Optimisation par essaim particulaire pour un problème d ordonnancement et d affectation de ressources

INSTITUT SUPERIEUR D INFORMATIQUE DE MODELISATION ET DE LEURS APPLICATIONS COMPLEXE DES CEZEAUX BP 125 63173 AUBIERE CEDEX Rapport de Projet 3ème année Modélisation et Calcul Scientifique Optimisation par essaim particulaire pour un problème d ordonnancement et d affectation de ressources En vue de l obtention du diplôme d ingénieur Pressente par : Arnaud Rioland Alexandre Eudes Responsable ISIMA : Michel Gourgand / Sylverin Kemmoé Durée : 150h Date : 2007

INSTITUT SUPERIEUR D INFORMATIQUE DE MODELISATION ET DE LEURS APPLICATIONS COMPLEXE DES CEZEAUX BP 125 63173 AUBIERE CEDEX Rapport de Projet 3ème année Modélisation et Calcul Scientifique Optimisation par essaim particulaire pour un problème d ordonnancement et d affectation de ressources En vue de l obtention du diplôme d ingénieur Pressente par : Alexandre Eudes Arnaud Rioland Responsable ISIMA : Michel Gourgand / Sylverin Kemmoé Durée : 150h Date : 2007

Remerciements Nous remercions Monsieur Sylverin Kemmoé et Monsieur Michel Gourgand pour leur soutien et leur aide apportées tout au long de ce projet.

Résumé Notre projet de dernière année d école d ingénieur consistait à étudier une méta heuristique, l optimisation par essaim particulaire. Cela consiste à trouver l optimum d une fonction ou d un problème donné en déplaçant des particules dans son ensemble de définition. Nous l avons implémenté pour des fonctions continues, et pour des problèmes de recherche opérationnelle : de type flow shop et de type R.C.P.S.P. (Resource Constraint Project Scheduling Problem). Ensuite, nous avons réalisé une interface graphique qui permet de visualiser les résultats et de les commenter, mais qui pourra être aussi réutilisé pour d autres problèmes d optimisation. Mot clé : Optimisation, Essaim particulaire, Méta-heuristique, Recherche opérationnelle, flow shop, R.C.P.S.P., Interface graphique Abstract During our last Engineering School year, we have to study a meta-heuristic: the particular swarm optimization (P.S.O.). It consists in finding the function or problem s optimum. We have programmed for continuous functions and for operations research problem which are flow shop and R.C.P.S.P. (Resource Constraint Project Scheduling Problem). Then, we design a graphical interface to be enabled to display results and to comment its, but it would be reused on other optimization problem. Keyword: Optimization, Particular swarm, Meta heuristic, Operations research, Flow shop, R.C.P.S.P., graphical interface

Tables des Matières Introduction... 1 I. Présentations de l'algorithme d'optimisation par essaim de particules... 2 1. Définitions... 2 2. Principe général de l'optimisation par essaim de particule... 2 3. Optimisation continue... 4 4. Optimisation discrète... 6 a) Le flow-shop... 6 b) Le RCPSP (Resource Constraint Project Scheduling Problem)... 9 II. Implémentation... 12 1. L application... 12 2. Technologie XML... 13 3. Programmation de la méta heuristique... 13 1. Les classes génériques... 15 2. Classe spécifiques... 16 4) L interface graphique... 18 Table des figures Figure 1 - Exemple de voisinage géographique... 3 Figure 2 - Deux cas de voisinage social... 4 Figure 3 - Principe du déplacement d'une particule... 5 Figure 4 - Présentation des 2 cas pour le calcul du makespan... 7 Figure 5 - Evaluation du makespan pour le RCPSP... 10 Figure 6 Flux et utilisation de l XML... 12 Figure 7 - Représentation UML de la partie calcul... 14 Figure 8 Arbre d héritage de la classe problème... 16 Figure 9 - Description de la partie édition de l interface graphique... 19 Figure 10 - Description de la partie résultat de l interface graphique... 20

