Première partie : Effectifs et fréquences Dans deux entreprises d'un groupe industriel a été mené une enquête sur le niveau de formation des employés. On a obtenu les résultats suivants : Entreprise 1 Entreprise 2 Niveau de Sans formation B E P B A C B T S Autre formation Effectif 12 16 84 58 10 Niveau de Sans formation B E P B A C B T S Autre formation Effectif 18 45 468 351 18 1) Une lecture rapide de ces tableaux permet-elle de comparer efficacement le niveau de formation des deux entreprises? 2) a) Donner l'effectif total de chacune des entreprises. b) Compléter alors les tableaux suivants : ( Dans la mesure du possible gérer les arrondis afin que la somme des fréquences soit égale à 1 ) Entreprise 1 Entreprise 2 Niveau de formation Fréquence Niveau de formation Fréquence Sans formation B E P B A C B T S Autre sans formation B E P B A C B T S Autre Rappel : L'effectif d'une valeur du caractère est le nombre d'individus de la population correspondants à cette valeur. L'effectif total est le nombre d'individus de la population La fréquence d'une valeur du caractère est son effectif divisé par l'effectif total. c) Quelle est l'entreprise qui vous semble avoir le meilleur niveau de formation? 01/08 SECONDE Page 1 sur 8
Deuxième partie : Diagrammes statistiques Exemple 1 : la série statistique de l'entreprise 1 a été représentée par les différents diagrammes suivants : Diagramme circulaire entreprise 1 ( ou "camembert" ) sans form ation B E P Les mesures des angles sont proportionnelles aux effectifs ( ou aux fréquences ) B A C B T S AUTRE 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 sans formation B E P B A C B T S AUTRE entreprise1 Diagramme a bandes Les hauteurs des bandes sont proportionnelles aux effectifs ( ou aux fréquences ) Attention les tableurs comme Excel appellent ce type de graphique histogramme ce qui ne correspond pas à la définition mathématique de l'histogramme (On le verra dans la troisième partie ) Travail personnel : Exercice 1 1) Construire deux graphiques "camembert et diagramme à bandes représentant graphiquement la série statistique de l'entreprise 2. 2) Construire un diagramme à bande ( à double bande) permettant de comparer le niveau de formation des deux entreprises sur un même graphique. Exercice 2 : Compléter le tableau ci-dessous : Valeur du caractère x1 x 2 x 3 x 4 Effectif 24 150 160 Fréquence ( en % ) 37,5 Exercice 3 :Compléter le tableau ci-dessous afin de représenter la série statistique par un diagramme circulaire Valeur du caractère x1 x 2 x 3 x 4 x 5 total Fréquence en % 18 5 47 16 14 Angle au centre 360 01/08 SECONDE Page 2 sur 8
Troisième partie : Cas des séries statistiques regroupées en classe Exemple 1 : On a interrogé des adolescents pour connaître la durée hebdomadaire d'audience des émissions télévisées. Les résultats sont regroupés en classe d'amplitude deux heures. On a obtenu l'histogramme ci contre : 1) Quel est l'effectif total de la population interrogée? 2) Remplir le tableau des effectifs suivant : Durée [0;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[ [8;10[ [10;12[ Effectif 3) Cette fois on a interrogé les adultes sur le même sujet. On a obtenu le tableau suivant : Durée [0;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[ [8;10[ [10;12[ Effectif 150 50 40 50 100 150 Construire un histogramme représentant cette série. Vous n'oublierez pas de légender en précisant comment est représenté l'effectif 10 par exemple. EXEMPLE 2 : Une entreprise a effectué une enquête auprès de son personnel en leur demandant la distance en km qui sépare l'usine de leur domicile On a obtenu l'histogramme ci-contre 1) Des classes de même effectif sont représentés par des rectangles de hauteurs différentes. Est ce cohérent? Expliquez. 2) Cette entreprise possède une usine dans une autre ville. On a posé la même question au personnel de cette dernière. On a obtenu le tableau suivant : Distance (en km ) [0;10[ [10;20[ [20;30[ [30;50[ [50;100[ Effectif 150 75 50 100 100 Cette fois encore les classes n'ont pas forcémént la même amplitude. Par exemple la classe [50;100[ est 5 fois plus étendue que la classe [0,10[. Donc pour un même effectif la hauteur de la bande correspondant à la classe [50;100[ devrait être : 5 fois... que la bande correspondant à la classe [0;10[. Conclusion : Les hauteur des bandes sont proportionnelles à leurs effectifs et inversement proportionnelles aux amplitudes de leurs classes. Remplir alors le tableau suivant puis construire l'histogramme : La hauteur de la bande d'effectif 150 a été fixée par mes soins mais on aurait bien sur pu choisir une autre valeur. Distance (en km ) [0;10[ [10;20[ [20;30[ [30;50[ [50;100[ 1/Amplitude 1/10......... 50 Effectif 150 75 50 100 100 Effectif/amplitude 15............ Hauteur de la bande 5 cm............ 01/08 SECONDE Page 3 sur 8
