Modélisation 1-Fluide de l angle de contact et de la ligne triple Application à l impact d une goutte d émulsion sur une paroi R.GUILLAUMENT a, S.VINCENT a, JP.CALTAGIRONE a, J. DUCLOS b a. Transfert Écoulement Fluide Énergétique (TREFLE), Université de Bordeaux, UMR CNRS 8508, ENSCPB, 33607 Pessac (France) b. Arcelor research 57280 Voie Romaine MAIZIERES LES METZ (France) Résumé : La forme d une goutte, lorsqu elle est posée sur une paroi ou sur un bain liquide, est étudiée par simulation numérique. Nous développons une méthode pour modéliser la mouillabilité sur une paroi, permettant de simuler l angle de contact entre un gaz, un liquide et un solide. Un modèle de ligne triple, entre deux liquides et un gaz, est implémenté. Ces modèles sont validés sur le cas d une lentille et sur l équilibre d une goutte sur une paroi horizontale. Un couplage de ces deux modèles est réalisé pour simuler l impact d une goutte d émulsion sur une paroi mobile. Abstract : The shape of a drop onto a wall or onto a liquid is studied by numerical simulation. A method is developed to model the wettability, allowing to simulate the contact angle between gas, liquid and solid. The triple line between two liquids and a gas, is also implemented following the model developed by Cranga [1]. These models are validated on the cases of a lens and an equilibrium of a drop on a flat surface. The coupling of these two models is used to simulate the impact of a drop of emulsion on a moving plate. Mots clefs : goutte, angle de contact, ligne triple, impact 1 Introduction La simulation d impact de gouttes d émulsion sur une paroi dans des procédés de lubrification amène à modéliser la physique d interfaces déformables. La difficulté se trouve dans la prise en compte de l angle de contact et de la ligne triple d écoulements triphasiques qui régissent la force d interface liées aux tensions superficielles. Différentes approches numériques sont proposées pour modéliser et simuler la mouillabilité et la ligne triple à partir des forces volumiques ajoutées au second membre de l équation de quantité de mouvement. Deux cas de validation sont choisis : la formation d une lentille à la surface d un bain liquide et le mouillage d une goutte sur une paroi. 2 Modèle 1-Fluide La modélisation et la simulation des écoulements diphasiques, dont l échelle caractéristique des longueurs d interface est plus grande que le pas d espace du maillage, est effectuée avec le modèle 1 fluide ou le modèle de Kataoka[2]. Dans ce modèle, l écoulement diphasique considère des fluides non miscibles, incompressibles et isothermes. De plus, le coefficient de tension de surface est supposé constant. Les équations de saut valides à l interface [3] sont directement intégrées par le modèle 1-fluide dans les équations de conservation avec une fonction couleur C qui décrit l évolution d interface au cours du temps par une équation matérielle d advection. Pour chaque fluide k, la fonction couleur C est supposée se comporter comme une fonction de Heaviside : C k (x, t) = { 1 si x phase k = 1 0 sinon x phase k = 0 (1) L interface entre la phase k et les autres fluides est définie par l isosurface C k = 0.5. En utilisant la fonction couleur, les quantités locales comme la densité ρ ou la viscosité dynamique µ sont définies selon les lois de mélange numériques suivantes : ρ = Σ N 1 k=0 C kρ k (2) µ = Σ N 1 k=0 C kµ k 1