Introduction L optimisation est omniprésente dans tous les domaines : dans l industrie, dans l économie, dans la recherche scientifique, dans l aérospatiale C est la recherche des compromis entre un besoin et plusieurs contraintes : entre la résistance et le poids, entre les coûts, les ressources et les temps de production par exemple. De très nombreuses techniques se sont développées au cours du siècle dernier. Nous en avons étudié une : l optimisation par essaim particulaire. Cet algorithme était conçu à l origine pour résoudre des problèmes définis dans sur des ensembles continus. Il consiste en gros à déplacer un ensemble de particules dans l espace de définition de la fonction que l on veut étudier et de mémoriser les coordonnées de la meilleure position. A l heure actuelle, la communauté scientifique travaille sur des problèmes dans un contexte discret, des problèmes d ordonnancement, d affectation, de gestion de ressources comme le flow shop et le R.C.P.S.P. (Resource Constraint Project Scheduling Problem). Il existe parfois des algorithmes qui peuvent les traiter de manière exacte mais qui ont une complexité temporelle trop grande. Des méthodes ont été mises en place pour résoudre ce type de problème par valeur approchée et parmi elles, l adaptation de l optimisation par essaim particulaire. Elle a été imaginée par Maurice Clerc, un chercheur qui travaille au sein de l entreprise France Télécom, en 2000. On remplace les points par des ordonnancements et les fonctions continues par des fonctions d évaluation. Notre projet a consisté à mettre en place une interface graphique afin d étudier les différentes propriétés de l optimisation par essaim particulaire. Nous avons donc programmé cet algorithme pour optimiser une fonction continue, un problème de flow shop et un problème type R.C.P.S.P. et grâce à l outil de visualisation que nous avons produit, on a pu étudier les résultats que nous avons obtenu. Tout d abord, nous allons vous présenter l optimisation par essaim particulaire dans ses deux contextes (continus et discret) et les problèmes du flow shop et du R.C.S.P.S.P. puis comment nous avons implémenté les algorithmes d optimisation et l interface graphique. Enfin nous disserterons sur les résultats que nous ont donné nos différents tests. 1

I. Présentations de l'algorithme d'optimisation par essaim de particules 1. Définitions En règle générale, on ne connaît pas toujours de méthode exacte pour trouver la solution d'un problème d'optimisation en recherche opérationnelle. Dans ce cas on peut d'abord tenter de voir si le problème que l'on étudie n'a pas de problème équivalent qui ont déjà été résolu. Si l'on n'a toujours pas trouvé de méthode de résolution alors on utilise ce que l'on appelle une heuristique, c'est-à-dire un algorithme qui donne une solution approchée. Ces algorithmes sont assez intuitifs ou simples. On les déduits grâce à des observations et en faisant preuve de bon sens. Leur principe consiste souvent à explorer un certain nombre de solutions et de mémoriser la meilleure. Ils peuvent faire intervenir le hasard: cela permet de balayer un plus grand nombre de solution éventuelle, mais il faut les exécuter plusieurs fois pour tendre au mieux vers la solution optimale. Certaines heuristiques sont classées parmi les méta-heuristiques. Ce sont des algorithmes dont le principe peut être réutilisé pour traiter différents problèmes d'optimisation. Ce sont des principes génériques que l'on adapte selon le besoin. La plus utilisé des heuristiques et la plus simple est la descente stochastique. Voici son fonctionnement dans le cas d'un problème de minimisation : on choisit une solution initiale, on sélectionne au hasard un de ses voisins : Si la valeur de la fonction objectif pour cette nouvelle solution est plus petite alors on prend ce nouveau point comme point de référence et on observe ses voisins. Sinon on recherche un autre voisin. On s'arrête quand on se rend compte que l'on ne trouve plus de meilleure solution. 2. Principe général de l'optimisation par essaim de particule La méta-heuristique que nous avons étudiée dans le cadre de notre projet est l'optimisation par essaim de particules. On dispose d'une fonction objectif à optimiser dans un sens ou dans l'autre. Un essaim est un ensemble de particules positionnées dans l'espace de définition de la fonction objectif. Le principe de l'algorithme consiste à déplacer ces particules dans l'espace de définition afin de trouver la solution optimale. 2

Une particule est caractérisée par plusieurs attributs: sa position actuelle: c'est-à-dire ses coordonnées dans l'ensemble de définition et la valeur de la fonction objectif lui correspondant. sa meilleure position : c est la valeur obtenue par la particule et ses coordonnées. sa vitesse: cette donnée, recalculée à chaque itération de l'algorithme permet de déduire la position suivante de la particule. Elle est fonction de la meilleure position de la particule depuis le début de la recherche, du voisin le mieux positionné à l'instant actuel et de la vitesse précédente de la particule. ses voisins: c'est un ensemble de particule qui influe sur ses déplacements, en particulier celui qui est le mieux positionné. Il faut ensuite définir les voisinages et leur structure, il en existe de deux types : les voisinages géographiques : les voisins d'une particule sont ses voisines les plus proches. Ce type de voisinage impose l'utilisation d'une distance pour recalculer à chaque itération (ou toutes les k itérations) les voisins de chaque particule. Ci-dessous un exemple où les voisins d une particule sont les deux particules qui lui sont le plus proche. Particule colorée Voisins de la particule Figure 1 - Exemple de voisinage géographique 3

