Analyse statistique des séquences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie / Statistical analysis of dry events in a northern Tunisian basin

Hydrological Sciences Journal ISSN: 0262-6667 (Print) 2150-3435 (Online) Journal homepage: http://www.tandfonline.com/loi/thsj20 Analyse statistique des séquences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie / Statistical analysis of dry events in a northern Tunisian basin MAJID MATHLOUTHI & FETHI LEBDI To cite this article: MAJID MATHLOUTHI & FETHI LEBDI (2009) Analyse statistique des séquences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie / Statistical analysis of dry events in a northern Tunisian basin, Hydrological Sciences Journal, 54:3, 442-455, DOI: 10.1623/ hysj.54.3.442 To link to this article: http://dx.doi.org/10.1623/hysj.54.3.442 Published online: 19 Dec 2009. Submit your article to this journal Article views: 390 View related articles Citing articles: 2 View citing articles Full Terms & Conditions of access and use can be found at http://www.tandfonline.com/action/journalinformation?journalcode=thsj20 Download by: [148.251.235.206] Date: 08 January 2016, At: 15:17

442 Hydrological Sciences Journal des Sciences Hydrologiques, 54(3) Juin 2009 Analyse statistique des séquences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie MAJID MATHLOUTHI & FETHI LEBDI Laboratoire de Recherche en Sciences et Techniques de l Eau, Institut National Agronomique de Tunisie, 43 Avenue Charles Nicolle, 1082 Tunis, Tunisie majid_mathlouthi@yahoo.fr, lebdi.fethi@iresa.agrinet.tn Résumé La présente contribution porte sur l analyse statistique comparative des séquences sèches durant la saison humide. Nous avons en particulier procédé au traitement statistique des relevés pluviométriques quotidiens, des stations pluviométriques dans le bassin aval du Lac Ichkeul, au nord de la Tunisie. Le climat est caractérisé par une saison humide s étendant de l automne au printemps. Pour décrire la saison pluvieuse, le nombre d événements suit la loi de Poisson et la durée des événements secs suit une loi binomiale négative. Comme les événements pluvieux sont plus courts, leur durée suit une loi géométrique, en rapport avec l exigence de la théorie. On utilise la loi des distributions GEV pour estimer les événements secs saisonniers de durée maximale associés à des périodes de retour différentes. Une année hydrologique commence au début du premier événement pluvieux d une saison donnée. Sa longueur est déterminée par l intervalle de temps entre le commencement de deux saisons humides successives. Le début de l année hydrologique se situe en moyenne vers mi-septembre, mais la probabilité d avoir une année hydrologique commençant avant le 15 Septembre dépasse 40%. La distribution spatiale des événements secs est également analysée: on trouve qu une fraction importante des événements secs est simultanée sur au moins deux stations et 4.5%, seulement, sont simultanés sur trois stations. L analyse des événements secs donne une méthode alternative pour examiner les phénomènes de sécheresse. Mots clefs année hydrologique; avènement de l événement sec; périodes sèche humide; seuil prédéterminé Statistical analysis of dry events in a northern Tunisian basin Abstract A comparative statistical study of dry events during the rainy season is presented. In particular, we carried out statistical processing of the daily records of raingauges in the downstream basin of Lake Ichkeul, in the north of Tunisia. The climate is characterized by a rainy season lasting from the autumn until spring. The Poisson distribution was applied to describe the number of rainfall events, and negative binomial distribution was applied for the length of the dry events, in the rainy season. Since rainfall events are shorter, their duration follows a geometrical distribution, as theoretically required. For planning purposes, the longest seasonal dry spells associated with the various statistical recurrence periods are derived on the basis of the fitted GEV functions. A hydrological year starts at the beginning of the first rainfall event of a given season. The length of hydrological year is determined by the time interval between the start dates of two subsequent rainy seasons. The beginning of the hydrological year occurs on average toward mid-september, but the probability of it occurring before 15 September exceeds 40%. Spatial analysis of dry events is also done. A significant fraction of the dry events occurred for at least two stations simultaneously. Furthermore, 4.5% of the dry events have been observed at all three stations. The analysis of the dry events gives an alternative method to examine the dry spell phenomenon. Key words hydrological year; advent of the dry event; wet dry spell; predetermined threshold INTRODUCTION Les projets de développement économique reposant très largement sur le secteur agricole, l estimation et la gestion à long terme des ressources en eau sont indispensables, tant pour améliorer la sécurité alimentaire que pour assurer le bon fonctionnement des aménagements réalisés. Les périodes sèches régissent les apports au niveau des barrages. Plusieurs études ont été consacrées au phénomène de sécheresse (Bogardi et al., 1988; Bargaoui, 1989; Bogardi & Duckstein, 1993; Ardoin et al., 2003; Cudennec et al., 2007; Slimani et al., 2007; Mathlouthi & Lebdi, 2008). Parent et al. (2006) ont présenté une analyse Bayesienne d un processus ponctuel marqué particulier (la loi des fuites) avec application à des problèmes de modélisation environnementale hydrométéorologique sur les données Africaines de Ghézala (Tunisie) et Ataktamé (Togo). Ils ont conclu que les résultats de l analyse Bayesienne a posteriori peuvent être étendus à la vision prédictive du modèle, c est-à-dire aux divers aspects de son application à la prévision des précipitations futures y compris à la gestion des ressources qui en découlent. Dans La discussion concernant cet article est ouverte jusqu au 1er Décembre 2009

