Quantification de l énergie pour les systèmes simples

Les buts de cet amphi Quantification de l énergie pour les systèmes simples Chapitre 4 Utiliser le formalisme de la physique ondulatoire pour aborder des problèmes de physique d une grande importance pratique Propagation de particules microscope à effet tunnel, radioactivité!" Particules confinées énergies quantifiées, liaison chimique. IBM surface d un cristal de cuivre, 48 atomes de fer forment une enceinte d un rayon de 7 nm Les deu types de mouvement classique On considère un potentiel qui tend vers 0 quand r tend vers l infini V (r) = Gmm r 1. États liés et états de diffusion E = E cinétique + V (r) E = 0 énergie O O E < 0 E > 0 états liés états de diffusion électrons dans un atome collisions entre particules

Les états stationnaires de l équation de Schrödinger La forme des états stationnaires (1D) Hamiltonien Ĥ = ˆp2 2m + V (ˆ) ˆp = i d d On considère un potentiel qui tend vers quand tend vers l infini V() On s intéresse au états propres de l hamiltonien Ĥψ α () =E α ψ α () E α : valeur propre réelle (dimension d une énergie) «équation de Schrödinger indépendante du temps» Solutions physiquement intéressantes : tend vers 0 quand tend vers l infini Rappel : une fois les ψ(, 0) = α C α ψ α () ψ α () connus, on déduit l évolution de tout état ψ(, t) ψ(, t) = α C α ψ α () e ie αt/ Remarque : on peut chercher des fonctions propres! " réelles. Si! " est solution, alors! " * est solution pour la même énergie. Si, état directement éligible comme fonction d onde état lié se comporte comme une combinaison d ondes planes à l infini : quand On peut l utiliser pour former des paquets d ondes état de diffusion Etats liés et états de diffusion Deu théorèmes importants concernant les états liés (1D) Le théorème de Sturm-Liouville (fonctions propres réelles) V() On peut classer les niveau par valeur croissante de l énergie en fonction du nombre de nœuds (points où le signe change) de la fonction d onde. V min V() 2 ème état ecité : 2 nœuds Aucun état physiquement intéressant avec E < V min 1er état ecité : 1 nœud Entre V min et, états liés en nombre fini ou dénombrable Au dessus de, continuum d énergies : états de diffusion

Deu théorèmes importants concernant les états liés (1D) Le cas de potentiels symétriques (ou «pairs») V() Potentiel V() symétrique par rapport à 0 : 2. L eemple du puit semi-infini 0 On peut chercher les états propres de sous forme de fonctions paires ou impaires. A montrer en eercice, en remarquant que si est état propre, alors l est également énergies:? Les fonctions impaires ont toujours au moins un nœud en = 0 État fondamental pair Premier état ecité impair Deuième état ecité pair, Conditions de continuité : résumé Recherche des états de diffusion Potentiel V() continu,borné (cas "réel")!() V() Fonction d'onde #() bornée, continue, 2 fois dérivable état d énergie E supérieure à E région 1 : 1 2 discontinu, borné ("marche") bornée, continue, 1 fois dérivable (#''() est discontinue) région 2 : discontinu, non borné ("mur") bornée, continue, non dérivable (#'() est discontinue) Il faut ensuite raccorder ces fonctions en

Recherche des états de diffusion E > (II) Recherche des états liés En = L, la fonction d onde! et sa dérivée! sont continues : état d énergie E inférieure à région 1 : A sin(kl) =B sin(k L)+C cos(k L) ka cos(kl) =k (B cos(k L) C sin(k L)) k = 2mE/ k = 2m(E ) / E 1 2 Système linéaire de 2 équations à 3 inconnues : pour toute E> on trouve une solution différente de la solution nulle A = B = C = 0 région 2 : Pour toute énergie supérieure à la valeur asymptotique du potentiel, on trouve un état propre!() de l hamiltonien. Il se comporte comme une onde plane à l infini, en B sin(k )+C cos(k ) ou de manière équivalente en βe ik + γe ik Il faut encore raccorder ces fonctions en... Recherche des états liés E < (II) Résultats pour le puit semi-infini En = L, la fonction d onde! et sa dérivée! sont continues : A sin(kl) =Be KL ka cos(kl) = KB e KL k = 2mE/ K = 2m( E) / Système linéaire de 2 équations à 2 inconnues : on ne trouve pas toujours une solution différente de la solution nulle A = B = 0 Il faut pour cela Continuum d états libres pour Pour m et donnés, ceci n est possible que pour des valeurs particulières de l énergie E. Nombre fini d états liés pour

Energie d interaction Modélisation de la force nucléaire entre un proton et un neutron On ne trouve qu un seul état lié, et cette liaison est faible: 3. L effet tunnel distance p-n V() E 1 deutéron (noyau de deutérium) particule d énergie moyenne E < 0 a? Le coefficient de transmission par effet tunnel Le microscope à effet tunnel Binnig et Rohrer (IBM) 1981-85 Pri Nobel 1986 Le coefficient de transmission est non nul, contrairement au cas classique! Le coefficient de transmission varie eponentiellement avec la hauteur et la largeur a de la barrière nombre ridiculement faible pour des objets macroscopiques retournement «spontané» d une pièce de monnaie : Surface de Nickel (D. Eigler, IBM) Electron : -E = 1 ev, a = 5 Angströms : a = 6 Angströms : Le courant varie etrêmement vite avec la distance!