Les voisinages sociaux : les voisinages sont établis à l'initialisation et ne sont pas modifiés ensuite. Il existe différentes structures de voisinages sociaux, nous allons vous en présenter quelques uns. Voisinage en ligne et colonne Voisinage en cercle Figure 2 - Deux cas de voisinage social Si on utilise un voisinage en lignes et colonnes alors deux particules de l essaim sont voisines si elles appartiennent à la même ligne ou à la même colonne. Si on utilise un voisinage en cercle, les voisines d une particule sont, par exemple, les deux qui sont positionnées à sa gauche et les deux qui sont positionnées à sa droite. Le principe de l'optimisation par essaim particulaire a notamment été conçu à partir de modèles sociaux. En effet, chacune des particules agit en fonction de sa propre expérience et de celle de ses voisins. Pour se déplacer elle prend en compte son histoire (sa meilleure position) et est attirée par la meilleure particule actuelle de son voisinage. C'est le modèle des comportements d'individu au sein d'une tribu. 3. Optimisation continue Dans un premier temps, pour nous familiariser avec la méta-heuristique et ses principes nous l'avons utilisé dans son cadre originel : l'optimisation de fonctions continues. Les particules sont dans un premier temps placées aléatoirement dans l'ensemble de définition de la fonction objectif. Ensuite on calcule pour chacune de ses particules leur vitesse. Dans ce but, on mémorise leur meilleure position depuis le début et on recherche celle de ses voisins les plus proches à cet instant-là. 4

Où : et sont les vitesses de la particule aux itérations k et k+1. est la meilleure position de la particule. est la meilleure position d'un voisin à l'itération k. est la position de la particule à l itération k., et sont des coefficients fixés au début du programme ou générés aléatoirement. Ensuite, on peut déterminer la position suivante de la particule grâce à la vitesse que l on vient de calculer : Où : est la position de la particule à l'itération k. est générée aléatoirement. est nulle. Position actuelle de la particule Position du meilleur voisin Vitesse actuelle Meilleure position de la particule Nouvelle position Figure 3 - Principe du déplacement d'une particule Les fonctions étant généralement définies dans un domaine borné, on doit donc gérer les effets de bord i.e. les moments où la particule s'échappe de cet ensemble. Dans ce cas deux optiques: on peut imaginer que la particule rebondit sur cette limite ou qu'elle reste bloqué sur la limite et qu'elle ne puisse plus se mouvoir dans cette direction. Nous avons choisit la deuxième solution, elle est plus simple à mettre en œuvre et permet d'être plus précis si la solution recherchée se trouve sur les contours de l'ensemble de définition. 5

4. Optimisation discrète Au départ, les algorithmes d optimisation par essaim particulaire était destinée exclusivement pour des fonctions continues. En 2000, Maurice Clerc s'est rendu compte que cet algorithme pouvait être utilisé à d'autres fins, et notamment pour résoudre des problèmes d'ordonnancement, d'affectation ou de planification. a) Le flow-shop Dans un premier temps, nous avons dû adapter cette méta-heuristique au problème du flow shop. Le problème du flow shop est un problème d'ordonnancement. On a pièces à fabriquer et machines. On va donc noter le temps de traitement de la pièce sur la machine. Les pièces sont traitées par toutes les machines et on a qu'une seule gamme (une gamme c'est l'ordre dans lequel les pièces parcourent la chaîne de production). L'objectif est de déterminer l'ordonnancement de traitement des pièces qui minimise le makespan, c'est-à-dire le temps total de traitement de l'ensemble des pièces. 1. Calcul du makespan pour un ordonnancement des pièces données : On définit la fonction qui retourne la pièce traitée en i ème position et la date de sortie de la pièce de la machine. On commence par placer la première pièce de l ordonnancement sur la première machine. Ensuite, on calcule les dates de fin de traitement des pièces sur la première machine. Il en est de même pour les dates de fin de traitement de la première pièce de l ordonnancement sur les différentes machines. 6

Les calculs des autres dates de sortie se fait récursivement. Il y a différents cas à considérer, ils dépendent de la date de fin de traitement de la pièce précédente sur la machine et de celle de la pièce sur la machine précédente (figure 3). Dans le premier cas, c est le traitement de la pièce sur la machine précédente qui se termine après la fin du traitement de la pièce précédente dans l ordonnancement donc l opération commence en. Dans le second, les dates de fin sont inversées et la piéce commence à être traité en d où la formule : On peut donc calculer le makespan : 1 2 Figure 4 - Présentation des 2 cas pour le calcul du makespan 7