Analyse statistique des sequences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie 443 les zones semi-arides, le gestionnaire doit notamment prévoir les possibilités de bas niveau de la ressource. L analyse comparative des événements de sécheresse, à l aide des séries d observations de la pluviométrie journalière constituera une base pour la gestion de barrages. L analyse porte sur un seuil égal à l évapotranspiration moyenne journalière de la zone. Le calage, par ajustement de lois statistiques aux données observées, du commencement de l année hydrologique et la position chronologique des événements secs maximum dans la saison humide revêtent ainsi de ce fait une importance primordiale. Par une analyse par événements des périodes sèches on peut étudier les déficits en eau pour les cultures pluviales comme le blé, établir des prédictions des événements secs à l échelle du mois et de l année pour déterminer des pics d événements secs et pluvieux. L analyse par événements permet la génération des séquences synthétiques d événements pluvieux. Le concept d analyse basé sur l événement est préféré aux méthodes de génération de données de type continu. Pour dériver les règles de gestion par événements des barrages, on utilise une optimisation stochastique implicite utilisant la programmation dynamique. Il s agit de coupler les séquences chronologiques d événements avec un modèle pluie-ruissellement afin d obtenir des séries d apports au barrage synthétiques. Ceci est suivi d une optimisation à pas de temps variables sur différents scénarios d apports (caractère stochastique) au moyen de la programmation dynamique (PD). Ainsi, le pas de temps (étape) pour la PD n est pas constant et ne correspond pas à une cadence fixe telle que le jour, la semaine, le mois, etc. mais plutôt à l avènement de l événement sec et pluvieux dans le temps (l année hydrologique). Les stratégies de gestion optimales résultantes sont utilisées dans la détermination des règles de gestion au moyen d une analyse par régression des moindres carrés. Ces règles de gestion servent à la gestion optimale des ressources en eau. Selon ces règles de gestion on peut simuler la gestion du barrage, et par conséquent évaluer ses performances en relation avec l occurrence et le nombre d événements secs et pluvieux. Dès lors, l analyse des événements secs, faisant appel à l hypothèse de l indépendance des événements successifs, donne une méthode alternative pour examiner les phénomènes de sécheresse et permet de planifier les ressources hydriques sur une base différente de celle des observations faites à intervalle de temps régulier. La méthode est appuyée par les données disponibles, au niveau du barrage Ghézala en Tunisie, sur les enregistrements pluviométriques journaliers, l évaporation, la demande en eau et les variations journalières de la hauteur du plan d eau du barrage. DONNEES Le cas d étude de la présente recherche est le bassin aval du Lac Ichkeul qui fait partie du bassin versant Nord de la Tunisie et de la chaîne de montagnes des Mogods. Cette région a une superficie d environ 1500 km 2. La Fig. 1 présente les isohyètes moyennes annuelles de la région d étude et les postes pluviométriques étudiés. Le Barrage Ghézala (lat. 37 02 75, long. 9 32 07 ), situé dans cette région, régularise 5.9 10 6 m 3 et dessert par gravité un périmètre irrigué de 11 km 2. La saison humide s étend de Septembre à Avril, bien que le commencement ou la fin de cette saison humide puisse se déplacer de plusieurs semaines. La précipitation saisonnière est de 600 mm en moyenne et varie de 460 à 700 mm suivant le lieu et l altitude (Fig. 1). Les saisons humides sont séparées par des saisons estivales de presque quatre mois. Les événements pluvieux semblent être groupés sur plusieurs jours humides, séparés par des périodes sèches de durée variable. Cependant, on peut observer des événements pluvieux qui durent un seul jour. METHODES Analyse de fréquences des périodes sèches Une période sèche est un intervalle de temps entre deux jours pluvieux ayant eu au moins une pluie supérieure ou égale à l évapotanspiration journalière minimale dans la zone (1.3 mm). Par hypothèse, cette période sèche est affectée au mois durant lequel elle a commencé même si elle

