Annales de baccalauréat STG - Mercatiques - 2012 1 Probabilités Exercice 1.1 Pondichery 2010 Une agence de voyage effectue un sondage auprès de ses clients. Elle répertorie ses clients en 2 catégories : les groupes et les personnes seules. Elle les interroge sur leur destination de vacances. Sur 100 clients interrogés, 63 partent en groupe, et parmi ceux-là, 55 % partent en France. De plus, 75 % des personnes seules partent à l étranger. On choisit au hasard un client de l agence parmi ceux qui ont été interrogés ; on admet que tous les clients interrogés ont la même probabilité d être choisis. On note : G l évènement : «le client choisi part en groupe», G l évènement contraire de G : «le client choisi part seul», E l évènement : «le client choisi part à l étranger», E l évènement contraire de E : «le client choisi part en France». ) 1. Donner la probabilité de l évènement E sachant que G est réalisé, notée p G (E, puis la probabilité p G (E) de l évènement E sachant que G est réalisé. 2. Construire puis compléter l arbre de probabilité correspondant à cette situation. 3. Calculer la probabilité p(g E) de l évènement G E. 4. Montrer que la probabilité p(e) de l évènement E est égale à 0,561. 5. Calculer p E (G), la probabilité de choisir un client qui part en groupe, sachant qu il part à l étranger. Donner la réponse arrondie au millième. Exercice 1.2 Mercatique Polynésie 2009 Une agence de voyages a proposé à ses clients un séjour à l étranger selon deux formules : une formule «hôtel» une formule «aventure» Les deux formules ne pouvaient pas être combinées. 60 % des clients ont choisi la formule «hôtel» et 40 % ont choisi la formule «aventure». http ://flp.maths.free.fr 1 2011-2012
Une enquête de satisfaction conduite auprès de tous les clients ayant acheté ce séjour a montré que 70 % des clients de la formule «hôtel» ont exprimé être satisfaits et, parmi les clients de la formule «aventure», ils sont 90 % à être satisfaits. Comme annoncé dans un dépliant publicitaire, l agence procède à un tirage au sort pour offrir un cadeau à l un des clients de ce séjour. On considère les évènements suivants : H : le tirage au sort a désigné un client de la formule «hôtel» ; A : le tirage au sort a désigné un client de la formule «aventure» ; S : le tirage au sort a désigné un client satisfait. 1. Construire un arbre de probabilités associé à cette expérience. ) 2. Déteminer P A (S), P A (S et P H (S). ( ) 3. Définir par une phrase l évènement : A S. Calculer P A S. 4. Montrer que la probabilité que le client désigné par le tirage au sort soit un client insatisfait est 0,22. 5. Calculer la probabilité que le tirage au sort ait désigné, parmi les insatisfaits, un client de la formule «aventure» et exprimer le résultat à 10 2 près. Exercice 1.3 Polynésie - Septembre 2011 Une agence de voyage propose deux types de séjour : en circuit organisé, au cours duquel les clients sont entièrement pris en charge ; en circuit libre, pour lequel seuls les hébergements et déplacements sont réservés (pas les repas, ni les visites de monuments). Après avoir fait une étude des séjours vendus en 2010, les gestionnaires de l agence se sont aperçus que 75 % de leurs clients sont des personnes âgées de plus de 60 ans. Ils ont noté d autre part, que : Parmi les personnes âgées de moins de 60 ans, 30 % ont opté pour un séjour en circuit organisé ; Parmi les personnes âgées de plus de 60 ans, 40 % ont opté pour un séjour en circuit libre. On interroge au hasard un client ayant fait appel aux services de cette agence en 2010. On appelle p la probabilité associée à cette expérience aléatoire. On note : S l évènement : «le client est âgé de plus de soixante ans» ; O l évènement : «le client a choisi un circuit organisé». 1. Déduire des informations de l énoncé : a. La probabilité p(s) de l évènement S. http ://flp.maths.free.fr 2 2011-2012
b. La probabilité p S (O) de l évènement O sachant S. ) c. La probabilité p S (O de l évènement O sachant S. 2. Construire un arbre pondéré traduisant la situation décrite dans l énoncé. 3. a. Quelle est la probabilité que le client interrogé soit âgé de plus de soixante ans et qu il ait choisi un séjour en circuit organisé? b. Démontrer que p(o)=0,525. 4. On apprend, par la suite, que le client interrogé a choisi un séjour en circuit organisé. Quelle est la probabilité qu il soit âgé de plus de soixante ans? On donnera le résultat arrondi au millième. Exercice 1.4 RH - Septembre 2011 Un magasin offre un choix de téléviseurs ayant des écrans de deux types : LCD ou plasma. 30 % des écrans proposés sont de type plasma. 60 % des écrans plasma et 50 % des écrans LCD sont soldés. Un téléviseur est choisi au hasard dans le catalogue du magasin. On admet que tous les téléviseurs ont la même probabilité d être choisis. On note : P l évènement : «l écran est de type plasma», L l évènement : «l écran est de type LCD», S l évènement : «le téléviseur est soldé». 1. S étant l évènement contraire de l évènement S, traduire par une phrase l évènement S. 2. Compléter l arbre de probabilités donné dans l annexe à rendre avec la copie. 3. a. Traduire par une phrase l évènement P S. b. Calculer p(p S) et p(l S). 4. Montrer que la probabilité qu un téléviseur choisi au hasard soit soldé est égale à 0,53. 5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On prélève au hasard un téléviseur parmi ceux qui sont soldés. Quelle est la probabilité pour que ce téléviseur ait un écran LCD? On arrondira le résultat au centième. 6. Les évènements L et S sont-ils indépendants? Justifier. http ://flp.maths.free.fr 3 2011-2012