2. Notion de vitesse : Le principal problème du passage du continu au discret réside dans les notions de position et de vitesse. Une position dans l ensemble de recherche correspond à un ordonnancement. Les vitesses doivent permettre de passer d un ordonnancement à un autre c est pourquoi on les définit comme un ensemble de permutation., et les deux soustractions ci-dessus correspondent à des vitesses. Les, et sont des ordonnancements. Il faut donc redéfinir les opérateurs et. L opérateur + permet d appliquer à un ordonnancement un ensemble de permutation (une vitesse). Exemple : L opérateur est utilisé pour concaténé deux permutations. Exemple : L opérateur est la multiplication par un scalaire positif d une permutation. Si ce scalaire est un entier alors on répète n fois les permutations. Si c est un réel x compris entre 0 et 1, on enlève certaines permutations, plus le nombre est petit et moins on en laisse. Pour les autres entiers positifs on les écrit sous la forme n + x. L opérateur retourne l ensemble des permutations qui permettent de passer d un ordonnancement à un autre. Exemple : Nous disposons maintenant de tous les outils pour résoudre un problème de flow shop par la méthode de l'optimisation par essaim particulaire. On peut suivre désormais le principe de la méta heuristique. 8

3. No hope La procédure «no hope» (pas d espoir en français) permet de relancer l essaim quand on ne parvient plus à améliorer la solution optimale du problème. Après un nombre important d itération, on réinitialise les particules afin de pouvoir analyser d autres ordonnancements (cf.ii.2.1) b) Le RCPSP (Resource Constraint Project Scheduling Problem) Le problème du R.C.P.S.P. est à la fois un problème d'ordonnancement et un problème de planification. On dispose d'un nombre constant de ressource. On a n tâches à effectuer, chacune nécessite un certain nombre de ressource pendant un temps de traitement donné. Il s'agit donc de générer un planning qui minimise la durée totale nécessaire pour effectuer toutes les tâches. On utilise les mêmes principes pour les positions et les vitesses que ceux du flow shop. C'est lors du calcul du makespan que l'on détermine les dates de début et de fin des différentes tâches. L'algorithme ne se contente pas de calculer la durée totale des opérations mais planifie toutes les tâches. 1. Calcul du makespan : On dispose d'un ordonnancement des tâches qui ne correspond pas à l'ordre dans lequel ces tâches sont effectuées (contrairement au flow shop par exemple) mais plutôt à l'ordre d insertion des tâches dans le planning. En effet, on commence par sélectionner la première opération de l'ordonnancement: on l'insère dans le planning au tout début du calendrier. On prend la deuxième tâche et on regarde si l on dispose d assez de ressource à t=0 : si oui alors on regarde si ces ressources restent disponibles pendant la durée de la tâche. Sinon on recherche une autre date de début de la tâche (on recherche la date la plus petite possible). On continue à rentrer les tâches dans le planning au fur et à mesure. Pour récupérer le temps total de traitement, on mémorise la plus grande des dates de fin de tâche, ce qui va nous permettre d évaluer les différents ordonnancements. Le passage du flow shop au R.C.P.S.P. s'est donc limité à la modification de la fonction objectif. 9

1 2 3 4 R MAKESPAN Figure 5 - Evaluation du makespan pour le RCPSP Sur l exemple ci-dessus, les pièces sont insérées dans l ordre croissant. 2. Prise en compte des contraintes de précédence A cela, nous devons ajouter les contraintes de précédence. La tâche i précède la tâche j si la date de fin de la tâche i est inférieure à la date de début de la tâche j. Pour gérer ces contraintes, il faut bien veiller à ce que dans les ordonnancements i est placé avant j pour toutes les contraintes contenues dans ce problème et que la date de début d une tâche soit supérieure à toutes les dates de fin des tâches qui la précède. Dans un premier temps, il faut adapter les ordonnancements à ces contraintes : si une tâche en précède une autre, alors elle devra être placé devant dans l ordonnancement. Pour cela, il faut redéfinir l opérateur qui permet d appliquer une vitesse (c est-à-dire un ensemble de permutations) à un ordonnancement, ceci afin qu aucune contrainte de précédence ne soit violée. Prenons un exemple simple : Exemple : avec la contrainte. On veut permuter 2 et 5 sur l ordonnancement ci-dessus. On ne peut pas les échanger directement comme sur le flow shop car, dans ce cas, on violerait la contrainte, il faut donc procéder pas à pas. La contrainte n existe pas : on peut donc les permuter. De la même manière on démontre que l on peut intervertir 2 et 4 puis 2 et 5. 2 a pris la place de 5, on obtient l ordonnancement suivant :. Il faut maintenant ramener le 5 à la place du 2. On peut 10