444 Majid Mathlouthi & Fethi Lebdi. Fig. 1 Isohyètes moyennes annuelles du bassin aval du Lac Ichkeul.

Analyse statistique des séquences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie 445 s étale sur un ou plusieurs mois consécutifs. Pour étudier la fréquence des durées mensuelles de période sèche et la relation entre la fréquence et la durée des périodes sèches, quatre classes de durée (C j ) ont été définies en fonction des valeurs minimale et maximale enregistrées: 1 C 1 < 7 jours, 7 C 2 < 14 jours; 14 C 3 < 21 jours et 21 C 4 28 jours. La fréquence empirique f i,j est calculée d après l équation (1): ni, j f i, j = (1) N 1 i où f i,j est la fréquence empirique de la classe j; j = 1,, 4 dans le mois i; i = 1,, 8, seulement les mois pluvieux; n i,j est le nombre de périodes sèches appartenant à la classe j; N i est le nombre total de périodes sèches dans le mois i. Analyse par périodes sèche-humide Dans l approche d analyse des sécheresses par alternance de périodes sèche-humide, l axe du temps est divisé en intervalles appelés périodes sèches et périodes humides (Fig. 2). Un événement pluvieux est un intervalle dans lequel il pleut continuellement (c est une séquence ininterrompue de périodes humides). La définition de l événement est associée à une valeur seuil de pluie. Dans cette approche, le processus d occurrence des pluies est spécifié par les lois de probabilité des longueurs des périodes humides (durée des épisodes pluvieux) et des périodes sèches (temps entre deux événements de pluie). Pluie (mm) Durée de l événement pluvieux D n,1 Evénement pluvieux H n,1 Durée de l événement sec Z n,1 Evénement sec h k D n,2 Evénement pluvieux H n,2 D n,m H n,m D n+1,1 H n+1,1 Valeur du seuil (3.6 mm) 1 jour n ième saison pluvieuse L n saison sèche (n+1) ième saison pluvieuse Année hydrologique A n Fig. 2 Représentation événementielle de l année hydrologique. Le début du premier événement pluvieux est en automne, au début du mois de Septembre, alors que la fin du dernier événement pluvieux est au printemps, vers fin Avril. Dans l analyse présentée ici, on a considéré un seuil de 3.6 mm jour -1 représentant l évapotranspiration quotidienne moyenne dans la zone.

446 Majid Mathlouthi & Fethi Lebdi Un événement pluvieux dans une saison humide sera caractérisé par sa durée D n,m, symbolisant le nombre de jours de pluie et par la hauteur totale de pluie H n,m accumulée en D n,m, jours pluvieux, où l indice m se rapporte au m-ième événement de la n-ième saison pluvieuse (Fig. 2): D n, m H n, m = hk (2) k = 1 où h k représente la pluie journalière en mm. Soit h k > 0 et on a au moins une valeur de h k > 3.6 mm. Etant donné qu un événement pluvieux doit comprendre au moins un jour ayant reçu une précipitation supérieure au seuil. Pour définir la position chronologique d un événement pluvieux à l intérieur de la saison humide, on emploie un paramètre temps. Dans cette contribution, le temps entre la fin d un événement pluvieux et le début de l événement pluvieux suivant est l événement sec Z n,m représentant le nombre de jours sans pluie entre deux événements consécutifs (Fig. 2). La durée d un événement pluvieux D n,m et celle d un événement sec Z n,m peuvent être représentées par des variables aléatoires présumées indépendantes. Une analyse statistique, qui a montré que les coefficients de corrélation sont pratiquement nuls (indépendance statistique), a confirmé cette hypothèse d indépendance des couples (D n,m, Z n,m ) et (Z n,m, H n,m ). Aucune dépendance linéaire ne semble donc exister entre ces paires de variables aléatoires. La saison pluvieuse, de durée aléatoire aussi, est représentée par une série d événements pluvieux et d événements secs (Fig. 2). D après une analyse de corrélation, la série de jours pluvieux constitue en première approximation une série d événements indépendants; le nombre d événements pluvieux (ou secs) durant une saison peut alors être modélisé par une loi de Poisson (Fogel & Duckstein, 1982; Canavos, 1984; Bogardi & Duckstein, 1993). La fonction de densité de Poisson est définie en nombres entiers comme suit: λ m e λ p m; λ = pour m = 0,1, 2... (3) ( ) m! où m décrit le nombre d événements durant une saison pluvieuse et λ est le nombre moyen d événements par saison. Des événements indépendants sont séparés par une période de temps d attente, mesurée en jours, qui suit une loi géométrique (Fogel & Duckstein, 1982; Bogardi & Duckstein, 1993): n 1 f ( n) = p q n =1,2,... (4) où le paramètre p est estimé par l inverse de l espérance mathématique de la durée moyenne n de l attente entre deux événements successifs et q = 1 p. 1 p = (5) n Cependant, si les séries de précipitations successives ne forment pas des événements indépendants, le temps d attente suit une loi gamma à deux paramètres au lieu d une loi exponentielle (Fogel & Duckstein, 1982; Bogardi & Duckstein, 1993). Par conséquent, si le temps est discrétisé en jours, la distribution du temps séparant deux événements est représentée par la loi des durées binomiale négative qui est la loi équivalente discrète de la distribution gamma: ( r + n 1)! f ( n) = p r q n (6) n!( r 1)! où n = 0, 1, 2, et r et p sont estimés par: r = mp/(1 p); p = m/σ 2 m ; q = 1 p; et m = n 1. Il est nécessaire de retrancher 1 à n car la distribution binomiale négative commence par n = 0 alors que le temps séparant deux événements dure, par définition, au moins 1 jour (n = 1). Par conséquent, f(n = 0) est la probabilité d un événement sec de 1 jour.