Le microscope à effet tunnel Gerd Binnig et Heinrich Rohrer, Pri Nobel 1986 Le microscope à effet tunnel Gerd Binnig et Heinrich Rohrer, Pri Nobel 1986 Surface Métallique Courant électrique: Effet tunnel! Pointe Métallique Mécanisme de déplacement de la pointe Dessin «artistique» Appareil complet Image : un atome est absent! Manipulations d'atomes Un anneau d atomes Etape 1 : La pointe «pousse» les atomes : ils sont rangés un par un! Etape 2 : La pointe s éloigne de la surface : elle «voit» les atomes sans les déplacer 1 2 3 4 Atomes de Fer déplacés sur une surface de Cuivre 48 atomes de Fer rangés sur une surface de Cuivre (IBM) Image «virtuelle» reconstruite par ordinateur

«Bonhomme atomique» «Carbone-homme» Réalisé en disposant des molécules C-O (oygène et carbone) sur une surface de platine (D.M. Eigler, IBM, 1990) Ces images ne sont pas des photographies : personne ne pourrait "voir" cela avec son oeil. Ce ne sont pas non plus des images de synthèse. Ce sont des visualisations de mesures epérimentales. La radioactivité alpha Röntgen 1895 : les rayons X (photons) émis dans des tubes à rayons cathodiques impressionnent des plaques photos Le verre du tube est fluorescent au niveau de l impact du faisceau d électrons Becquerel, février 1896 : qu en est-il de la fluorescence de sels d uranium eposés à la lumière du soleil? et quand il n y a pas de soleil??? Pierre et Marie Curie, 1898 : séparations chimiques successives sur les sels, puis sur des résidus de minerais d uranium. Ils isolent le polonium et le radium. Images etraites de: ``The STM image gallery (http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html ) Caractéristiques de l émission!" particule! = noyau d hélium (Rutherford et Soddy, 1909) énergie de la particule! : E entre 4 et 9 MeV T (s) 4. temps moyen d émission : T entre 10-6 s et 10 +18 s Gamow 1929 : 10 18 10 12 238 uranium Le modèle du puits double 10 6 V(r) 1 218 radium 228 puits de potentiel lié au forces nucléaires E " r répulsion coulombienne 10-6 212 4 5 6 7 8 9 E (MeV) ou «comment combiner effet tunnel et puits de potentiel»

Modélisation (très simple) de la liaison chimique Changement de conformation des molécules Deu noyau et un électron (par eemple l ion H 2+ ) : électron L inversion de la molécule d ammoniac NH 3 : structure pyramidale qui peut se «retourner» comme un parapluie noyau 1 noyau 2 noyau 1 noyau 2 Le «saut tunnel» de l électron de l orbite 1 vers l orbite 2 crée un abaissement d énergie, d autant plus grand que les noyau sont proches. attraction entre atomes liaison chimique configuration «gauche» configuration «droite» L état quantique fondamental de la molécule est une «superposition» des deu configurations classiques «gauche» et «droite» Modélisation par un double puits carré V() G M D $ a position du plan des hydrogènes de NH 3 ou position de l électron assurant la liaison chimique E Les niveau d énergie les plus bas du double puits On fie la largeur a et on choisit comme unité d énergie. On choisit dans cette unité et on fait varier la largeur $" On s intéresse au niveau d énergie E < : quel est le rôle de l effet tunnel à travers la barrière? a Le puits de potentiel V() est pair : on peut chercher les états propres de l hamiltonien sous forme de fonctions paires ou de fonctions impaires $"

Les niveau d énergie les plus bas 2a puits infini de largeur 2a E 20 10 Unité d énergie: antisymétrique symétrique antisymétrique symétrique 0 0 0.2 0.4 a deu états de même énergie! On dit que le couplage tunnel "lève la dégénérescence" des deu états initiau $" a E 1, E 2, : niveau d un puits semi-infini de largeur a Les premiers niveau d énergie pour une grande barrière G G Clivage 2A entre les deu états les plus bas : si D D antisymétrique symétrique antisymétrique symétrique avec E 0 premier niveau ecité du puits semi-infini (2 états D ou G) niveau fondamental du puits semi-infini (2 états D ou G) L origine de la liaison chimique électron noyau 1 noyau 2 noyau 1 noyau 2 R Le clivage 2A dépend de la distance R entre les deu noyau Energies propres répulsion électrostatique entre noyau 2A état antisymétrique = orbitale antiliante état symétrique = orbitale liante R