échanger 4 et 5. Ensuite, en principe, il faudrait permuter 3 et 5 mais cela violerait la contrainte : dans ce cas là, on décide de laisser 5 à cette place. Le principe général consiste donc à déplacer les deux tâches dans l ordonnancement d une place à chaque fois, on commence par bouger vers la droite la première tâche dans l ordonnancement et on s arête si on a atteint la place désirée ou si il y a une situation de blocage dues aux contraintes de précédence. On opère de la même manière avec la seconde tâche à échanger, mais en se déplaçant vers la gauche. Il faut aussi prendre en compte cette contrainte au niveau du calcul du makespan. On peut fixer la date minimale de début d une tâche comme étant le maximum de toutes les dates de fins des tâches qui la précède. On les connait toutes car grâce à l ordonnancement car on les a déjà calculées. 11

II. Implémentation 1. L application Le but de ce projet était de réaliser une application capable d optimiser différents problèmes grâce à l optimisation par essaim particulaire. Il était aussi demandé d avoir une interface graphique permettant de définir les différents paramètres. L application se devait d être rapide et modulaire. Pour cela il a été décidé de découpler la partie implémentation de la méta-heuristique et la visualisation graphique. Le système d entrée sortie à été construit de manière à découpler le plus possible le module de calcule de l interface. Pour cela on a utilisé la technologie XML pour la conception de l interfaçage entre les deux modules : Génération Automatique Fichier de Résultat Module de Calcul Outil Statistique Interface Graphique Fichier de configuration Interface Graphique Figure 6 Flux et utilisation de l XML L utilisation de l XML permet de créer des flux entre les différentes partie du logiciel qui sont ainsi découpler et peuvent être lancés sur des machines différentes mais aussi être réutilisé plus facilement. Notre travail a consisté à créer le module de calcul et l interface graphique, un module de génération automatique du fichier de configuration pourra être implémenté par la suite. L application se divise en deux parties distinctes : Le code de calcul réalisé en c++ pure. Cela permet de pouvoir, utiliser ce code sur tout type de machine. Il lit en entré un fichier de configuration qui décrit les actions à effectuer : Le Problème et la manière de l optimiser. Et génère en sortie un fichier de résultat. L interface graphique, réalisé en c++.net qui fonctionne seulement sous Windows. 12

Elle est capable de génère le fichier de configuration et de lire le fichier de données. 2. Technologie XML La technologie Xml( Extensible Markup Language) provient des technologie web et permet de construire, utiliser,explorer des documents contenant des données structurées par un système de balise. Ce format de fichier a l avantage d être facile à parser(lire le fichier et stocker ses informations dans l application) Le fait de rendre compte de la structure des données, la rend parfaitement compatible avec le concept d objet des langages évolués actuels. Ces deux technologies se combinent parfaitement. Le langage objet permet de créer les structures dynamiques et le XML apporte la partie transport, stockage et conversion de l information. Puisque liée aux technologies web, cette technologie est en plein essor et de ce fait, son utilisation est simplifiée par l existence de parseur prêt à l emploi. Dans notre cas nous avons utilisé la bibliothèque Xerces qui a l avantage d être en c++ et de plus d être portable. Cette bibliothèque fournit un patron de conception d un parseur Xml qui permet de créer son propre parseur adapté à ses données. 3. Programmation de la méta heuristique Nous avons choisi le C++ comme langage de programmation pour ce projet. Il a l avantage d être orienté objet et cela nous a permis de factoriser le code et de n'écrire qu une fois les principes généraux de l optimisation par essaim particulaire. De plus, la bibliothèque S.T.L. (standard Template Library) contient des outils pour manipuler très facilement des listes utiles pour définir un essaim ou des voisinages. On peut partager en deux catégories les différentes classes que l'on a implémentées : Les classes génériques, c'est-à-dire celles qui sont indépendantes du problème à résoudre: Essaim : cette classe contient l'ensemble des particules et les voisinages, elle contient la position de la valeur optimale trouvée. Particule : c'est une composante de l'essaim qui se déplace dans l'espace de définition de la fonction objectif. Elle contient sa position actuelle, sa meilleure position et leurs valeurs. 13

1 1 Essaim Meilleure particule N 1 Particule Problème 1 Position actuelle 1 Meilleur position Vitesse Génère Instance Génère Figure 7 - Représentation UML de la partie calcul Les autres classes sont spécifiques au problème à résoudre : Problème : elle contient les informations générales qui sont recueillies dans les fichiers d'entrée et la fonction objectif. Instance : c est les coordonnées d une particule dans l ensemble de définition et la valeur de la fonction objectif en ce point. Vitesse : elle contient les données qui permettent de passer d'une instance à une autre. 14