Analyse statistique des séquences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie 447 Les événements secs de durée maximale associés à des périodes de retour différentes sont d importance primordiale pour établir des prévisions. Ces valeurs ont été obtenues en modélisant ce processus par la loi des distributions GEV (General Extreme Value) qui s ajuste bien à ce paramètre (voir Fig. 6). L ajustement a été effectué par le logiciel HYFRAN. f k ( x) = exp 1 μ α ( x ) 1 k où μ est le paramètre de position, α est le paramètre d échelle et k est le paramètre de forme. La modélisation à l aide de la distribution binomiale négative f(n) de la longueur des événements secs détermine la probabilité que l événement sec aléatoire dure n jours. Par conséquent, la probabilité de dépassement Pe(N) qu un événement sec de durée N se produise au moins une fois dans une période de retour de T années, reste égale à la réciproque du produit λt (Bogardi & Duckstein, 1993): 1 Pe ( N ) = (8) λt où λ représente l espérance mathématique du nombre annuel d événements secs. Avec une saison pluvieuse par an, cette définition est équivalente à celle du nombre moyen d événements secs par saison. Le produit λt définit l espérance mathématique du nombre d observations nécessaires pour qu un événement sec extrême d une durée de N jours se produise au moins une fois. RESULTATS Les résultats des calculs de la fréquence des durées mensuelles de période sèche sont reportés dans le Tableau 1. D après ce tableau, on peut constater que la fréquence des périodes sèches mensuelles rencontrées durant la saison pluvieuse diminue quand la durée de la classe augmente. Au minimum, elle décroît de 0.46 à 0.14 pour la station d Oued Joumine-Jebel Antra et au maximum de 0.87 à 0.02 pour la station d Oued el Gauss. Pour toutes les stations, les valeurs maximales ont été observées pour la classe de 1 à 7 jours et les valeurs minimales pour la classe supérieure ou égale à 21 jours. D une façon générale, les périodes sèches mensuelles d une durée d une semaine sont les plus fréquentes. Des périodes sèches mensuelles plus longues sont surtout plus fréquentes pour les stations pluviométriques ayant une pluviométrie plus faible (Fig. 1). Comme l analyse dépend d un seuil de durée, les résultats du Tableau 1 ne peuvent pas indiquer la relation entre la fréquence et la durée des périodes sèches. Malgré le caractère incomplet de cette analyse conventionnelle, on peut observer que les périodes sèches semblent montrer un caractère aléatoire pendant toute la saison humide allant de Septembre à Avril. Le Tableau 2 donne une comparaison de la variabilité du nombre d événements par saison pluvieuse avec celle de l événement sec maximum observé aux stations indiquées. Le Tableau 3 montre les valeurs maximales des coefficients de corrélation entre les paramètres relatifs aux événements. La Fig. 3 représente les effectifs observés et théoriques des événements secs (distribution binomiale négative ajustée) à la station pluviométrique de Ghézala-Barrage et le Tableau 4 rassemble les statistiques et les estimations des paramètres r et p aux stations indiquées, ainsi que l ajustement des observations à la fonction de répartition proposée. L analyse des données de la durée des événements de pluie D n,m nous a permis de conclure que les événements de pluie sont plus courts que les événements secs (62% des événements ont une durée de 1 à 2 jours). Ainsi la durée des événements de pluie suit une loi géométrique, ce qui justifie l hypothèse d événements indépendants. La Fig. 4 montre que la distribution empirique ajustée aux données de la station de Ghézala-Barrage est bien géométrique. La Fig. 5 montre que le nombre d événements de pluie suit la loi de Poisson. Cette loi est 2 caractérisée par λ = m = σ m, où m est la moyenne et σ 2 m est la variance du nombre (7)

448 Majid Mathlouthi & Fethi Lebdi Tableau 1 Fréquence des durées mensuelles de périodes sèches. Pluviomètre Ghézala- Barrage O. el Gauss O. J. Jebel Antra Sidi Salem Coopérative Bakhraya Frétissa Sept. (1) 0.49 0.48 0.46 0.51 0.57 0.60 0.68 (2) 0.37 0.37 0.27 0.22 0.20 0.17 0.11 (3) 0.05 0.11 0.12 0.11 0.11 0.13 0.11 (4) 0.09 0.07 0.14 0.16 0.12 0.10 0.10 Oct. (1) 0.61 0.73 0.59 0.64 0.66 0.64 0.59 (2) 0.24 0.23 0.26 0.21 0.20 0.15 0.15 (3) 0.08 0.05 0.08 0.08 0.08 0.12 0.16 (4) 0.07 0 0.07 0.07 0.06 0.05 0.10 Nov. (1) 0.77 0.74 0.78 0.76 0.73 0.82 0.67 (2) 0.19 0.16 0.15 0.18 0.18 0.12 0.20 (3) 0.03 0.11 0.04 0.04 0.05 0.05 0.10 (4) 0.01 0 0.03 0.02 0.04 0.01 0.03 Déc. (1) 0.72 0.76 0.78 0.74 0.77 0.79 0.75 (2) 0.20 0.20 0.14 0.18 0.12 0.14 0.17 (3) 0.07 0.02 0.06 0.06 0.08 0.05 0.06 (4) 0.01 0.02 0.03 0.02 0.03 0.02 0.02 Jan. (1) 0.73 0.87 0.77 0.76 0.74 0.73 0.78 (2) 0.22 0.09 0.18 0.17 0.17 0.21 0.13 (3) 0.04 0.02 0.03 0.04 0.04 0.04 0.05 (4) 0.01 0.02 0.01 0.03 0.05 0.02 0.04 Fév. (1) 0.77 0.79 0.75 0.72 0.74 0.70 0.72 (2) 0.20 0.15 0.18 0.19 0.17 0.20 0.16 (3) 0.02 0.03 0.02 0.06 0.05 0.05 0.05 (4) 0.01 0.03 0.04 0.03 0.04 0.05 0.07 Mars (1) 0.69 0.84 0.78 0.70 0.66 0.69 0.74 (2) 0.22 0.10 0.14 0.17 0.17 0.14 0.13 (3) 0.08 0.04 0.06 0.07 0.10 0.12 0.07 (4) 0.01 0.02 0.02 0.06 0.07 0.05 0.06 Avril (1) 0.67 0.64 0.76 0.76 0.55 0.70 0.75 (2) 0.23 0.22 0.16 0.17 0.22 0.18 0.13 (3) 0.05 0.11 0.06 0.06 0.12 0.09 0.09 (4) 0.05 0.03 0.01 0.01 0.11 0.03 0.03 Classes: (1) 1 7 jours; (2) 7 14 jours; (3) 14 21 jours; et (4) 21 jours. Sidi Abd el Basset Tableau 2 Comparaison de la variabilité du nombre d événements/saison et de celle de l événement sec saisonnier maximum. Pluviomètre Période d observation Nbre de données Max. Moy. Ecart-type no. (-) Durée Durée moy. Ecart-type Ghézala- Barrage 1968 2002 711 31 21.54 4.67 57 30.24 9.68 O. el Gauss 1964 1975 245 32 23.27 4.76 44 30.45 7.19 Oued J. Jebel Antra 1961 2005 * 881 31 22.49 4.51 55 29.78 9.85 Sidi Salem 1959 2005 983 34 21.41 4.35 58 30.22 10.05 Coopérative Bakhraya 1969 2005 479 31 20.16 4.78 60 37.68 11.61 Frétissa SM 1982 2005 424 36 20.73 5.17 60 36.14 11.21 Sidi Abd el Basset 1968 2005 454 32 20.74 5.19 81 35.65 13.00 * Non observée durant 3 ans; non observée durant 12 ans; non observée durant 14 ans. Légende Max.: nombre maximum d événements secs saisonniers observés; Moy: nombre moyen d événement sec par saison pluvieuse; Ecart-type no.: écart-type du nombre d événement sec par saison pluvieuse; Durée: durée de l événement sec saisonnier maximum; Durée moy.: durée moyenne de l événement sec saisonnier maximum.