Exercice 1.5 Mercatique Antilles - Septembre 2008 À l aide d une machine, un supermarché contrôle l authenticité de 2 000 billets de banque. Les coupures de 20 représentent 40 % de l ensemble des billets contrôlés. On a détecté 5 fausses coupures. Les billets de 20 représentent 60 % des fausses coupures. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant. Faire figurer le détail des calculs sur votre copie. Coupure de 10 Coupure de 20 Coupure de 50 Billets falsifiés 2 Billets authentiques 600 Total Total 2 000 Dans les questions suivantes, les réponses seront données sous la forme d une fraction irréductible. Un billet est choisi au hasard parmi les 2 000 billets contrôlés. On considère les évènements suivants : F : «le billet choisi est falsifié» ; C : «le billet choisi est une coupure de 50» ; V : «le billet choisi est une coupure de 20». 2. Définir par une phrase l évènement V F et calculer p(v F ). 3. Calculer la probabilité conditionnelle de F sachant C notée p C (F ). 4. Calculer p(f ). Peut-on dire que les évènements F et C sont indépendants? Justifier la réponse. Exercice 1.6 RH - Pondichery 2007 On considère un établissement scolaire de 2000 élèves, regroupant à la fois des collégiens et des lycéens. 19 % de l effectif total est en classe terminale. Parmi ces élèves de terminale, 55 % sont des filles. L année considérée, le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement a été de 85 %. Parmi les candidats ayant échoué, la proportion des filles a été de 8 19. 1. Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant : http ://flp.maths.free.fr 4 2011-2012
Élèves de terminale Garçons Filles TOTAL Réussite au baccalauréat Échec au baccalauréat 24 TOTAL 380 Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève parmi l ensemble des élèves de terminale. On considère les évènements suivants : G «L élève est un garçon» ; on note l évènement contraire dc G» ; R «L élève a obtenu son baccalauréat» ; on note R l évènement contraire de R. 2. Définir par une phrase les évènements suivants R ; G R. Dans la suite des questions, on donnera les résultats sous forme de nombre décimal, arrondi à 10 2. 3. Calculer les probabilités des évènements suivants R ; G ; G R. 4. Montrer que la probabilité, arrondie à 10 2, que l élève soit une fille, sachant qu elle a obtenu son baccalauréat, est égale à 0,57. Exercice 1.7 Pondichery - 2011 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées panni lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Suite à l envoi de bons de réduction par internet, le service marketing d un magasin de prêt-à-porter effectue une enquête sur les clients du magasin. Cette enquête a montré que : 40 % des clients possédaient un bon de réduction. 80 % des clients munis d un bon de réduction ont acheté un vêtement. 30 % des clients ne possédant pas de bon de réduction ont acheté un vêtement. On interroge au hasard un client sortant du magasin. On appelle p la probabilité associée à cette expérience aléatoire. On considère les évènements suivants : R : «Le client avait un bon de réduction» V : «Le client a acheté un vêtement» R est l évènement contraire de l évènement R et V est l évènement contraire de l évènement V. http ://flp.maths.free.fr 5 2011-2012
Annales 3 mai 2012 On rappelle qu on note p R (V ) la probabilité de l évènement V sachant l évènement R. La situation peut se traduire par l arbre ci-dessous : R R V V V V 1. La probabilité de l évènement «R et V», noté R V est égale à : a. 0,32 b. 0,8 c. 0,4 d. 1,2 2. La probabilité de l évènement V est égale à : a. 0,18 b. 1,1 c. 0,05 d. 0,5 3. Sachant que le client n avait pas de bon de réduction, la probabilité qu il n ait pas acheté de vêtement est égale à : a. 0,42 b. 0,7 c. 0,6 d. 0,9 4. Sachant que le client interrogé au hasard a acheté un vêtement, la probabilité qu il ait eu un bon de réduction est égale à : a. p(v R) p(v ) b. p(v ) p(r) c. p R (V ) d. p(v ) p V (R) Exercice 1.8 2010 Sur un site internet, on trouve les données suivantes qui concernent le Tour de France. Année 2006 2007 2008 Nombre de participants 176 189 180 Nombre d «épinglés»* 45 38 26 (Source : cyclisme-dopage.com) * La catégorie «épinglés» est constituée par les coureurs ayant été contrôlés positifs (y compris par constat de carence ou par constat d un hématocrite supérieur à 50 %), ayant reconnu s être dopé et ayant été sanctionnés (par la justice, leur fédération ou leur équipe) dans le cadre d affaires liées au dopage. http ://flp.maths.free.fr 6 2011-2012
Première partie : Traitement des données sur tableur On reporte ces données dans une feuille de calcul, afin de les compléter : A B C D E 1 Année 2006 2007 2008 total 2 Nombre de participants 176 189 180 545 3 Nombre d «épinglés 45 38 26 109» 4 Nombre de «non 436 épinglés» 5 Taux d «épinglés» 25,6 % La plage de cellule B5 :E5 est au format pourcentage à une décimale. 1. Donner une formule qui, entrée en cellule B4, permet par recopie vers la droite d obtenir le contenu des cellules de la plage B4 : D4. 2. Donner une formule qui, entrée en cellule E2, a permis par recopie vers le bas d obtenir le contenu des cellules de la plage E2 : E4. 3. Donner une formule qui, entrée en cellule B5, permet par recopie vers la droite d obtenir le contenu des cellules de la plage B5 : E5. 4. Calculer la valeur affichée dans la cellule C5. Deuxième partie : Probabilités Pour chacune des années 2006, 2007 et 2008, on dispose pour chaque participant d une fiche sur laquelle figurent l année, le nom du participant, et la mention«épinglé»ou bien «non-épinglé». Ainsi un même participant peut figurer sur plusieurs fiches s il a participé au tour de France plusieurs fois parmi les années 2006, 2007 ou 2008. Toutes les fiches sont mélangées, et on en choisit une au hasard. On définit les évènements suivants : D : «la fiche est une fiche du Tour de France de l année 2008» ; E : «la fiche porte la mention «épinglé». Les probabilités demandées seront arrondies au centième. 1. a. Calculer la probabilité de l évènement D. b. Calculer la probabilité de l évènement D E. c. Calculer la probabilité, sachant D, de l évènement E. 2. Calculer la probabilité de l évènement E. 3. Calculer la probabilité, sachant que la fiche choisie porte la mention «épinglé», que ce soit une fiche de l année 2008. http ://flp.maths.free.fr 7 2011-2012