1. Les classes génériques La classe Essaim contient le nombre de particules et la liste les regroupant. Elles sont stockées dans un vecteur de la S.T.L. (vector<particule*>). On lui associe un Problème. Elle possède aussi un attribut qui pointe sur la meilleure particule trouvée depuis le début de la recherche de l optimum et une particule par voisinage qui contient la meilleure position trouvée par le voisinage. C est à partir de cette classe que l on gère l avancée de l algorithme. Elle ordonne le déplacement des particules. A chacune on leur demande dans un premier temps de déterminer leur nouvelle vitesse avant de les déplacer. La classe Particule permet de représenter les points qui se déplacent dans l espace de définition de la fonction objectif. Elle contient deux éléments de la classe Instance, l un contenant la position actuelle de la particule, et l autre la meilleure position visitée par cette même particule. Elle est associée à une vitesse qui permettra de calculer la prochaine position. La classe Essaim possède une méthode «No Hope» qui est activée si la meilleure position n est pas améliorée pendant les X dernières itérations. Elle consiste à, dans un premier temps, faire revenir la particule à sa meilleure position. Et à partir de la a ce déplacer aléatoirement. Pour cela à chaque itération on créé une nouvelle vitesse et on l applique sur la particule. On s arrête dans le cas où la valeur de la particule s est améliorée ou si l on a effectué X itération. Cette procédure permet de ressusciter une particule qui s est orienté dans une direction n offrant plus de valeurs intéressantes et à restaurer la diversité au sein de l essaim. Le second problème concernant les voisinages concerne leur stockage. Nous avons testé deux méthodes: Pour chaque particule, on crée une liste où on mémorise l adresse de chacun des voisins. Pour rechercher le meilleur, on parcourt cette liste pour chacune des particules et on retient le meilleur. On définit tous les voisinages par rapport à l essaim. On commence pour chacun des voisinages par récupérer la meilleure position actuelle puis pour toutes les particules, on sélectionne la meilleure position des voisinages auxquelles elle appartient. Nous avons commencé par mettre en place la première méthode puis nous nous sommes rendu compte qu en utilisant la deuxième on ne parcourt qu une seule fois chaque voisinage par itération, ce qui permet de gagner du temps en cas d un nombre important de particule. 15

2. Classe spécifiques Pour chaque problème à traiter par la méthode d essaim particulaire, on implémente trois classes spécifiques : Une classe qui dérive de Problème qui contiendra les attributs spécifiques à chaque problème et la fonction d évaluation d une Instance. Une classe qui dérive de Instance qui contiendra spécificité des solutions du problème et l application d une vitesse à une Instance. Une classe qui dérive de Vitesse qui contiendra la représentation d une vitesse et les operateurs pour les manipuler entre elles. Problème RCPSP Problème Flow Shop Problème Continu Problème Figure 8 Arbre d héritage de la classe problème L arbre ci-dessus est aussi valable pour les classes Instance et Vitesse, en précisant que les classes Vitesse spécifique au RCPSP et au flow shop sont identiques. 16

a) Le Problème continu Dans le cas du Problème continu, il faut définir le problème, l instance, la vitesse correspondante. En continu, la définition du Problème revient à donner la fonction d évaluation, le domaine de validité, le nombre de dimensions. Une instance contient la position courante, un point de, c'est-à-dire un tableau de réel. Elle doit vérifier que la position reste valide après chaque déplacement (on reste dans les bornes). La vitesse est un vecteur de, donc un tableaux de réel aussi. b) Le Problème de Flowshop Pour implémenter le problème du flow shop, une Instance est une liste qui contient l ordre dans lequel les pièces doivent être traitées. Les listes sont initialisées par l intermédiaire de la fonction random_shuffle( iterator deb, iterator fin) de la S.T.L. Cette fonction prend un élément de la classe vector (son début et sa fin) en paramètre puis réordonne aléatoirement ses éléments. La classe Instance contient aussi la valeur du makespan correspondant à l ordonnancement. Cette valeur est calculée dans la classe Problème, qui contient la fonction d évaluation spécifique au problème du flow shop explicitée dans au chapitre précédent, et elle contient aussi une méthode permettant de lire et d enregistrer les données des fichiers de données, qui sont le nombre de pièce, le nombre de machines et tous les temps de traitement. La classe Vitesse contient une liste qui stocke les permutations. On rentre les coordonnées des points qui devront être intervertis. Cette liste contient 2n entiers, chaque permutation correspondant à 2 entiers (les 2 à permuter). Ensuite, nous avons codé les opérateurs nécessaires aux calculs. L opérateur défini une simple concaténation, l opérateur en répétant plusieurs fois la liste ou en la scindant. L opérateur est en fait ici un constructeur : on lui fournit deux ordonnancements d entrée et il retourne une nouvelle instance de la classe Vitesse qui permet d aller d un ordonnancement à un autre. Il ne reste plus qu à appliquer ces permutations à la particule que l on va déplacer. C) Le RCPSP On est parti de l existant pour le flow shop, on conserve la gestion des ordonnancements. Seul change leur initialisation : on génère dans un premier temps une liste qui est commune pour toutes les particules qui assure le respect des contraintes de précédence (pour cela on insère les tâches une à une dans l ordonnancement si leurs prédécesseurs sont déjà insérés dans la liste. Ensuite pour chacune des particules on applique une vitesse générée aléatoirement, ce qui permet de diversifier les particules avant de lancer l optimisation. Dans la classe Instance, on a modifié aussi l opérateur +, celui que l on utilise pour appliquer une vitesse à une particule. On bouge à chaque fois d une place les tâches dans l ordonnancement, afin de ne pas violer une contrainte de précédence quand on effectue une 17