Analyse statistique des séquences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie 449 Tableau 3 Valeurs maximales des coefficients de corrélation. Caractéristiques entre évènements Durée en jours de l événement de pluies, D n,m Durée en jours de l événement sec, Z n,m Hauteur de pluies de l événement de pluies H n,m (mm) 0.64 0.02 Durée en jours de l événement de pluies D n,m 1 0.02 Tableau 4 Statistiques des événements secs. Pluviomètre Période d observation Nombre de données Moyenne Ecart-type Paramètres de la répartition binom. négative p r Statistique K-S P value associée Ghézala- Barrage 1968 2002 711 7.31 7.91 0.1007 0.7054 0.0510 0.033 O. el Gauss 1964 1975 245 7.33 7.90 0.1014 0.7142 0.0868 0.247 Oued J. Jebel Antra 1961 2005 * 881 7.48 7.98 0.1017 0.7336 0.0458 0.393 Sidi Salem 1959 2005 983 7.50 8.07 0.0998 0.7206 0.0433 0.036 Coopérative Bakhraya 1969 2005 479 9.30 10.09 0.0815 0.7364 0.0621 0.065 Frétissa SM 1982 2005 424 9.12 9.33 0.0932 0.8345 0.0660 0.120 Sidi Abd el Basset 1968 2005 454 9.45 9.90 0.0862 0.7971 0.0638 0.002 * Non observée durant 3 ans; non observée durant 12 ans; non observée durant 14 ans. Statistique K-S: statistique de Kolmogorov-Smirnov1.36 / n. Effectifs 300 250 200 150 100 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 13 14 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 Classes en jours Eff. observé E ff. théorique Fig. 3 Ajustement de la loi binomiale négative à la durée des événements secs, pluviomètre de Ghézala- Barrage. d événements. L ajustement de la loi de Poisson a été réalisé avec le logiciel SIMFIT (Bardsley, 2004). Le Tableau 5 nous permet de conclure que si le nombre d événements secs suit la loi de Poisson, le nombre d événements de pluie suit également cette loi. Les écarts faibles peuvent être expliqués par le fait que la définition de la saison de pluie d après la Fig. 2 ne satisfait pas exactement les conditions théoriques, à savoir que l on compte le nombre d événements durant une période fixe pour obtenir une distribution de Poisson. La saison humide a en fait une durée

450 Majid Mathlouthi & Fethi Lebdi 300 250 200 Effectifs 150 100 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 Eff. observé Classes Eff. théorique Fig. 4 Ajustement de la loi géométrique à la durée des événements de pluie, pluviomètre de Ghézala- Barrage. Fonction de densité cumulée 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 Nombre d'événements pluvieux Fig. 5 Ajustement de la loi de Poisson au nombre d événements de pluie par saison, pluviomètre de Ghézala-Barrage. variable et est par définition une fonction aléatoire des événements eux-mêmes. De même, on doit tenir compte de la variance d échantillonnage habituelle d un processus de Poisson. Une des questions qui se posent est de déterminer quand se produit l événement sec le plus long de la saison. La partie centrale de la saison a été choisie de sorte que les événements secs se terminent entre début Décembre et fin Mars. Le Tableau 6 présente les événements secs les plus longs observés à la station pluviométrique de Ghézala-Barrage. La comparaison des événements secs pendant une même saison montre que la longueur moyenne des événements secs extrêmes se produisant dans la partie centrale de la saison pluvieuse est inférieure à la valeur correspondante de la saison entière. L analyse des résultats obtenus