2 Statistiques Exercice 2.1 RH 2009 Le tableau ci dessous retrace l évolution sur une vingtaine d années du record du monde de natation à l épreuve du 100 mètres nage libre hommes. Année Rang de l année x i Temps en secondes y i Rowdy Gaines 1981 1 49,36 Matt Biondi 1985 5 48,95 Matt Biondi 1986 6 48,74 Matt Biondi 1988 8 48,42 Alexander Popov 1994 14 48,21 Pieter Van Hoogenband 2000 20 47,84 Source. Site officiel du mouvement olympique. Une représentation du nuage de points ( x i ; y i ) est donnée en annexe 1 à rendre avec la copie. 1. a. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au millième). Pour l étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite D d équation y = 0,08x+ 49,2. b. Tracer la droite D sur le graphique de l annexe 1 à rendre avec la copie. c. En utilisant ce modèle d ajustement, donner une estimation du temps du record du monde à l épreuve du 100 mètres nage libre hommes en 2008. 2. a. Calculer le taux d évolution du temps du record du monde à l épreuve du 100 mètres nage libre hommes entre 1981 et 2000 (arrondir le résultat à 0,01 %). b. Sur les vingt années de 1981 à 2000, le temps du record du monde à l épreuve du 100 mètres nage libre hommes a été amélioré chaque année en moyenne de 0,164 %. Expliquer comment obtenir ce résultat. c. On suppose qu à partir de l année 2000 l évolution va se poursuivre sur le même rythme, c est-à-dire que chaque année le temps de ce record baissera de 0,164 %. Calculer, selon ce modèle, une estimation du temps du record du monde à l épreuve du 100 mètres nage libre hommes en 2008. 3. Pendant les jeux olympiques de Pékin, lors de l été 2008, Eamon Sullivan a abaissé le temps du record à 47,05 secondes. http ://flp.maths.free.fr 8 2011-2012
Parmi les deux modèles précédents, indiquer celui qui donne la meilleure approximation. Temps en secondes 49.0 48.5 48.0 47.5 47.0 46.5 Record du monde du 100 m nage libre hommes 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Rang de l année Exercice 2.2 La Réunion - 2011 Le tableau suivant donne l évolution du prix d un article de consommation courante entre le 1 er janvier 2000 et le 1 er janvier 2009. Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Rang de l année : x i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Prix en euros : y i 72 79 85 88 97 106 119 132 144 153 Partie A Le nuage de points de coordonnées ( x i ; y i ), pour i variant de 0 à 9, est donné en annexe 2, à rendre avec la copie. 1. Déterminer par la méthode des moindres carrés, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite d ajustement de y en x (arrondir les coefficients au millième). 2. On décide d ajuster le nuage avec la droite D d équation y = 9,2x+ 66. a. Tracer la droite D sur le graphique de l annexe 2, à rendre avec la copie. b. En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation du prix de cet article le 1 er janvier 2011. c. Selon cet ajustement, au cours de quelle année l article coûtera-t-il plus de 200? http ://flp.maths.free.fr 9 2011-2012
Annales 3 mai 2012 3. a. Calculer, en pourcentage, le taux d évolution du prix en euros de cet article entre le 1 er janvier 2000 et le 1 er janvier 2009. Partie B b. Calculer, en pourcentage, le taux annuel moyen d évolution du prix en euros de cet article entre le 1 er janvier 2000 et le 1 er janvier 2009 (arrondir à 0,1 On décide de modéliser l évolution du prix de cet article au cours du temps, à partir du 1 er janvier 2000, par la fonction f définie par f (x)=72 1,087 x. Ainsi : x est le temps écoulé depuis le 1 er janvier 2000, l unité de temps étant l année. f (x) est une estimation du prix de l article lorsqu il s est écoulé un temps x après le premier janvier 2000. Par exemple f (2,25) est une estimation, avec ce modèle, du prix de l article le 1 er avril 2002. 1. En utilisant ce modèle, estimer le prix, arrondi à l unité, de l article le 1 er janvier 2011 puis le 1 er juillet 2011. 2. En utilisant ce modèle, au cours de quelle année l article coûtera-t-il plus de 200? Préciser le mois. Partie C En réalité, entre le 1 er janvier 2009 et le 1 er janvier 2011 le prix de l article a augmenté de 15 %. Quel modèle donne la meilleure estimation du prix de cet article le 1 er janvier 2011? Prix en euros 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 Annexe 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Rang de l année http ://flp.maths.free.fr 10 2011-2012
Exercice 2.3 Antilles - Septembre 2011 L INSEE publie le tableau suivant, donnant l espérance de vie à la naissance des individus de sexe masculin (hors autres critères) selon l année de naissance. Année de naissance 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Rang (x i ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Age moyen au décès ( ) y i 75,3 75,5 75,8 75,9 76,7 76,8 77,2 77,4 77,6 1. Déterminer le taux d évolution de l espérance de vie des hommes entre 2000 et 2008. On donnera une valeur approchée à 0,01 % près. 2. Déterminer le taux d évolution annuel moyen de l espérance de vie des hommes entre 2000 et 2008. On donnera une valeur approchée à 0,01 % près. 3. Représenter le nuage de points associé à la série statistique ( x i ; y i ) dans un repère orthogonal. Sur l axe des abscisses, on placera 0 à l origine et on choisira 2 cm pour une unité. Sur l axe des ordonnées, on placera 75 à l origine et on choisira 5 cm pour un an. 4. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique et le placer dans le repère précédent (les coordonnées seront arrondies, si besoin, au dixième). 5. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés. Donner une équation de la droite de régression (D) de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième si nécessaire. Tracer la droite (D) dans le repère précédent. 6. Quelle estimation peut-on faire quant à l espérance de vie des hommes nés en 2010? Exercice 2.4 Nouvelle-Calédonie - 2012 Le tableau suivant donne la superficie et le prix de dix appartements anciens vendus récemment dans le centre d une petite ville : Superficie ( en m 2 ) : x i 32 36 38 42 45 65 70 80 90 110 Prix (en centaines d euros) : y i 330 370 400 430 450 660 680 780 850 1050 http ://flp.maths.free.fr 11 2011-2012
