Résonance - Oscillateurs couplés

Préparation à l agrégation de Sciences-Physiques ENS Physique Résonance - Oscillateurs couplés QUARANTA Dictionnaire de Physique Expérimentale. TOME 1 Mécanique QUARANTA Dictionnaire de Physique Expérimentale. TOME 4 Electricité FLEURY et MATHIEU Acoustique FLEURY et MATHIEU Courants alternatifs GUYON, HULIN, PETIT Hydrodynamique Physique MATHIEU Vibration et phénomènes de propagation, Tome 1 JOURNEAUX TP de physique BUP n 845 (juin 2002) Le résonateur acoustique de Helmholtz

1 I) Résonance Pour qu un système puisse donner lieu à un phénomène de résonance, il faut qu il ait un ou des modes propres, c est-à-dire que, soumis à une perturbation, il revienne à sa position d équilibre en oscillant avec une ou des fréquences qui sont ses fréquences propres, et avec des amplitudes dépendent des conditions initiales. Le nombre de fréquences propres est égal au nombre de degrés de liberté. Lorsque ce système est soumis à une excitation sinusoïdale permanente, on observe une résonance chaque fois que la fréquence d excitation est voisine de la fréquence d un mode (Berkeley ONDES, p. 117). Ainsi, en tapant sur une cloche, on l entend sonner longtemps (dictionnaire de Littré : re-sonner en vieux français) ; on peut donc prévoir que si on la soumet à une excitation permanente à sa fréquence propre, elle vibrera avec une grande amplitude. De plus, le fait que l oscillation libre dure pendant de nombreuses périodes permet de prévoir que la résonance sera très aiguë (haute et étroite). A contrario, un filtre électrique de Wien (cf. poly Oscillateurs I), pourtant du 2ème ordre, n a jamais de régime libre oscillatoire donc le maximum de sa fonction de transfert ne doit pas être qualifié de résonance. Dans la suite, on trouvera 3 parties : résonance d un système à 1 degré de liberté ; puis à 2 degrés de liberté ; et enfin à plus de 2 degrés de liberté. 1) Oscillations propres d un circuit électrique Cette expérience illustre la résonance du circuit : elle met en évidence les paramètres de la résonance, que l on retrouvera dans l expérience d oscillations forcées au paragraphe suivant. On étudie la réponse du circuit à une excitation produite par un échelon de tension délivré par un générateur BF (signal en créneaux de période suffisamment longue). Lorsque la résistance du circuit est inférieure à la résistance critique R c, on observe un régime oscillatoire amorti. On peut vérifier que la résistance critique est liée à L et C par R c = 2 L/C. Note sur le choix des composants Choisir L et C pour avoir une fréquence propre d environ 10kHz. Choisir R pour avoir un facteur de qualité assez grand et un signal pas trop petit (compromis à faire). La résistance de sortie du BF contribue aussi au facteur de qualité ; il est conseillé d ajouter un ampli de puissance (réglé sur x1) à la sortie du BF pour annuler cet effet. Pour connaître la résistance du circuit, il faut tenir compte de celle de l inductance. Elle est facile à déterminer en continu, mais elle dépend de la fréquence, croissant proportionnellement au carré de celle-ci à fréquence élevée (cf. Krob Électronique expérimentale). C est une cause importante d incertitude.