Analyse statistique des séquences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie 451 Tableau 5 Comparaison de la moyenne et de la variance des nombres d événements secs et pluvieux. Pluviomètre No. de Nombre d événements secs : Nombre d événements de pluies : données Moyenne arithmétique, m Variance, σ 2 m Moyenne arithmétique, m Variance, σ 2 m Ghézala-Barrage 34 21.55 22.56 22.55 22.56 O. el Gauss 11 22.27 22.61 23.27 22.61 Oued J. Jebel Antra 41 21.49 20.30 22.49 20.30 Sidi Salem 46 21.41 18.91 22.41 18.91 Coopérative Bakhraya 25 19.16 22.80 20.16 22.80 Frétissa SM 22 19.73 26.78 20.73 26.78 Sidi Abd el Basset 23 19.74 26.93 20.74 26.93 Tableau 6 Pluviomètre de Ghézala-Barrage: événements secs de durée extrême, se référant à la mi-saison et à toute la saison des pluies. Saison pluvieuse Maximum annuel Maximum décembre mars Saison pluvieuse Maximum annuel 1968/69 41 30 1985/86 29 11 1969/70 24 15 1986/87 14 11 1970/71 23 12 1987/88 47 38 1971/72 28 28 1988/89 31 31 1972/73 34 11 1989/90 58 58 1973/74 32 19 1990/91 20 20 1974/75 38 38 1991/92 35 35 1975/76 21 18 1992/93 35 35 1976/77 27 16 1993/94 41 41 1977/78 32 32 1994/95 46 46 1978/79 26 16 1995/96 23 14 1979/80 32 27 1996/97 40 40 1980/81 22 22 1997/98 21 21 1981/82 29 20 1998/99 32 32 1982/83 41 20 1999/2000 29 25 1983/84 14 14 2000/2001 44 26 1984/85 24 21 Moyenne 31.30 25.55 Ecart type 9.87 11.42 Maximum décembre mars Tableau 7 Caractéristiques statistiques de la position chronologique de l événement sec maximum. Pluviomètre Période d observation Moyenne Ecart-type Maximum Minimum Coefficient de variation Ghézala-Barrage 1968 2001 99.42 65.41 203 6 0.66 0.034 Coefficient de skewness montre que pour 45.4% des saisons, l événement sec de durée maximale s est produit au milieu de la saison. Les résultats du Tableau 6 montrent en tout cas que les événements secs extrêmes ont des moyennes différentes. Pour déterminer quand se produit l événement sec le plus long de la saison, on a considéré la position chronologique de l événement sec maximum dans la saison humide par rapport au 1er Septembre (début de la saison humide). Les caractéristiques statistiques de cette variable aléatoire sont montrées dans le Tableau 7. On démontre qu en moyenne l événement sec de durée maximale se situe vers le début du mois de Décembre, au minimum il se place au mois de Septembre et au maximum vers la fin du mois de Mars, tendant vers la fin de la saison humide. La forte variation du phénomène est justifiée par un coefficient de variation important (0.66). La distribution est asymétrique, justifiée par un coefficient d asymétrie positif.

452 Majid Mathlouthi & Fethi Lebdi Fig. 6 Ajustement de la loi GEV à la durée de l événement sec extrême, pluviomètre de Ghézala- Barrage. Tableau 8 Estimation de l événement sec extrême au pluviomètre de Ghézala-Barrage. Probabilité de dépassement Pe (%) Période de retour statistique (années) Ajustement des séries des valeurs extrêmes saisonnières à la loi de distributions GEV : Max. jours secs en milieu de saison No. extrême de jours secs consécutifs en saison pluvieuse Espérance mathématique de la taille de l échantillon à considérer 99 1.01 6 11 21.75 95 1.05 10 16 22.61 90 1.11 12 18 23.90 80 1.25 16 22 26.92 50 2 24 29 43.08 20 5 34 38 107.70 10 10 40 43 215.40 4 25 48 48 538.50 2 50 53 52 1077 1 100 58 56 2154 0.5 200 63 59 4308 0.1 1000 74 65 21540 Tableau 9 Caractéristiques statistiques de l abscisse du début de l année hydrologique. Pluviomètre Période d observation Moyenne Ecart-type Maximum Minimum Coefficient de variation Ghézala-Barrage 1968 2001 16.12 11.4 39 0 0.71 14 Médiane La Fig. 6 montre la loi des distributions GEV ajustée à la durée de l événement sec extrême au pluviomètre de Ghézala-Barrage. Le Tableau 8 montre l estimation de la durée des événements secs obtenue. Il en ressort que quelques saisons pluvieuses caractérisées par une distribution favorable des pluies peuvent cacher le fait statistique que sur 23 événements secs il risque de s en produire au moins un de plus de 18 jours. Le calage du début de l année hydrologique dans la saison humide a été obtenu en analysant la série chronologique du premier événement pluvieux de l année. Le Tableau 9 donne les caractéristiques statistiques de cette variable aléatoire. En vue de déterminer les probabilités d occurrence