Quatrième partie : polygone des fréquences cumulées : Exemple 1 : Une étude statistique a été menée par la direction de l'évaluation et de la prospective portant sur le nombre d'élèves des 1429 lycées publics en France en 1995. Le tableau ci-dessous présente la répartition des lycées selon le nombre d'élèves par établissement. Nombre d'élèves ]200;300] ]300;500] ]500;700] ]700;900] ]900;1500] ]1500;2200] Nombre de Lycées 41 144 199 230 582 233 Fréquence des.................. Lycées 1) a) Compléter le tableau ci-dessus. Les fréquences seront données sous forme décimale au centième près. 2) Compléter le tableau ci-dessous. Les fréquences seront arrondies au centième près. Nombre d'élèves x 200 300 500 700 900 1500 2200 Nombre de lycées ayant moins de x élèves 0 41 1429 Fréquence cumulée croissante 0 0,03 3) Le graphique ci-dessous représente ce que l'on appelle le polygone des fréquences cumulées croissantes : a) Représenter sur le graphique l'intervalle [ 400 ; 750 ] b) Utiliser le graphique pour lire la fréquence des lycées dont le nombre d'élèves est situé entre 400 et 750 01/08 SECONDE Page 4 sur 8
Exemple 2 : Les durées en seconde des communications d'un standard téléphonique sont regroupées en classe de même amplitude La première classe correspond à l'intervalle [ 30 ; 50 [ On a représenté ci-dessous le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série En exploitant le graphique entourer la bonne réponse : L'effectif total de la population est : 150 200 420 500 L'amplitude en secondes d'une classe est: 120 10 20 40 L'effectif de la troisième classe est : 90 80 30 50 le centre de la dernière classe est : 140 130 110 100 Le nombre de communications dont la durée dépasse une minute est : 20 80 180 95 Le nombre de communications dont la durée est comprise entre 60 secondes et 100 secondes est : 20 90 110 40 01/08 SECONDE Page 5 sur 8
Cinquième partie : Moyenne, mode et étendue Exercice 1 : Une série de notes les notes du premier devoir de Mathématiques d'une classe de seconde sont données par le diagramme en bâton ci-contre : 1) a) Remplir le tableau des effectifs Notes 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 effectif b) Calculer la moyenne m1 de cette série statistique c) Donner la valeur du mode M1 (valeur du caractère de plus grand effectif) d) Donner la valeur e1 de l'étendue ( Différence entre la plus grande valeur observée avec la plus petite ) 2) Les notes du deuxième contrôle sont donnés dans le tableau suivant : Notes 7 8 9 10 11 12 13 effectif 1 2 12 8 6 1 2 a) Construire le diagramme en bâton de cette nouvelle série statistique. b) Calculer la moyenne m2 puis préciser le mode M2 et l'étendue e2 c) Quel est le devoir le mieux réussi si l'on utilise comme indicateur la moyenne? Quel est le devoir le mieux réussi si l'on utilise comme indicateur le mode? Quel est le devoir le mieux réussi si l'on utilise comme indicateur l'étendue? Exercice 2 : Temps passé devant la télévision On a interrogé des adolescents pour connaître la durée hebdomadaire d'écoute des émissions télévisées. Les résultats sont regroupés en classe d'amplitude de deux heures. On a obtenu l'histogramme ci-contre : 01/08 SECONDE Page 6 sur 8
1) a) Quel est l'effectif de la population interrogée? b) Remplir le tableau des effectifs suivants :. Durée [0;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[ [8;10[ [10;12[ effectif 2) Calculer une valeur approchée de la moyenne m. ( On remplacera les classes par leur milieu ) 3) Quelle est la classe modale? 4) Donner une valeur approchée de l'étendue. Exercice 3 : Distance lieu de travail domicile Une entreprise a effectué une enquête auprès de son personnel en leur demandant la distance en km qui sépare l'usine de leur domicile On a obtenu l'histogramme ci-contre 1) Calculer une valeur approchée de la moyenne. 3) Quelle est la classe modale? 