Au final, l écoulement diphasique est représenté par un fluide équivalent et les équations de Navier-Stokes dans le cadre du modèle 1-fluide [2, 4] sont : ρ( t u + u u) = P + ρg + [µ( u + t u)] + F ST (3) u = 0 (4) C k + u C k = 0 (5) t Par la suite, les modèles dédiés à la fermeture du modèle 1-fluide sont présentés, amenant une représentation des effets de tension de surface F ST. Les méthodes utilisées pour résoudre les équations 3 et 5 reposent sur une approche par volumes finis implicites sur des maillages structurés fixes et une approche par Volume Of Fluid. Celles-ci sont présentées et validées dans la publication de Vincent et al [5]. 3 Modélisation de la mouillabilité Le modèle est basé sur le contrôle de la diffusion de l interface pour modéliser les angles de contact. Les méthodes VOF utilisées étant discontinues sur une maille, le calcul de la courbure requise pour la simulation des effets de tensions surfaces est difficile numériquement. Ainsi une fonction est construite, représentant le lissage de la fonction VOF C appelée C S (Smooth-VOF, SVOF). Elle est utilisée seulement pour le calcul de la courbure mais elle ne remplace pas directement la fonction C, dans le but de garder les propriétés de conservation de masse par l algorithme numérique PLIC [6]. La fonction SVOF doit conserver la position de l interface, c-à-d. la position M où C(M) = 0.5 est vérifiée dans les mêmes cellules que celles dans lesquelles C S (M) = 0.5. La paramétrisation de l équation SVOF a été réalisée par analogie avec l équation de diffusion pour les transferts thermiques. Cette méthode SVOF se compose de la construction d une fonction lisse C S en résolvant une équation d Helmholtz avec un terme source égal à la fonction VOF de référence C. VOF Smooth VOF Classique FIGURE 1 Smooth-VOF en cercle : VOF-PLIC en créneaux A partir de ce modèle, l angle de contact d une goutte de différents fluides est étudié pour un nombre de Reynolds de 1 et un nombre de Weber de 1. Une courbe paramétrique est obtenue(figure 2) entre l angle de contact et la valeur de la fonction C S imposée à la paroi (coefficient de mouillabilité). Pour un substrat non mouillant, la goutte forme un angle de 170 avec la surface et lorsque le substrat est mouillant l angle de contact est de 0 à 10. Grâce à cette méthode, nous pouvons modéliser des surfaces partiellement mouillantes. Une étude de ce type a déjà été menée à l IMFT avec une autre approche par Dupont et al [7] dans une communication du CFM 2007. Dans notre cas, une surface est considérée mouillante quand C S vaut 1 et non mouillante pour la valeur 0. Cette courbe est faite sur trois fluides avec des maillages constants et des maillages exponentiels raffinés à la paroi. Pour le cas d une goutte en équilibre sur une paroi, nous considérons une goutte 2D. Un demi disque de liquide de rayon R est initialement posé sur une surface plane horizontale. A l instant initial, l angle de contact θ est de 90. Selon que la surface est mouillante ou non mouillante, l angle à l équilibre évolue. Pour une goutte en équilibre sur une surface non mouillante (figure 3), l équilibre entre la pression capillaire et la force capillaire permet d obtenir une épaisseur théorique e th = 2.l c.sin( θ 2 ), où l c est la longueur capillaire.dans notre étude, e th vaut 7.5mm et notre simulation numérique donne une épaisseur de 7.4mm pour l interface repérée par C = 0.5. Pour valider notre modèle, la comparaison de nos simulation avec les travaux expérimentaux de Wang et al [8], sur une goutte d eau impactant une surface mouillante et non mouillante pour un nombre de Reynolds de 1120 et un nombre de Weber de 8, sera menée. 2