Analyse statistique des séquences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie 453 de cette variable aléatoire, pour différentes périodes de retour, on a modélisé cette série par la loi des fuites qui s ajuste bien à cette variable. λ e Ι f ( x) = λ x exp λ β β 1 λx 2 β λx β x = 0 x > 0 où λ est le paramètre de forme, positif et β est le paramètre d échelle, positif. Les résultats obtenus sont reportés dans le Tableau 10. On montre qu en moyenne le premier événement pluvieux survient au milieu du mois de Septembre alors que la probabilité d avoir cette condition est de 0.48 pour une période de retour biennale. Au maximum l année hydrologique commence vers la première décade du mois d Octobre. La distribution de cette variable aléatoire est symétrique. En plus de l analyse de la durée des événements secs relatifs à une station pluviométrique, la distribution spatiale des événements secs doit être quantifiée en vue d analyser la variabilité spatiale de ce phénomène. Le Tableau 11 présente les résultats d une analyse de la réalisation simultanée d événements secs en employant la durée comme paramètre pour trois pluviomètres (Sidi Salem, Frétissa et Sidi Abd el Basset) rapportés à la première station considérée comme référence. Les distances relatives entre ces stations sont d environ 20, 31 et 17 km. Comme cette analyse est fondée sur une station de référence, le Tableau 11 ne prend pas en compte les événements secs qui se seraient produits simultanément à Frétissa et à Sidi Abd el Basset, et qui n auraient pas été observés à Sidi Salem. Le Tableau 11 montre qu une fraction importante des événements secs est simultanée sur au moins deux stations sauf pour les événements très longs (plus de 25 jours). Seulement 4.5% de tous les événements secs sont observés en même temps aux trois stations. Il est difficile qu un événement de longue durée soit qualifié de simultané. Quant à un événement relativement court, il ne peut être qualifié de simultané que s il coïncide presque entièrement avec l événement de référence. Tableau 10 Estimation de l occurrence du début de l année hydrologique par rapport au 1er Septembre au pluviomètre de Ghézala-Barrage. Loi des fuites Début du premier événement pluvieux Probabilité de dépassement Période de retour (années) 0 0.9804 1 6 0.7925 1.3 14 0.5152 2 25 0.2061 5 31 0.1030 10 40 0.0412 25 46 0.0206 50 51 0.0103 100 56 0.0052 200 68 0.0010 1000 (9) CONCLUSIONS L analyse des événements secs, basée sur l hypothèse d indépendance des événements successifs, donne une méthode d analyse des phénomènes de sécheresse par alternance. L ajustement satisfaisant de la loi de distributions GEV n a été possible que parce que l on disposait de 34 années de données fiables. Malheureusement la longueur des séries d observations disponibles est souvent bien plus courte, surtout en zones semi-arides. L analyse par alternance de périodes sèche-

454 Majid Mathlouthi & Fethi Lebdi Tableau 11 Réalisations simultanées d événements secs aux pluviomètres de Frétissa, Sidi Salem et Sidi Abd el Basset. Durée de l événement sec à la station de référence S. Salem Longueur minimum Fréquence des événements secs (1984 2005): Au Simultanément à pluviomètre de S. Salem et S. Salem et S. S. Salem Frétissa Abd el Basset seulement S. Salem, Frétissa et S. Abd el Basset 1 1 61 10 3 1 75 2 2 32 8 7 3 50 3 2 28 9 5 0 42 4 1 18 7 6 4 35 5 2 20 5 6 3 34 6 1 15 6 7 3 31 7 2 17 5 6 2 30 8 3 11 2 2 1 16 9 1 10 0 1 0 11 10 2 14 0 1 0 15 11 9 7 1 1 1 10 12 12 5 1 1 1 8 13 4 7 3 1 0 11 14 3 11 1 0 0 12 15 9 4 0 0 0 4 16 16 5 0 2 0 7 17 1 8 0 0 0 8 18 19 2 0 0 0 2 19 17 3 0 2 0 5 20 1 1 3 0 0 4 21 22 22 4 0 0 0 4 23 13 2 1 0 0 3 25 24 3 0 0 0 3 26 27 26 1 0 0 1 2 28 26 3 0 0 0 3 29 30 6 3 0 0 0 3 31 1 4 0 0 0 4 33 23 4 0 0 0 4 34 15 1 0 0 0 1 39 42 1 0 0 0 1 40 44 1 0 0 0 1 42 42 0 1 0 0 1 47 48 1 0 0 0 1 49 7 1 0 0 0 1 Nombre total d événements 308 63 51 20 442 Nombre total Légende Longueur minimum: longueur minimum des événements secs ininterrompus à Frétissa et/ou à S. Abd el Basset ; Nombre total: nombre total d événements secs de longueur donnée au pluviomètre de S. Salem. Tableau 12 Coefficient de variation du temps séparant le début de deux événements dans le bassin aval du Lac Ichkeul. Pluviomètre Nombre de données Coef. de variation du nombre d événements secs (Cv 1 ) Coef. de variation de l événement de durée maximale (Cv 2 ) Cv 2 /Cv 1 Ghézala-Barrage 34 0.216 0.320 1.481 O. el Gauss 11 0.204 0.236 1.156 Oued J. Jebel Antra 41 0.200 0.330 1.650 Sidi Salem 46 0.203 0.332 1.638 Coopérative Bakhraya 25 0.237 0.308 1.299 Frétissa SM 22 0.249 0.310 1.244 Sidi Abd el Basset 23 0.250 0.364 1.456

