points d intersection de la courbe représentative de f et de la droite d équation y=k. Remarque : Cela revient à chercher les antécédents de k par f. (cf exemple 2 ci-dessus). Propriété : les solutions de l équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d intersection de la courbe représentative de f et de la courbe représentative de g. IV. Résolution graphique d inéquation Propriété : les solutions de l inéquation f(x)>k sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situé au dessus de la droite d équation y=k. Propriété : les solutions de l inéquation f(x)>g(x) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au dessus de la courbe représentative de g. Chapitre 4 : Notions de fonctions Page 4
Exemple : 1) Résoudre f(x)=g(x). 2) Résoudre f(x)>g(x). Remarque : On a également résolu l inéquation f(x)<g(x). En effet, ce sont toutes les autres abscisses, c est-à-dire : S= On a également résolu l inéquation f(x) g(x) : S= On a également résolu l inéquation f(x) g(x) : S= Exercices : Math repère 2010 Hachette 28,29p29+30,31p30+40,41,42 p31+45,46p32 Exercices supplémentaires : Math repère 2010 Hachette p9,11,13,18à25+9à14p27+19,20p28+24à27p29+32à39p31+43,44,47à52 p33 V. Résolution algébrique d inéquation 1) Inéquation du premier degré (rappel) Si l on ajoute (ou l on retranche) un même nombre aux deux membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente. Si l on multiplie (ou l on divise) par un même nombre non nul positif les deux membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente. Si l on multiplie (ou l on divise) par un même nombre non nul négatif les deux membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente en changeant le signe de l inégalité. Chapitre 4 : Notions de fonctions Page 5
Exemples : A l aide de ces résultats on peut présenter les expressions dans un tableau de signe. 2) Inéquation produit Exemple: Résumons dans un même tableau de signes les résultats pour les deux facteurs : x 3) Inéquation quotient Exemple : Résumons dans un même tableau de signes les résultats pour les deux expressions : x + + 0 - - - - 0 + - 0 + - Exercices : Math repère 2010 Hachette 65à68p73+69,70,72à75p74+79p75+121à124p78+128à132p80+137à142p78+152à155p79 Exercices supplémentaires : Math repère 2010 Hachette p60+62,63,64p73+71p74+119p77+125à127p78+133à136p78+143à146p78+148à151p79+156à160p79 Chapitre 4 : Notions de fonctions Page 6