FIGURE 2 courbe paramétrique de l angle de contact en fonction du mouillage 0.01 0.006 0.008 0.006 0.004 X2 0.004 X2 0.002 épaisseur numérique 0.002 angle de contact 0-0.01 0 0.01 X1 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 X1 FIGURE 3 goutte en équilibre sur une surface pour un angle de contact de 150 avec la gravité 4 Modélisation de la ligne triple 4.1 Cas général Pour expliquer et valider le mécanisme de la ligne triple, le cas de la lentille flottante est étudiée (figure 4) où trois fluides non miscibles sont présentés. Les fluides A et B sont des liquides et le fluide C est un gaz. FIGURE 4 ligne triple L épaisseur (e) est l épaisseur totale de la goutte et l épaisseur (e ) est l épaisseur de goutte immergée. Dans la théorie suivante les masses volumiques prises en compte sont essentiellement les masses volumiques des liquides (ρ A ; ρ B ) et la masse volumique du gaz (ρ C ) est négligeable. En fonction de trois tensions (γ A ; γ B ; γ AB ), le paramètre (S) d étalement de A sur B est déterminé de la façon suivante : S = γ B (γ A + γ AB ) (6) 3
Si S est positif alors le mouillage est total, ainsi le fluide A s étale complètement sur le fluide B. Si S est négatif alors le mouillage est partiel, ainsi le fluide A forme une lentille sur le fluide B. Dans le cas d une grande lentille flottante, celle-ci déforme la surface du substrat liquide sous l effet de la gravité. Pour simuler la ligne triple, le modèle de ligne triple, développé par Cranga [1], est implanté dans le code de calcul du TREFLE. Les effets capillaires sont pris en compte dans l équation de quantité de mouvement pour un fluide incompressible sous la forme d une force volumique F V additionnelle à la force F ST. Dans le modèle diphasique, cette force capillaire s écrit [9] : [ ] C F V = γκ C = γ C (7) C où κ est la courbure de l interface et est exprimée par : κ = n et n = C représente la normale unitaire C à l interface. Dans le cas triphasique (figure5), la généralisation de l équation ci-dessus est difficile lorsque les trois phases sont présentes. Le problème est de définir la normale à l interface et la courbure de celle-ci. Cranga postule qu en chaque point, F V est la somme des contributions des forces capillaires F V ij entre les phases i et j allant de 1 à 3 : FIGURE 5 calcul de la courbure d interface en triphasique où : F V = 1 2 i=3,j=3 i=1,j=1 α ij γ ij κ ij C ij (8) C j C ij = C i + C j (9) [ ] Cij κ ij = C ij (10) γ ij = γ ji est la tension interfaciale entre les phases i et j. Elle est supposée constante sur toute l interface. Dans le cas particulier où le fluide 1 est identique au fluide 2 alors γ 12 = γ 21 = 0. α ij est un coefficient à determiner, en posant que le problème est symétrique en 1 et 2 ainsi : α 12 = α 21 = 1. 4.2 Étalement de lentille sur bain liquide Les figures ci-dessous représentent la simulation 3D effectuée sur le cas d une lentille où l interface entre les fluides est crénelée, cela est dû à la méthode VOF. D un point vue physique, la lentille présente deux parties, l une est émergée et l autre est immergée, décrites dans la théorie de De Gennes[10]. Les résultats sont présentés sur la figure 6 (le fluide C étant un gaz,il n est pas représenté). Le rapport entre e et e selon la loi d Archimède est calculé. La masse volumique pour le fluide A est 5000 kg.m 3 et celle pour le fluide B est 1000 kg.m 3. 4
FIGURE 6 simulation de l équilibre d une lentille sur un bain liquide ; à gauche t= 0s, à droite t= 1s Le rapport obtenu est de 0.2 en théorie et de 0.18 en simulation pour un maillage 90x60x90. Pour valider la partie ligne triple, l étude faite dans la thèse de Bonometti [11] sur le modèle de ligne triple a été reprise. Le code est validé sur le cas d une lentille en équilibre sur un bain liquide. Dans les deux simulations suivantes, l importance de connaître la tension interfaciale entre les deux liquides sera montrée. Une goutte d huile sur de l eau sera étudiée en changeant la tension interfaciale entre les deux fluides (figure 7). Dans un cas, l huile s étale sur l eau et dans l autre une lentille se forme (étalement partiel). Les caractéristiques des simulations sont les suivantes : tension superficielle fluide Huile-Air γ 12 : 0.032 N.m 1 tension