Analyse statistique des séquences sèches dans un bassin du nord de la Tunisie 455 humide, même faite seulement avec quelques années d observations, permet néanmoins de caler les fonctions de répartition des variables aléatoires. Par exemple, dans le Tableau 2, l espérance mathématique du nombre d événements par saison doit être estimée à partir de très peu de données, mais cette estimation conduit à un coefficient de variation plus faible que l estimation de la longueur moyenne de l événement sec maximum, comme on peut le constater dans le Tableau 12 pour une taille d échantillon constante. Les séquences synthétiques d événements pluvieux et d événements secs permettent de définir et de caler des modèles de simulation pour une planification plus réaliste de la gestion des barrages ou pour l estimation de la demande en eau pour l irrigation. En outre, l analyse par événements permet l étude des effets du phénomène de sécheresse et ses répercussions sur les rendements des cultures. Dès lors, l interruption momentanée de la saison des pluies par une période sèche peut endommager les récoltes, si par exemple la période sèche arrive au moment de la pollinisation ou avant que les récoltes ne commencent à mûrir. Les dommages peuvent se produire même si la précipitation saisonnière totale est normale. Elle permet également de caler le commencement de l année hydrologique, en prédisant le début du premier événement pluvieux en automne et la fin du dernier événement pluvieux au printemps avec une certaine probabilité; et de déterminer des pics d événements secs et pluvieux, et par conséquent de repérer les ampleurs extrêmes. Ainsi, elle permet de bien caler les campagnes agricoles, entre autres la date de semis de certaines cultures pluviales annuelles comme le blé, d assurer avec certaines probabilités des prévisions en eau pour ces périodes et d établir une planification de la gestion inter-annuelle des ressources en eau basée sur l occurrence des événements secs. Ceci est réalisé en couplant des séries chronologiques d événements pluvieux synthétiques, générées aléatoirement sur la base de cette analyse par événements, avec un modèle pluie-ruissellement qui permet d obtenir des séries d apports synthétiques et en utilisant des règles de gestion des réservoirs d eau. Sur cette base, on peut également effectuer des études d estimations des crues. L analyse par événements est également utile pour vérifier les propriétés spatiales des événements secs. REFERENCES Ardoin, S., Lubes-Niel, H., Servat, E., Dezetter, A., Boyer, J. F., Mahe, G. & Paturel, J. E. (2003) Analyse de la persistance de la sécheresse en Afrique de l ouest: caractérisation de la situation de la décennie 1990. In: Hydrology of the Mediterranean and Semiarid Regions (Proc. Montpellier Symp., April 2003), 223 228. IAHS Publ. 278. IAHS Press, Wallingford, UK. Bardsley, W. G. (2004) Simfit Version: 5.5, Release: 5.00. A Package for Simulation, Curve Fitting, Graph Plotting and Statistical Analysis. University of Manchester, UK. Bargaoui, Z. K. (1989) Occurrence des sécheresses dans le bassin de la Mejerda (Tunisie). Rev. Sci. Eau 2(3), 429 447. Bogardi, J. J. & Duckstein, L. (1993) Evénements de période sèche en pays semi-aride. Rev. Sci. Eau 6(1), 23 44. Bogardi, J. J., Duckstein, L. & Rumambo, O. H. (1988) Practical generation of synthetic rainfall event time series in semi-arid climatic zone. J. Hydrol. 103, 357 373. Canavos, G. C. (1984) Applied Probability and Statistical Methods. Little, Brown & Co., Boston, Massachusetts, USA. Cudennec, C., Leduc, C. & Koutsoyiannis, D. (2007) Dryland hydrology in Mediterranean regions a review. Hydrol. Sci. J. 52(6), 1077 1087. Fogel, M. M. & Duckstein, L. (1982) Stochastic precipitation modelling for evaluating non-point source pollution. In: Statistical Analysis of Rainfall and Runoff (Proc. Int. Symp. on Rainfall Runoff Modelling 1981) (ed. by V. Singh), 119 136. Water Resources Publications. Littleton, Colorado, USA. HYFRAN 1.1 bêta 1 (Mai 2002), Logiciel. Chaire en Hydrologie Statistique, INRS EAU, Québec, Canada. Mathlouthi, M. & Lebdi, F. (2008) Evaluation de la fiabilité de gestion d un barrage réservoir pour des événements secs. Hydrol. Sci. J. 53(6), 1194 1207. Parent, E., Bernier, J. & Boreux, J J. (2006) Le rôle pivot des variables latentes pour le raisonnement statistique conditionnel. Exemples d applications environnementales des processus ponctuels marqués. Revue de Statistique Appliquée LIV(4), 85 112. Slimani, M., Cudennec, C. & Feki, H. (2007) Structure du gradient pluviométrique de la transition Méditerranée Sahara en Tunisie: déterminants géographiques et saisonnalité. Hydrol. Sci. J. 52(6), 1088 1102. Reçu le 2 Mars 2006; accepté le 5 Novembre 2008