Résolution approchée du problème de set packing bi-objectif Xavier Delorme 1,2, Xavier Gandibleux 2 et Fabien DEGOUTIN 1,2 1. Laboratoire d Automatique, de Mécanique et d Informatique industrielles et Humaines Équipe : Recherche Opérationnelle et Informatique INRETS 2. Institut National de Recherche sur les Transports et leur Sécurité Unité de Recherche : Évaluation des Systèmes de Transports Automatisés et de leur Sécurité
Plan de la présentation Set Packing bi-objectif Résolution Expérimentations Conclusion et perspectives 2 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Set Packing Problem bi-objectif n max c 1 i x i max s/c i=1 n c 2 i x i i=1 n t li x i 1 l = 1,..., k i=1 x i {0, 1} avec t li {0, 1}. 3 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Solutions efficaces Z 2 solution supportée (SE) solution non supportée (NE) solution dominée Z 1 4 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Problème ferroviaire Exploitation des infrastructures ferroviaires : conflits entre trains empruntant le même parcours : contraintes d incompatibilités entre trains multi-objectif : maximiser le nombre total de trains maximiser le nombre de trains de chaque type maximiser les préférences du décideur 5 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Plan de la présentation Set Packing bi-objectif Résolution Expérimentations Conclusion et perspectives 6 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Résolution du bi-spp Problème NP-difficile Atteinte des limites d une résolution exacte Utilisation des métaheuristiques Pas d existant, utilisation de 2 approches : métaheuristique multi-objectif générique métaheuristique mono-objectif spécialisée SPP 7 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Strength Pareto Evolutionary Algorithm SPEA présente de bons résultats sur le problème de sac à dos multi-objectif opérateurs génétiques : 0 0 1 0 1 0 0 1 - croisement : 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 - mutation : parents enfants 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 opérations de sélection et d évaluation des individus : concept de dominance Pareto 8 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
SPEA pour le bi-spp Paramètres : population initiale de 50 individus obtenue par un glouton taux de croisement : 80 % taux de mutation : 4 % Adaptation au niveau des individus : conserver des solutions réalisables : réparation améliorer les solutions : saturation Améliorations : 3 directions de recherche pour la saturation garder toutes les solutions potentiellement efficaces phase de recherche locale (1-1 échanges) 9 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Métaheuristique mono-objectif spécialisée SPP Greedy Randomized Adaptative Search Procedure (GRASP) Algorithme glouton aléatoire + Recherche locale Valuation α * maxi I ( Valuationi ) { x } X =,..., 1 x n Fixation d une variable Évaluation et classement Sélection aléatoire Liste de candidats Solution admissible Méthode de descente 0 1 échanges 1 1 échanges 2 1 échanges 1 2 échanges 10 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Améliorations en mono-objectif Reactive GRASP : choix dynamique du paramètre α Path relinking : calcul de chemins entre les meilleures solutions Processus d apprentissage : éviter les contraintes bloquantes 11 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Modifications pour le cas bi-objectif Application de l algorithme suivant 20 directions sur l espace des objectifs : λc 1 (1 λ)c 2, λ {0, 1 19,..., 18 19, 1} Plusieurs solutions par directions : conserver toutes les solutions potentiellement efficaces 12 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Plan de la présentation Set Packing bi-objectif Résolution Expérimentations Conclusion et perspectives 13 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Instances 1/2 6 familles de fonctions objectifs ont été utilisées : A : aléatoires B : aléatoires et symétriques C : aléatoires avec motifs D : symétriques avec motifs E : un unitaire et un aléatoire F : un unitaire et un avec motifs 14 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Instances 2/2 Caractéristiques : 100 ou 200 variables de 300 à 1 000 contraintes une densité de la matrice T de 1% à 3% 120 instances Disponibles sur le site de la MCDM : http ://www.terry.uga.edu/mcdm/ 15 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Résolution exacte Méthode dichotomique Relativement peu de solutions efficaces A B C D E F Moyenne 100 variables 18,2 18,4 19,8 16,6 4,2 4,1 13,6 200 variables 39 35,1 44,2 32,9 5 5,5 27 Forme particulière de la frontière efficace, existence de trous Mauvaise qualité des bornes 16 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Frontière efficace et bornes 2800 RL 01 glouton 2600 2400 z2 2200 2000 1800 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 z1 17 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Temps de résolution exacte Temps moyens très importants A B C D E F Moyenne 100 96 120 109 66 33 29 76 s 200 62188 51007 53142 57478 46695 63613 55687 s jusque 360 000 secondes! 18 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Résolution approchée Temps alloué à chaque métaheuristique : 20 s pour les instances à 100 variables 80 s pour les instances à 200 variables Indicateurs utilisées pour comparer les 2 métaheuristiques : pourcentage de solutions efficaces trouvées (M1) distance euclidienne moyenne à la frontière efficace l hypervolume (S-metric) : surface (pour le bi-spp) définie dans l espace des objectifs par l ensemble des solutions efficaces 19 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
SPEA GRASP Pourcentages moyens de solutions efficaces trouvées A B C D E F Moyenne SPEA 75% 76% 75% 82% 82% 83% 79% GRASP 72% 70% 73% 79% 68% 73% 72% Distances moyennes à la frontière efficace A B C D E F Moyenne SPEA 4,62 4,49 4,70 2,24 1,96 1,25 3,21 GRASP 5,12 5,24 3,65 3,73 9,19 13,76 6,78 20 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
GRASP SPEA Hypervolume : Pourcentages moyens de la frontière efficace A B C D E F Moyenne SPEA 98,9 98,8 99,0 99,3 99,1 99,0 99,0 % GRASP 99,9 99,8 99,9 99,9 99,2 99,4 99,7 % 21 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Exemples 1/2 4700 4600 GRASP SPEA 4500 4400 4300 z2 4200 4100 4000 3900 3800 3700 3400 3500 3600 3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 z1 22 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Exemples 2/2 2800 2700 GRASP SPEA 2600 2500 z2 2400 2300 2200 2100 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 z1 23 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Plan de la présentation Set Packing bi-objectif Résolution Expérimentations Conclusion et perspectives 24 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Conclusion Travail exploratoire (taille des instances limitées) 2 métaheuristiques différentes : SPEA / GRASP Résultats très intéressants : plus de 79 % des solutions efficaces trouvées distance faible plus de 99% de l hypervolume couvert Pas une métaheuristique supérieure à l autre 25 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin
Discussion et perspectives Indicateurs : utiles pour comparer des métaheuristiques éviter de tirer des conclusions trop hâtives Phase de path-relinking dédiée multi-objectif pour GRASP Hybridation GRASP - SPEA : GRASP initialise SPEA : meilleure couverture SPEA densifie et améliore l approximation 26 X. Delorme, X. Gandibleux et F. Degoutin