permutation (cf. I.4.b.2). Quand on programme ces vitesses, on commence par déplacer vers la droite la première tâche à permuter : Si elle peut être positionnée à la place de l autre tâche que l on voulait permuter alors décale cette autre tâche d une case vers la droite, et il faut prendre en compte ce décalage lorsqu on va vouloir ramener cette tâche à la place de la première. Sinon, la deuxième tâche de la permutation n a pas bougé et on la ramène à partir de sa position initiale. Enfin, dans la classe Problème, on récupère les données nécessaires contenues dans les fichiers d entrée, c est-à-dire le nombre de tâche, leurs durées et leurs quantités de ressources nécessaires, le nombre total de ressource disponible par unité de temps, le nombre maximum d itérations, et toutes les contraintes de précédence. Ces dernières sont stockées dans une matrice PREC. Reste ensuite à coder la fonction d évaluation (cf. I.4.b.1) qui retourne le makespan, les dates de début et de fin de chacune des tâches tout en prenant bien en compte les contraintes de précédence. On a ajouté dans la classe Instance deux tableaux pour mémoriser ces données. 4) L interface graphique L interface graphique est une surcouche permettant d utiliser le code de calcul sans programmer directement ou éditer les fichiers xml à la main. Son but est de simplifier la tâche de l utilisateur en lui donnant accès directement aux différents paramètres et en lui apportant une visualisation graphique des résultats. Elle a été programmée grâce à la technologie c++.net qui permet de créer relativement simplement des interfaces graphiques pour Windows. Le choix du c++ s imposait naturellement pour garder une continuité avec le module de calcul. Elle est composée de deux panneaux : Le premier permet de générer le fichier de configuration en créant une liste de tâche à effectuer. Elle donne la possibilité de charger ou d exporter un fichier de configuration ou d exécuter le calcul directement. Elle se présente comme suit (voir figure): La première partie gère la configuration : Un panneau permet d ajouter une nouvelle tâche en définissant les paramètres : - Nombre de réplication : le nombre de fois où l on exécute la procédure d estimation. En effet les positions et les vitesses initiales dépendent d un générateur aléatoire. Pour être sûr que la méthode donne des résultats dans tout les cas, il est nécessaire d exécuter un grand nombre de fois la méthode pour en garder que la tendance générale. 18

- Nombre d itération : le nombre maximum d itération effectué - La valeur optimal ou la meilleure solution connue : ce paramètre permet de calculer à quelle distance on se situe de la solution optimale et elle sert de test d arrêt pour le calcul du temps de convergence. - La case à cocher «Optimale» permet de dire s il s agit de la valeur optimale ou non. Dans le cas d une valeur optimale, on arrête la méthode sitôt cette valeur rencontrée. - La case à cocher «mémoriser tout» permet de décider si on veut stocker toute les valeurs au cours des itérations ou seulement les résultats statistiques. - Le cadre suivant sert à définir les propriétés de l essaim : les paramètres C1 et C2 et le nombre de particule. - Le bouton «ajouter» permet d ajouter la tache définie précédemment dans la liste. Le deuxième panneau permet de gérer la liste des tâches : - Le bouton «Supprimer» supprime une tâche. - Les boutons «charger» et «exporter» permettent de gérer le fichier xml de configuration associé à la liste des taches. - Le bouton «calculer» sert à exécuter le calcul et à afficher les résultats dans la deuxième partie. Mode édition Liste des tâches Paramètre générale Propriété de l essaim Type de problème Ajouter une tâche à la liste Supprimer une tâche à de la liste Charger/Exporter le ficher de configuration Exécuter la liste de Tâches Figure 9 - Description de la partie édition de l interface graphique 19