1. Représenter, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, le nuage de points M i ( xi ; y i ) associé aux informations ci-dessus. On adoptera les unités graphiques suivantes : sur l axe des abscisses : 1 cm pour 10 m 2 ; sur l axe des ordonnées : 1 cm pour 100 centaines d euros. 2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer dans le repère. 3. Donner une équation de la droite d ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au centième). 4. Dans cette question, on utilisera l équation obtenue dans la question 3 pour faire des estimations de prix et de surface. a. Estimer (à la centaine d euros près) le prix d un appartement de 150 m 2. b. Estimer (au mètre carré près) la surface d un appartement coûtant 160 000 euros. Exercice 2.5 Antilles - 2011 On étudie l évolution du montant brut horaire du SMIC au 1 er janvier de chaque année, à partir de 2002. On note x i le rang de l année (2002+i ) où i est un entier naturel. On obtient les résultats suivants : Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Rang de l année (x i ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Montant du SMIC horaire en euros ( ) 6,67 6,83 7,19 7,61 8,03 8,27 8,44 8,71 8,86 y i (Source : INSEE) 1. a. Déterminer le taux d évolution du montant brut horaire du SMIC entre le 1 er janvier 2002 et le 1 er janvier 2010 (On donnera le résultat sous forme d un pourcentage arrondi au dixième). b. En déduire le taux moyen annuel d évolution du montant brut horaire du SMIC pendant ces 8 années. (On donnera le résultat sous forme d un pourcentage arrondi au dixième). 2. a. Tracer le nuage de points dans un repère orthogonal d unités graphiques : 2 cm pour 1 an sur l axe des abscisses ; 2 cm pour 1 sur l axe des ordonnées. b. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage (on arrondira son ordonnée au centième) et le placer dans le repère. http ://flp.maths.free.fr 12 2011-2012
3. a. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement affine de y en x, par la méthode des moindres carrés, sous la forme y = ax+b (on arrondira les coefficients a et b au centième). Tracer cette droite dans le repère précédent. b. Calculer le montant brut horaire du SMIC que ce modèle laisse prévoir pour le 1 er janvier 2014. Exercice 2.6 STT - CG (équivalent Mercatique) - Nouvelle-Calédonie - Septembre 2006 Les données ci-dessous montrent l évolution du SMIC mensuel (169 h) en euros (les montants sont arrondis à l unité). Pour tout entier i, x i représente le rang de l année 2000+i ; y i représente le montant du SMIC au 1 er juillet de l année 2000+i. Date 1 er juillet 2001 1 er juillet 2002 1 er juillet 2003 1 er juillet 2004 1 er juillet 2005 x i 1 2 3 4 5 y i 890 913 957 1 013 1 067 1. Représenter sur un graphique le nuage de points M i ( xi ; y i ) de cette série statistique. On prendra 2 cm pour 1 en abscisse, 1 cm pour 20 en ordonnées en commençant la graduation à 850. 2. a. On considère le nuage formé par les trois premiers points. Calculer les coordonnées du point moyen G 1 de ce nuage, b. On considère le nuage formé des deux derniers points. Calculer les coordonnées du point moyen G 2 de ce nuage. c. Placer G 1 et G 2 sur le graphique et tracer la droite (G 1 G 2 ). d. Déterminer une équation de la droite (G 1 G 2 ). 3. Le SMIC est revalorisé le 1 er juillet de chaque année. Recopier et compléter la phrase suivante : «On s attend à ce que le SMIC devienne supérieur à 1 120 àpartir du 1 er juillet...». Expliquer votre réponse. Exercice 2.7 Mercatique - Antilles - Septembre 2008 L évolution des ventes d un produit fabriqué par une entreprise est donnée dans le tableau suivant : http ://flp.maths.free.fr 13 2011-2012
Année 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Rang de l année 0 1 2 3 4 5 6 7 x i Ventes y i 200 202 213 225 233 241 247 252 (en millions d unités) Partie A 1. Représenter graphiquement le nuage de points M i ( xi ; y i ) dans un repère orthogonal d unités graphiques : 1 cm pour une année sur l axe des abscisses ; 1 cm pour 10 millions sur l axe des ordonnées (graduer l axe des ordonnées à partir de 190). 2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points, Placer G dans le repère précédent. On cherche à faire une prévision pour l année 2009. Dans ce but, on propose deux modèles. Partie B : Modèle affine 1. Déterminer, à l aide d une calculatrice, une équation de la droite (D) d ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à l unité). 2. Tracer cette droite dans le repère précédent. Partie C : Modèle exponentiel Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; 10] par : f (x)=199e 0,04x. 1. Quel est le sens de variation de f sur l intervalle [0 ; 10]? Justifier la réponse, 2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira à l unité) : x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f (x) 216 3. Tracer la courbe (C ) représentative de la fonction f dans le repère précédent. Partie D Indiquer pour chacun des deux modèles, les prévisions que l on peut effectuer sur le nombre de ventes du produit durant l année 2009. http ://flp.maths.free.fr 14 2011-2012
3 Taux d évolution Exercice 3.1 Mercatique - Nouvelle-Calédonie - Décembre 2008 La feuille de calcul ci-dessous présente les indices de référence des loyers mensuels pour les années 2002 à 2006 (base 100 en 2004). Source INSEE M. Lasserre y a porté le montant des loyers mensuels de l appartement qu il loue ; ce montant évolue chaque année en fonction de l indice de référence. A B C D E F 1 Année 2002 2003 2004 2005 2006 2 Indice de référence 95,5 97,7 100 105,5 3 Loyer 334,25 341,95 350 359,10 369,25 4 Taux d évolution annuel en pourcentage Partie A Questionnaire à Choix Multiples Pour chaque question, une seule proposition est exacte. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la lettre indiquant la réponse choisie. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l absence de réponse est comptée 0 point. 1. L indice 105,5 en 2006 signifie : A : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,50 entre 2004 et 2006. B : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5 % entre 2002 et 2006. C : le montant du loyer mensuel a augmenté de 10 % entre 2002 et 2006. D : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5 % entre 2004 et 2006. 2. Le taux d évolution du loyer mensuel entre 2002 et 2003 (à 10 2 près) est égal à : A : + 2,20 % B : + 2,30 % C : + 7,70 % D : + 2,25 % 3. On souhaite compléter la ligne 4 ; quelle formule faut-il entrer dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, le taux d évolution annuel des loyers? Partie B A : =($C3 - $B3)* 100/ $B3 B : =C$3 - B$3)* 100/C$3 C : =(C$3 - B$3) * 100/ B$3 D : =(C$3 - B$3) * B$3 / 100 1. Calculer l indice de référence pour l année 2005. http ://flp.maths.free.fr 15 2011-2012