4) Donner une valeur approchée de l'étendue Exercice 4 : Jet de deux dés. fréquence. On a lancé 500 fois deux dés en notant à chaque jet la somme des numéros obtenus. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous. Somme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Effectif 14 32 38 51 74 85 71 53 36 37 9 Fréquence 1) Compléter le tableau en donnant les fréquences de chacune des valeurs du caractère. ( RAPPEL : La fréquence d'une valeur du caractère est le quotient de l'effectif de ce dernier par l'effectif total ) 2) Calculer la moyenne de cette série statistique. 3) Je vous propose le jeu suivant : On lance deux dés, je gagne si la somme obtenue est inférieure strictement à 8. Avez vous intérêt à jouer avec moi.? Sixième partie : Médiane La médiane est une valeur μ qui partage la population en deux parties telles que : au moins 50 % de l'effectif total prend des valeurs inférieures où égales à μ au moins 50 % de l'effectif total prend des valeurs supérieures où égales à μ Ainsi la médiane est une valeur μ du caractère qui partage la population en deux séries d'égal effectif ( 50 % avant, 50 % après ). Il faut néanmoins distinguer le cas d'un effectif total pair du cas d'un effectif total impair. Dans la pratique, les valeurs du caractère doivent être classées par ordre croissant afin d'obtenir la valeur de la médiane.. Exercice 1 : Population d'effectif impair voici une série de 15 résultats,classés par ordre croissant, obtenus avec un dé : 1;1;2;2;2;3;4;4;5;5;5;5;6;6;6 La médiane μ vaut 4. En effet il y a 8 individus de la population "avant " la valeur 4 et 8 valeurs "après" Exercice 2: Population d'effectif pair Voici une série de 20 résultats, classés par ordre croissant obtenus avec un dé : 1;1;1;2;2;2;2;3;3;3;4;4;4;4;4;4;5;5;5;6 Il y a 10 individus de la population "avant " la valeur 3 et 11 après. 01/08 SECONDE Page 7 sur 8
Il y a 11 individus de la population "avant " la valeur 4 et 10 après. Il n' y a donc pas de valeur de caractère partageant la population en deux partie égales. Dans ce cas on choisit pour valeur de la médiane : μ = 3,5 Les durées en seconde des communications d'un standard téléphonique sont regroupées en classe de même amplitude. La première classe correspond à l'intervalle [ 30 ; 50 [ On a représenté ci-contre le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série En exploitant le graphique entourer la bonne réponse : TRAVAIL PERSONNEL : EXERCICE 1 : Séries statistiques données par un tableau Déterminer les médiane des séries statistiques suivantes ( On précisera si l'effectif total est pair où impair ): Valeurs 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 20 Effectif 1 5 7 4 3 4 5 3 3 1 1 Valeurs 25 58 60 65 67 68 73 75 76 77 78 81 Effectif 1 2 1 3 1 2 1 3 2 2 1 1 Valeurs 55 58 59 61 65 68 69 72 85 Effectif 2 5 3 8 3 4 3 1 1 EXERCICE 2 Un fabriquant de chaussure pour hommes s'interroge sur l'organisation de la chaîne de fabrication. Il veut à la fois éviter d'être en rupture de stock sur une pointure qui se vend fréquemment, et ne pas investir sur la fabrication de pointures trop rares. un sondage, sur 250 hommes adultes choisis au hasard, donne la répartition des pointures suivantes. Pointure 38 39 40 41 42 13 44 45 46 47 48 Nombre 1 4 21 34 48 55 42 37 7 0 1 d'hommes 1) a) Déterminer l'étendue des pointures et la pointure médiane de cet échantillon b) Si on ne comptabilisait pas les deux pointures extrêmes que deviendrait la médiane? 2) Les personnes interrogées qui chaussent du 42 au 44 représentent quel pourcentage de l'échantillon? EXERCICE 3 : Dans une entreprise de 20 employés on a la répartition des salaires mensuels en suivante: Salaire 8500 2 000 1 200 Nombre de 1 6 13 personnes 1) Calculer la moyenne des salaires 2) Calculer le salaire médian. 3) Quel est de ces deux indicateurs celui qui représente le mieux la répartition des salaires dans cette entreprise? Pourquoi? EXERCICE 4 : Voici la liste des gains (en francs) et le nombre de gagnants enregistrés pour le mercredi 14 février 2001 gain 2 875 240 66 450 4 310 220 110 24 12 0 nombre de 4 18 960 11505 46 641 41 729 789 488 900 000 gagnants 1) Déterminer une valeur approchée au franc près de la moyenne des gains 2) Déterminer le gain médian 3) Quel est de ces deux calculs celui qui représente le mieux l'échantillon? 01/08 SECONDE Page 8 sur 8