2 Sur la courbe obtenue, dans le cas d un régime oscillatoire amorti, on pourra déterminer la pseudo-période T = 2π/ ω et le décrément logarithmique δ (logarithme népérien du rapport des amplitudes d oscillations successives), 1 et vérifier qu ils sont liés à R, L et C par : ω ω 0 = 1 C, δ πr LC L. Facultatif : Toujours dans le cas où R < R c, on peut observer la tension V aux bornes de la capacité en fonction du courant traversant le circuit. Pour cela, il faut utiliser un oscilloscope différentiel. La courbe obtenue, dans cet espace appelé espace des phases (V q, i dq/dt), est une spirale logarithmique. Justifier. Note : On pourrait aussi faire une expérience sur le régime transitoire d un pendule avec amortissement. Le matériel est décrit plus loin dans Pendules pesants couplés par un fil de torsion. Désaccoupler le fil de torsion. Les frottements mécaniques ne sont pas en général proportionnels à la vitesse, mais il est prévu ici la possibilité de placer à l extrémité d un pendule un fort aimant qui se déplace à quelques mm d une piste cuivrée, induisant par courants de Foucault une force proportionnelle à la vitesse. 2) Oscillations forcées a) En électricité Principe et utilisation d un wobbulateur Les termes wobbulateur et wobbulation viennent de l anglais to wobble, osciller. On peut également parler de générateur à balayage de fréquence. Il s agit de générer un signal électrique quasi périodique, dont la fréquence varie dans le temps de manière contrôlée (modulation de fréquence). fréquence: On note : f 0 la fréquence centrale f l excursion T la période de la variation de la fréquence (période de la wobbulation ). 1 On peut aussi utiliser un logiciel de modélisation (fit), mais cela risque de prendre du temps car le signal n est pas simple.

3 Le contrôle de la fréquence s effectue par l intermédiaire d une tension V périodique, de période T. Cette tension peut être disponible à l intérieur du générateur (wobbulation interne), ou fournie par un générateur auxiliaire (wobbulation externe). En général, on utilise pour la forme de la tension V une dent de scie qui permet d obtenir un balayage linéaire de la fréquence. wobbulation interne : en général, on ne fixe pas f 0 et f, mais la fréquence de départ (c est celle du générateur en l absence de balayage) et la fréquence maximale. La tension V est disponible sur la sortie SWEEP OUT du générateur (souvent située à l arrière). Une option de balayage logarithmique est parfois disponible. générateur de dents de scie générateur de fonctions circuit voie Y voie X wobbulation externe : la fréquence est balayée autour de la fréquence nominale du générateur, par la tension V que l on branche sur son entrée VCF ( Voltage controlled frequency ). Observer le signal wobbulé. On peut maintenant l utiliser pour alimenter un circuit et mesurer sa réponse en fréquence. En effet, il suffit d utiliser un oscilloscope en mode XY : on connectera la déviation verticale à la tension qu on étudie, et la déviation horizontale à la tension V qui détermine l échelle des fréquences. Intensité On étudie un circuit RLC série. Alimenter tout d abord le circuit à l aide d un GBF non wobbulé. Mesurer la tension aux bornes de la résistance. En faisant varier manuellement la fréquence du GBF, repérer la résonance. Mesurer sa fréquence. En utilisant maintenant la wobbulation, tracer à l oscilloscope l intensité dans le circuit en fonction de la fréquence. Montrer que si la résistance augmente, le facteur de qualité Q diminue. Observer autour de la résonance le déphasage entre l intensité et la tension excitatrice (mode XY ). wobbulateur amplificateur de puissance oscillo Étude de la charge Attention, cette étude est valable uniquement pour le passe-bas.

4 Modifier le circuit pour observer la tension aux bornes du condensateur. Montrer que pour Q < 1/ 2, il n y pas de résonance. La fréquence de résonance f Res = f 0 1 1/2Q 2 est indiscernable de f 0 dès que la résonance devient raisonnablement aiguë ; le vérifier pour 2 ou 3 valeurs de résistance. Observer autour de la résonance le déphasage entre cette tension et la tension excitatrice (mode XY ). Remarques : Choisir la fréquence centrale de wobbulation de manière à faire apparaître le pic de résonance sur l écran. Sélectionner une excursion en fréquence plus petite que la fréquence centrale (sinon le wobbulateur cesse de délivrer du signal). Pour obtenir une courbe de résonance persistante à l oscilloscope, on doit diminuer la période T de wobbulation; observer cependant ce qui arrive quand cette période devient trop faible. On a en fait intérêt à choisir une fréquence de résonance suffisamment élevée (de l ordre de 10kHz), et éventuellement à wobbuler lentement en utilisant un oscilloscope à mémoire. Dans le schéma ci-dessus, on mesure l intensité aux bornes d une résistance R de valeur fixée. Cela permet de comparer directement l amplitude des différentes courbes de résonance obtenues en faisant varier le facteur de qualité par l intermédiaire de l autre résistance. L ordinateur permet également de piloter un wobbulateur, et même de tracer directement les diagrammes de Bode. Entraînez-vous à vous en servir, mais attention aux connexions! L ordinateur ne fait que ce qu on lui donne à faire, ce n est pas lui qui branche. b) En mécanique ressort règle graduée alimentation masse moteur palette avec tachymètre éprouvette remplie d'eau On utilise un appareil qui permet d étudier les oscillations d une masse fixée au bout d un ressort et pouvant être soumise à un frottement fluide (on accroche à la masse des palettes de différents diamètres, l ensemble oscillant dans une éprouvette remplie d eau). Le ressort est excité par une ficelle attachée à l arbre d un moteur muni d un excentrique. La fréquence f