2. Calculer le taux moyen annuel d évolution des loyers mensuels entre 2002 et 2006, arrondi à 10 2 près. Exercice 3.2 Nouvelle-Calédonie - Novembre 2010 Pour chacune des questions de ce QCM une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte vaut 1 point. Une réponse inexacte ou l absence de réponse n apporte ni n enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note de l exercice est ramenée à 0. 1. La valeur d une imprimante achetée 850 se déprécie de 20 % par an. Quelle est sa valeur après trois ans? a. 340 b. 435,20 c. 544 d. 498,85 2. Les dépenses du service Communication d une entreprise sont passées de 2 000 en 2005 à 6 800 en 2008. 2. 1. Le pourcentage d augmentation est : a. 3,4 % b. 340 % c. 240 % d. 48 % 2. 2. La meilleure approximation du taux d évolution annuel moyen est a. 60 % b. 80 % c. 62,45 % d. 50,37 % 3. Soit f la fonction définie sur l ensemble R des nombres réels par : f (x)=3x 2 + e 4x+3. Sa fonction dérivée est définie par : f (x)= a. 6+e 4 b. 6x+ 4e 4x+3 c. 6+4e 4x+3 d. e 4x+3 Exercice 3.3 Nouvelle-Calédonie - Novembre 2009 1. Le prix du pétrole «a flambé» en 2008, voici un tableau donnant le prix, en dollars, du baril de pétrole au cours des 6 premiers mois de l année. mois janvier février mars avril mai juin prix en dollars 91,99 95,05 103,78 109,07 123,15 132,32 Les résultats seront donnés à 0,1 % près. Source : Direction des ressources é nergéitiques et minérales (DIREM) http ://flp.maths.free.fr 16 2011-2012
a. On décide de calculer les taux d évolution mensuels à l aide d un tableur. La feuille de calcul est donnée en ANNEXE 1. Choisir parmi les trois formules ci-dessous celle qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d obtenir la plage de cellules C3 :G3. Le format utilisé dans la plage considérée est le format «pourcentage à une décimale». Réponse 1 : «=(C$2-B$2)/B$2» Réponse 2 : «=(B$2-C$2)/C$2)» Réponse 3 : «=(C$2-B$2)/$B$2» b. Compléter le tableau de l ANNEXE 1, en calculant les taux d évolution mensuels. c. Calculer le taux d évolution global entre janvier et juin 2008. d. En déduire le taux moyen d évolution sur la même période. 2. Soit (P n ) la suite définie par les prix mensuels du baril de pétrole. P 0 est le prix du baril en juin 2008 et P n le prix du baril n mois plus tard, on a donc P 0 = 132,32 puis P 1 le prix en juillet 2008, etc. a. Des experts ont supposé que le prix du pétrole continuerait à augmenter de 7,5 % par mois à partir de juin 2008, Justifier alors que, selon ce modèle, la suite (P n ) est une suite géométrique de raison 1,075. b. Quel aurait été dans ces conditions le prix du pétrole en novembre 2008? c. En réalité le prix du pétrole en novembre 2008 était d environ 50 dollars. Que peut-on penser du modèle étudié dans les questions précédentes? 3. Le tableau ci-dessous donne le prix, en dollars, du baril de pétrole au cours des mois de mai des années 1992, 1996, 2000, 2004 et 2008. année 1992 1996 2000 2004 2008 prix en dollars 19,94 19,08 27,74 37,73 123,15 Source : Direction des ressources énergétiques et minérales (DIREM) Les résultats seront arrondis à l entier le plus proche. a. On choisit pour base 100 l année 1992. À l aide d un tableur, on calcule les indices du prix du baril de pétrole pour les années 1996, 2000, 2004 et 2008. La feuille de calcul est donnée en ANNEXE 2. Donner une formule qui, entrée daus la cellule C3, permet par recopie vers la droite d obtenir la plage de cellules C3:F3, ainsi que le format utilisé. b. Compléter le tableau donné en ANNEXE 2, en calculant les indices. c. Que signifie l indice obtenu en 2008 par rapport au prix du pétrole en 1992? http ://flp.maths.free.fr 17 2011-2012
A B C D E F G 1 mois janvier février mars avril mai juin 2 prix en dollars 91,99 95,05 103,78 109,07 123,15 132,32 3 taux d évolution mensuel (en %) 3,3 % 9,2 % A B C D E F 1 année 1992 1996 2000 2004 2008 2 prix en dollars 19,94 19,08 27,74 37,73 123,15 3 indice 100 139 Exercice 3.4 Mercatique - Polynésie 2007 Sur un site Internet on peut consulter le tableau suivant. Indicateur des taux fixes pour un prêt immobilier 15 ans 20 ans 25 ans Taux A 3,65 % 3,70 % 3,85 % Taux B 3,85 % 3,90 % 4,05 % Taux C 4 % 4,05 % 4,20 % On rappelle que le montant a, en euros, de chacune des n annuités dans le cas d un emprunt à annuités constantes de E euros, avec un intérêt annuel de i est : i a= E 1 (1+i) n Monsieur Durand et Monsieur Feux souhaitent emprunter 150 000 euros pour acheter un appartement. 1. a. Monsieur Durand choisit le taux A sur 15 ans, calculer le montant de l annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit. b. Monsieur Feux choisit le taux B sur 20 ans, calculer le montant de l annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit. 2. Monsieur Durand gagne 3 400 euros par mois et Monsieur Feux gagne 3 100 euros par mois. La banque refuse le dossier si la mensualité dépasse 30 % du salaire mensuel. a. Déterminer la ou les personnes pour qui le dossier sera refusé. b. Pour la ou les personnes refusée(s), proposer une solution qui soit acceptée par la banque. http ://flp.maths.free.fr 18 2011-2012
4 Suites Exercice 4.1 R.H. - 2011 Pour chaque question, parmi les trois réponses proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou un question sans réponse n apporte ni ne retire aucun point. 1. (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 = 1000 et de raison q = 1,1. Le troisième terme de la suite est égal à : 1004,4 1210 1331 2. (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 = 5,2 et de raison r = 2,5. A B 1 n u n 2 0 5,2 3 1 4 2 5 3 6 4 7 5 La formule à entrer en B3 et à recopier vers le bas pour obtenir les termes successifs de la suite (u n ) est : =B2+2,5*A3 =B$2+2,5 =B$2+2,5*A3 3. Le prix d un produit subit une hausse annuelle de 20 %. En prenant pour base 100 le prix du produit en 2006, l indice, arrondi à l unité, en 2011 sera égal à : 200 249 on ne peut pas savoir 4. Un enseignant veut acheter 60 clés USB pour ses élèves. On lui propose deux promotions : promotion A : réduction de 30 % par rapport au prix affiché pour chaque clé promotion B : offre d une clé supplémentaire gratuite pour tout achat d un lot de 2 clés Pour effectuer son achat au prix le plus bas, l enseignant doit choisir : http ://flp.maths.free.fr 19 2011-2012