La deuxième partie gère l affichage des résultats : Un arbre permet d accéder à tous les niveaux de données stockées : du problème qui donne les statistiques générales de chaque exécution qui donne la moyenne et la meilleure position au court du temps et enfin de chaque particule. Le graphe permet de visualiser graphiquement les résultats associé à l élément sélectionné dans l arbre. Le curseur permet de sélectionner l itération dont on veut afficher les propriétés. Le cadre du bas affiche les informations courantes. Les boutons «charger» et «exporter» permettent de gérer le ficher de résultat. Mode résultat Liste des résultats Evolution d une particule Evolution de la meilleure particule Position du curseur Déplacer la position courante Charger/Exporter le ficher de résultat Propriétés de la position courante Figure 10 - Description de la partie résultat de l interface graphique 20

5) Résultat Optimisation de fonction continu : Pour 30 réplications de 20 particules et 100 itérations avec C1=0.5 C2=0.5 fonction Nb d itération moyen Valeur moyenne objectif Minimum T moyen(s) Objectif atteint Norme² 22 0. 00569911 0.01 3*10-16 0.13 28 Rosenbrock 34.6333 150.926 100 3.2546e-013 0.13 19 Rastrigin 1.33333 0.000541188 100 0 0.13 30 Griewank 4.2 0.0195548 0.1 1.55312e- 0.13 20 011 shaffer 100 0.00245586 10-5 0.00245586 0.16 0 Pour 30 réplications de 20 particules et 100 itérations avec C1=0.2 C2=0.8 fonction Nb d itération moyen Valeur moyenne objectif minimum T moyen(s) Objectif atteint Norme² 10.7333 3.62173e-006 0.01 1.56636e-021 0.13 28 Rosenbrock 25.0667 32.5276 100 1.96272e-009 0.13 25 Rastrigin 1.06667 0.00377072 100 0.00377072 0.13 30 Griewank 11.6667 0.0396408 0.1 0.0396408 0.13 28 shaffer 100 0.0108516 10-5 0.00245586 0.16 0 On voit que l optimisation par essaim particulaire optimise les fonctions objectifs. La valeur objectif est atteint dans la plupart des cas et le minimum est très proche de 0. L influence des coefficients c1 et c2 est manifeste mais son influence dépend de la fonction la certain jeu de coefficient améliore la solution de certain problème, ces coefficients en dégrade d autre. 21

Pour le Flow shop, Avec C1=0.5 et C2=0.5 fonction Nb d itération Valeur objectif minimum T moyen(s) Objectif moyen moyenne atteint Pb.1 400 2457.6 2213 2408 3 0 Pb.19 400 2366.5 2180 2316 3 0 Pb.1 2000 2311.9 2213 2381 20 0 Pb.19 2000 2455.2 2180 2290 20 0 Pour le Flow shop la meilleure solution connue est approchée asymptotiquement mais nécessite un grand nombre d itération pour l atteindre (convergence lente). Les coefficients C1 et C2 doivent être réglé précisément pour converger plus vite. 22

Conclusion Nous avons implémenté l optimisation par essaim particulaire sur des fonctions définies dans des domaines continus, et sur des problèmes de type flow shop ou R.C.P.S.P. Le point délicat concerne la recherche des bons coefficients c 1 et c 2 (les constantes que l on applique aux vitesses) pour s approcher au maximum des solutions optimales connues. L interface graphique que l on a produite est extensible à tous les problèmes d optimisation. Ces algorithmes peuvent être coder en Fortran, par exemple, puis les résultats sont sauvegardés dans un fichier XML. Ce dernier sera rechargé par notre interface graphique qui pourra afficher toutes les données dont on a besoin. On peut, de plus, générer un module statistique qui fait varier une constante de l algorithme d optimisation, ce qui nous permet d étudier différentes alternatives. En partant de ce programme, on pourrait imaginer un logiciel qui pourrait appliquer différentes méta heuristiques (recuit simulé, algorithme tabou ) à des problèmes de combinatoire, d affectation, d ordonnancement et alors comparer chacune des méthodes sur un exemple précis. Les graphiques permettraient de confronter les algorithmes et notamment leur vitesse de convergence. 23

Bibliographie : M.Clerc Discrete Particle Swarm Optimization illustrated by the Traveling Salesman Probleme 2003 David LEMOINE Optimisation par essaim particulaire (Examen probatoire du diplôme d ingénieur C.N.A.M.) 2004 Instance du flowshop http://www.cs.colostate.edu/sched/generatornew/index.html Instance du Rcpsp http://129.187.106.231/psplib/ 24