superficielle fluide Eau-Air γ 23 : 0.072 N.m 1 tension superficielle fluide Eau-Huile γ 13 : 0.296 ou 0.018 N.m 1 diamètre de goutte initial(d) : 0.04m pas de temps (dt) : 0.5e 3 s gravité (g) : 9.81m.s 2 FIGURE 7 Evolution temporelle de l épaisseur d une lentille d huile sur de l eau ; à gauche S < 0 (γ 13 = 0.296 N.m 1 ) ; à droite S > 0 (γ 13 = 0.148 N.m 1 ) Dans la simulation S < 0, le cas de la lentille à étalement partiel est vérifié puisque la simulation converge vers la solution analytique. Dans l autre cas S > 0, la solution tend vers zéro pour un étalement total conformément à ce qui est attendu. 5 Simulation de l impact d une goutte d émulsion sur une paroi Actuellement, l aspersion de gouttes multiphasiques est un problème industriel difficile à expérimenter. Les modèles présentés ci-dessus sont utlisés pour effectuer une simulation de ce problème sur 64 processeurs pour environ 7 millions de points. La mouillabilité est utilisée sur la plaque et la ligne triple détermine la force volumique lorsque les trois fluides (eau, air, huile) s interceptent. Les figures 8 et 9 présentent les formes 3D et les interfaces à différents temps dans une coupe. L analyse de ces simulations montre que des gouttes d huile peuvent être agglomérer sur le film recouvrant la plaque mobile par effet balistique ; et aussi que les goutte d huile présentes dans la goutte d émulsion subissent des déformation important au voisinage de la paroi. 5
FIGURE 8 Impact d une goutte d émulsion eau/huile 3D, vitesse de plaque 10m/s 0.0001 0.0001 8E-05 8E-05 6E-05 6E-05 Z Z 4E-05 4E-05 2E-05 2E-05 0 0 5E-05 0.0001 X 0 0 5E-05 0.0001 X FIGURE 9 Coupe 2D ; à l instant initial : gauche ; à t = 2ms : droite 6 Conclusion Deux approches numériques ont été proposées, la première sur la mouillabilité et la deuxième sur la ligne triple. Elles ont été validées sur le cas d une goutte en équilibre sur une paroi et une lentille sur un bain liquide. Après avoir obtenu des résultats concluants, nous montrons la possibilité de simuler l impact d une goutte d émulsion sur une paroi en utilisant les deux modèles couplés de tension de surface. Références [1] Cranga J. Simulation numérique direct des écoulements di-tri phasiques engendrés par l injection de bulles dans un bain de métal liquide. PhD thesis, Institut National Polytechnique de Toulouse, 2002. [2] Kataoka I. Local instant formulation of two-phase flow. Int. J. Multiphase Flows, 12(5), 745 758, 1986. [3] Delhaye J. Jump conditions and entropy sources in two-phase systems local instant formulation. Int. J. Multiphase Flow, 1, 395 409, 1974. [4] Scardovelli R. and Zaleski S. Direct numerical simulation of free-surface and interfacial flow. Ann. Review Fluid Mech., 31, 567 603, 1999. [5] Vincent S. and Caltagirone J. A one cell local multigrid method for solving unsteady incompressible multiphase flows. J. Comput. Phys., 163, 172 215, 2000. [6] Youngs D., Morton K., and Baines M. Time-dependant multimaterial flow with large fluid distorsion. 1982. [7] Dupont J., Legendre D., and Morgante A. Simulation numérique de l hystérésis du mouillage d une goutte sur une paroi. 18 ieme Congres Francais de Mecanique, 2007. [8] Wang M., Lin F., and Lin S. Dynamic behaviors of droplet impact and spreading - water on glass and paraffin. Colloids and Surfaces a : Physicochemical and Engineering Aspects, 339, 224 231, 2009. [9] Brackbill J., Kothe D., and Zemath C. A continuum method for modeling surface tension. Journal of computational physic, 100, 335 354, 1992. [10] P.G. DeGennes F. B. W. and Quéré D. Gouttes, bulles, perles, et ondes. Belin, 2005. 6
[11] Bonometti T. Developpement d une méthode de simulation d écoulements à bulles et à gouttes. PhD thesis, Institut National Polytechnique de Toulouse, 2005. 7