la promotion A la promotion B la promotion A ou B Exercice 4.2 Antilles - R.H. - 2011 Une association humanitaire recherche une entreprise de forage pour creuser un puits, en plein désert, afin d atteindre une nappe d eau annoncée à 9 mètres de profondeur par un spécialiste. Partie 1 : Les tarifs de l entreprise, convertis en euros, sont les suivants : 100 pour le premier mètre creusé, 140 pour le suivant, et ainsi de suite en augmentant le prix de chaque nouveau mètre creusé de 40. On appelle n le nombre de mètres creusés et u n le prix du n-ième mètre creusé. Une feuille de calcul est utilisée afin de faire apparaître les différents tarifs. 1 Profondeur du puits en mètres A B C D n coût en euros du n-ième mètre creusé u n coût total en euros 2 1 1 100 100 3 2 2 140 240 4 3 3 180 420 5 4 4 220 6 5 5 7 6 6 8 7 7 9 8 8 10 9 9 11 10 10 1. En utilisant le tableau, préciser le prix du troisième mètre creusé, ainsi que le coût total pour un puits de 3 mètres de profondeur. 2. a. Dans le tableau, quelle formule faut-il saisir en C6 afin d obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite (u n )? b. Dans le tableau, quelle formule faut-il saisir en D5 afin d obtenir, par recopie vers le bas, le coût total en fonction du nombre de mètres creusés? 3. a. Quelle est la nature de la suite (u n )? On justifiera la réponse. b. Calculer u 10. c. Calculer le coût total pour un puits de 10 mètres de profondeur. http ://flp.maths.free.fr 20 2011-2012
Partie 2 : L État accorde une subvention à l association pour le forage de ce puits. Cette subvention, convertie en euros, est de 60 au départ pour le premier mètre creusé, augmentée de 35 % par mètre creusé supplémentaire. On appelle v n le montant, en euros, de la subvention accordée pour un puits profond de n mètres. Ainsi v 1 = 60. 1. Calculer le montant de la subvention accordée pour un puits profond de 2 mètres. 2. Justifier que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 3. Exprimer v n en fonction de n. 4. Montrer que le montant de la subvention accordée pour un puits de 10 mètres de profondeur est d environ 894. 5. En utilisant les résultats des questions précédentes et de la partie 1, calculer ce que devra réellement payer l association pour le forage du puits de 10 mètres de profondeur. Exercice 4.3 Polynésie - R.H. - 2011 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie, Aucune justification n est demandée. Une réponse juste apporte 1 point ; une réponse fausse ou l absence de réponse n apporte ni n enlève de point. On place 20 000 à intérêts composés au taux annuel de 1,8 %, On appelle u n le capital obtenu au bout de n années de placement. Ainsi u 0 = 20000. On a reproduit ci-dessous une feuille de calcul incomplète réalisée avec un tableur pour calculer les capitaux successifs et les intérêts perçus chaque année. A B C 1 Années Capital Intérêts 2 0 20 000 3 1 20 360 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 8 http ://flp.maths.free.fr 21 2011-2012
1. (u n ) est une suite géométrique de raison : a. 1,8 b. 360 c. 1,018 2. Le capital obtenu au bout de 8 ans de placement, arrondi au centime d euro, est : a. 22 660,24 b. 23 068,12 c. 22 880 3. Le capital dépassera 24 000 au bout de : a. 10 ans b. 11 ans c. 12 ans 4. La formule que l on peut saisir dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour calculer les intérêts de chaque année est : a. =B3 - B2 b. =B3/B2 c. =$B$3-$B$2 5. Le montant total des intérêts perçus en 8 ans de placement, arrondi au centime d euro, est : a. 3068,12 b. 407,88 c. 2 880 Exercice 4.4 La Réunion - 2011 Partie A On s intéresse à l évolution du prix d un paquet de cigarettes et du nombre de ventes de cigarettes en France entre 2000 et 2009. Le tableau 1 de l annexe 1, à rendre avec la copie, donne le prix et les ventes de cigarettes de la marque la plus vendue ainsi que les indices de ces ventes en prenant 2000 comme année de référence. Les pourcentages demandés seront arrondis à 0,1 %. 1. Compléter le tableau 1 de l annexe 1, en calculant l indice correspondant à l année 2002 et le montant des ventes en 2004. On justifiera les calculs sur la copie. 2. Ce tableau ayant été réalisé à l aide d un tableur, donner la formule qui, entrée en cellule D3, permet, par recopie vers le bas, d obtenir le contenu des cellules de la plage D3 : D11. 3. Calculer, en pourcentage, le taux d évolution du prix des cigarettes entre 2000 et 2009. http ://flp.maths.free.fr 22 2011-2012
Partie B Dans cette partie, on s intéresse à l évolution du nombre de fumeurs et du prix du tabac à partir de l année 2010. Dans une ville moyenne il y a 5 000 fumeurs en 2010. Cette même année, le paquet de cigarettes coûte 5,60. On peut lire dans certains articles de journaux qu une augmentation de 10 % du prix des cigarettes ferait diminuer le nombre de fumeurs de 3 à 4 %. Pour déterminer l évolution correspondante du prix des cigarettes et du nombre de fumeurs, on modélise le prix d un paquet de cigarettes et le nombre de fumeurs d une ville moyenne la même année par deux suites. Pour tout entier naturel n, u n désigne le prix, en euros, d un paquet de cigarettes de la marque la plus vendue pendant l année 2010+n et v n le nombre de fumeurs la même année. En 2010, on a donc u 0 = 5,60 et v 0 = 5000. On considère que le prix des cigarettes augmente de 10 % par an et que le nombre de fumeurs diminue de 4 % par an. 1. Montrer que la suite (u n ) est géométrique de raison 1,1. 2. Exprimer u n en fonction de n et calculer le prix d un paquet de cigarettes en 2020. 3. On admet que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 0,96. On utilise un tableur pour calculer les termes des deux suites. La feuille de calcul obtenue est représentée par le tableau 2 fourni en annexe 1. Donner une formule qui, entrée en cellule D3, permet, par recopie vers le bas, d obtenir le contenu des cellules de la plage D3 : D11. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. À partir de quelle année le nombre de fumeurs aura-t-il diminué de moitié et quel sera alors le prix d un paquet de cigarettes si l on considère que l on garde le même type d évolution? http ://flp.maths.free.fr 23 2011-2012
Annexe 1, à rendre avec la copie Tableau 1 A B C D 1 Année Prix d un paquet de cigarettes en euros Ventes de cigarettes (en millions d unités) Indice des ventes de cigarettes, arrondi à l unité 2 2000 3,20 82 514 100 3 2001 3,35 83 464 101 4 2002 3,60 80 529 5 2003 4,10 69 648 84 6 2004 5,00 67 7 2005 5,00 54 801 66 8 2006 5,00 55 772 68 9 2007 5,10 54 945 67 10 2008 5,30 53 589 65 11 2009 5,35 54 980 67 (Source : Altadis, filière de distribution de tabac en France métropolitaine hors Corse ) Les cellules de la colonne B sont au format nombre à deux décimales. Tableau 2 Le tableau 2 ci-dessous n est pas à compléter Évolution du nombre de fumeurs et du prix du tabac à partir de l année 2010 A B C D 1 Année n Prix d un paquet u n Nombre de fumeurs v n 2 2010 0 5,6 5 000 3 2011 1 6,2 4 800 4 2012 2 6,8 4 608 5 2013 3 7,5 4 424 6 2014 4 8,2 4 247 7 2015 8 2016 9 2017 10 2018 11 2019 Les cellules de la colonne C sont au format nombre à une décimale. Les cellules de la colonne D sont au format nombre à 0 décimale. http ://flp.maths.free.fr 24 2011-2012
Exercice 4.5 Antilles - 2011 Un institut démographique étudie les populations respectives de deux villes A et B. Partie 1 La ville A compte une population de 34 000 habitants en 2007. On observe depuis que chaque année, sa population augmente de 3 %. On note u 0 = 34000 le nombre d habitants de la ville A au 1 er janvier 2007, et u n le nombre de ses habitants au 1 er janvier de l année (2007+n). On arrondira au besoin les nombres d habitants à l unité. 1. Vérifier que u 1 = 35020 puis calculer u 2. a. Pour tout entier naturel n, exprimer u n+1 en fonction de u n. b. En déduire la nature de la suite (u n ). c. Déterminer alors u n en fonction de n. 2. Selon ce modèle : Partie II a. Calculer la population de la ville A au 1 er janvier 2012. b. À partir de quelle année la population de la ville A dépassera-t-elle 50 000 habitants? La ville B, qui comptait 45 000 habitants au 1 er janvier 2007, perd chaque année 500 habitants. On note v 0 le nombre d habitants de la ville B au 1 er janvier 2007, et v n le nombre d habitants au 1 er janvier de l année (2007+n). On a ainsi v 0 = 45000. 1. Montrer que v 1 = 44500 puis calculer v 2. 2. a. Pour tout entier naturel n, exprimer v n+1 en fonction de v n b. En déduire la nature de la suite (v n ). c. Déterminer alors v n en fonction de n. 3. Selon ce modèle, calculer la population de la ville B au 1 er janvier 2012. Partie III On rappelle que la population de la ville A augmente chaque année de 3 % et que la ville B perd chaque année 500 habitants. On donne, ci-dessous, un extrait d une feuille de calcul : http ://flp.maths.free.fr 25 2011-2012
A B C 1 n Ville A Ville B 2 0 34 000 45 000 3 1 4 2 5 3 6 4 7 5 1. a. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule B3 et recopier vers le bas pour compléter la plage de cellules B4 : B7? b. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour compléter la plage de cellules C4 : C7? 2. À partir de quelle année, la population de la ville A sera-t elle supérieure à celle de la ville B? Exercice 4.6 Polynésie - R.H. - Septembre 2011 Partie 1 Monsieur Économe décide de se constituer une épargne. Le 1 er juillet 2011, il déposera sur un compte rémunéré au taux annuel de 2,5 % la somme de 500. Ensuite, le 1 er juillet de chacune des années suivantes, il déposera 100 sur ce compte. On a reproduit ci-dessous une feuille de calcul réalisée à l aide d un tableur, qui donne la valeur, au centime d euro près, du capital qui sera acquis par Monsieur Économe au 1 er juillet de chaque année jusqu en 2015. A B C D E F 1 Date 01/07/2011 01/07/2012 01/07/2013 01/07/2014 01/07/2015 2 Valeur en 500 612,50 727,81 846,01 967,16 1. a. Expliquer quel calcul permet d obtenir la valeur du capital au 01/07/2012 b. Calculer la valeur du capital au 01/07/2016 après le dépôt de 100. 2. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C2 pour que, en recopiant vers la droite, on obtienne les valeurs indiquées dans la ligne 2? 3. Calculer le taux moyen annuel de l évolution du capital de Monsieur Économe entre le 01/07/2011 et le 01/07/2015. Partie II Monsieur Économe veut maintenant calculer les montants des capitaux qu il obtiendra chaque année s il n effectue qu un seul versement initial d un montant de 800 le 1 er juillet 2011 sur ce compte rémunéré au taux annuel de 2,5 %. On note u n le capital acquis au 1 er juillet de l année 2011+n. Ainsi u 0 = 800. http ://flp.maths.free.fr 26 2011-2012
1. Calculer u 1. 2. Déterminer la nature de la suite (u n ) et donner l expression de u n en fonction de n pour tout entier naturel n. 3. Comparer le capital acquis grâce à ce placement au 01/07/2015 avec celui acquis à la même date grâce au placement de la Partie 1. 4. Déterminer, à l aide de la calculatrice, en quelle année le capital acquis dépassera pour la première fois 1000 avec cette deuxième formule de placement. 5 Fonctions 5.1 Généralités (tous proviennent de RH) Exercice 5.1 Pondichery 2007 Lors d une compétition d athlétisme, un entraîneur analyse la technique d un lanceur de poids, et plus particulièrement la trajectoire du poids lors du lancer. On considère la fonction f donnée par f (x)= 0,08x 2 + 0,8x+ 1,92 pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [0 ; 12]. Cette fonction donne la hauteur (en mètres) du poids en fonction de la variable x (exprimée également en mètres). Cette variable x mesure la longueur entre les pieds du lanceur et l ombre au sol du poids (en considérant que cette ombre au sol est à la verticale du poids). f (x) O x 1. Recopier et compléter, à l aide de la calculatrice le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront donnés au centimètre près. x (en mètres) 0 0,5 1 1,5 2,5 4,5 5 5,5 6 6,5 8 9 10 11 12 f (x) (en mètres) http ://flp.maths.free.fr 27 2011-2012
2. Dériver la fonction f. 3. Étudier les variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; 12]. 4. Déterminer la hauteur maximale atteinte par le poids (au cm près). 5. À quoi correspond la (ou les) valeur(s) de x, solution(s) de l équation f (x) = 0 sur l intervalle [0 ; 12]? 6. a. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l intervalle [0 ; 12], b. Quelle est la longueur du lancer? f (x)= 0,08(x+ 2)(x 12). Exercice 5.2 Polynésie - Septembre 2011 La courbe C f tracée sur l annexe est la représentation graphique, dans un repère du plan, d une fonction f définie sur l intervalle [ 3 ; 8]. Cette annexe est à rendre avec la copie. Partie I Les questions de cette partie seront traitées par lecture sur la courbe donnée en annexe. 1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : x 3 0 3 f (x) 2. Résoudre l équation f (x)= 1 avec la précision permise par le graphique. 3. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Dresser le tableau de signe de la fonction f sur l intervalle [ 3 ; 8]. Partie II Soit g la fonction définie sur l intervalle [ 3 ; 8] par g (x)=0,5x 2 x 1,5. 1. On note g la fonction dérivée de la fonction g. a. Calculer g (x) pour tout nombre réel x de l intervalle [ 3 ; 8]. b. Déterminer le signe de g (x) sur l intervalle [ 3 ; 8] et en déduire le tableau de variation de la fonction g sur cet intervalle. 2. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : http ://flp.maths.free.fr 28 2011-2012
x 3 2 1 0 1 2 3 4 5 g (x) 3. On note C g la courbe représentative de la fonction g dans un repère. Tracer l allure de la courbe C g dans le même repère que la courbe C f sur l annexe. 4. Résoudre par lecture graphique l inéquation g (x) f (x). ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE 6 Courbe C f 5 4 3 2 1 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 Exercice 5.3 Antilles - 2011 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est correcte. Aucune justification n est demandée. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie. Toute réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte ou une question sans réponse n apporte ni ne retire aucun point. On considère la fonction f définie sur R par f (x)= 3x 2 + 7x+ 6. http ://flp.maths.free.fr 29 2011-2012
1. f ( 1) est égal à a. 2 b. 4 c. 10 2. f (x) peut être factorisé sous la forme a. (3+ x)( 3x+ 2) b. (3 x)(3x+ 2) c. (3x 3)(x+ 2) 3. Soit f la fonction dérivée de f, on a a. f (x)= 6x+ 7 b. f (x)= 6x+ 13 c. f (x)= 2x+ 7 4. Sachant que f ( 1)=13, une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 1 est : a. y = 13x+ 9 b. y = 13x 1 c. y = x+ 13 5. Dans cette question, on pourra s aider de la calculatrice graphique. La fonction f est croissante et positive sur l intervalle : a. [0 ; 3] b. [0 ; 1] c. [ 1 ; 1] 5.2 Fonctions exponentielles Exercice 5.4 Septembre 2010 Les ventes d un journal quotidien sont réparties entre les ventes en magasins spécialisés et les ventes par abonnements. Au cours des cinq dernières années, alors que les ventes en magasin ont progressé régulièrement, le nombre d abonnés a suivi la courbe C donnée dans l annexe 2. Le temps (en année) écoulé depuis le 1 er janvier 2005 est représenté en abscisse. Par exemple, x = 0 correspond au 1 er janvier 2005, x = 0,5 au 1 er juillet 2005, x = 1 au 1 er janvier 2006,.... Le nombre d abonnés au quotidien (en milliers) est représenté en ordonnée. 1. Dans cette question, on donnera les réponses avec la précision que permet le graphique. a. Quel était le nombre d abonnés au 1 er janvier 2010? b. Quel a été le nombre maximal d abonnés au journal? Préciser le mois et l année au cours duquel ce maximum a été atteint. c. Sur quelle période le quotidien a-t-il au minimum triplé le nombre d abonnés par rapport au 1 er janvier 2005? 2. La courbe C est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; 5] par f (x)=3e 0,1x2 +0,7x. http ://flp.maths.free.fr 30 2011-2012
a. Calculer une valeur approchée de f (5) à 0,001 près. Quel résultat de la question 1 peut-on vérifier à l aide de cette valeur? b. On rappelle que, u étant une fonction dérivable sur R, la fonction e u est dérivable sur R et que (e u ) = u e u. On note f la fonction dérivée de f sur [0 ; 5]. Montrer que f (x)=( 0,6x+ 2,1)e 0,1x2 +0,7x. c. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; 5]. d. Déterminer par calcul, à la dizaine près, le nombre maximal d abonnés au journal. 10 Nombre d abonnés ( 1000) y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Annexe 2 C 0 1 2 3 Temps écoulé 4 5 x Exercice 5.5 Réunion 2010 Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Formulaire Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors uv est dérivable sur I et (uv) = u v+ uv Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors e u est dérivable sur I et (e u ) = u e u. Chez un fabriquant de produits chimiques, une fuite de substance toxique s est produite dans un atelier. http ://flp.maths.free.fr 31 2011-2012
On note x le temps, exprimé en minutes, écoulé depuis l instant où la fuite a commencé. On s intéresse à l évolution de la concentration en substance toxique dans l atelier, en fonction de x, durant les trente premières minutes. On admet que cette concentration, exprimée en microgrammes par m 3, peut être modélisée par la fonction f définie pour tout x de l intervalle [0 ; 30] par : PARTIE A f (x)=3xe 0,2x L alarme installée dans l atelier sonne tant que la concentration en substance toxique est supérieure ou égale à 2,5 microgrammes par m 3. En utilisant la courbe représentative de la fonction f donnée en annexe 2, répondre, avec la précision du graphique, aux deux questions ci-dessous. 1. Au bout de combien de temps après le début de la fuite l alarme s est-elle déclenchée? 2. Pendant combien de temps l alarme a-t-elle sonné? PARTIE B On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle [0 ; 30]. 1. Calculer f (x) et vérifier que pour tout réel x de l intervalle [0 ; 30] on a : f (x)=(3 0,6x)e 0,2x. 2. Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [0 ; 30]. 3. Donner le tableau de variations de la fonction f. 4. En déduire à quel moment la concentration en substance toxique dans l atelier est maximale. Annexe 2 Concentration en substance toxique dans l atelier http ://flp.maths.free.fr 32 2011-2012