5 peut se mesurer au chronomètre. On peut aussi mesurer la vitesse de rotation du moteur ω en tours/minute. L un des moteurs est également muni d une dynamo qui permet de mesurer une fréquence électrique. On prendra garde aux rapports de démultiplication entre les différents arbres du moteur. Attention : au départ, régler la longueur de façon que la masse soit à peu près au milieu de l éprouvette. Mettre le moteur en marche et régler sa position de telle sorte qu à la résonance la masse ne tape pas sur le fond de l éprouvette. Étudier les différents régimes de résonance d amplitude en fonction de l amortissement ; celui-ci est fonction du diamètre de la palette fixée sous la masse m. On mesurera l amplitude des oscillations grâce à un index se déplaçant devant une règle graduée, en fonction de la fréquence. Faire l analogie avec un circuit électrique résonnant RLC série. Quels sont les analogues mécaniques de R, de L, de C, du courant et de la tension? Remarques Vous avez l habitude d étudier (théoriquement) le système oscillant représenté ci-dessous, à gauche ; ici vous étudiez un système un peu différent, à droite. Il a l avantage de permettre une étude directe de l amplitude et de la phase de l excitation (difficile à faire dans le cas de la force pour le système de gauche). excitation excitation Ne pas chercher à exploiter quantitativement la courbe de résonance ; ici le régime est turbulent et la force de freinage est plutôt proportionnelle au carré de la vitesse. 3) Résonateur de Helmholtz (FACULTATIF) Le résonateur est constitué d un volume cylindrique fermé à l une de ses extrémités par un bouchon plein et à l autre par un bouchon percé d un trou de petit diamètre dans lequel on peut insérer des embouts de différentes longueurs (cf. Fig. 1). Le mode de résonance de Helmholtz correspond à un mouvement d ensemble de la masse d air située dans le goulot, l air dans le volume principal étant quasi immobile. Il correspond au mode de résonance de plus basse fréquence d un tel système, de l ordre de 100Hz pour

6 micro Y1 HP Y2 Fig. 1 dispositif du résonateur de Helmholtz le système étudié ici. On étudie la résonance de Helmholtz en plaçant l un des petits microphones à l intérieur de la cavité et le haut-parleur à quelques centimètres devant le goulot. Pour s affranchir de la réponse du haut-parleur et des microphones, on place le deuxième micro (supposé identique au précédent) à l extérieur de la cavité, juste devant le haut-parleur, et on envoie le signal sur la voie 1 de l oscilloscope. A l aide du programme Bode dans Igor, on peut alors enregistrer automatiquement la courbe de résonance du système. Toutefois, il faut prendre garde de décocher la case autoadjust sans quoi le logiciel va augmenter la tension d excitation du haut-parleur au-delà de sa limite de linéarité. Ces courbes donnent accès à la fréquence de résonance ainsi qu au facteur de qualité du résonateur. On comparera ces grandeurs aux valeurs obtenues en régime transitoire. Pour cela, on place l oscilloscope en mode monocoup, et on excite le résonateur d une pichenaude (par exemple ; toute autre méthode conduisant à une excitation impulsionnelle est satisfaisante). Faire l ajustement de cette réponse par une sinusoïde amortie dont on déduira la période et l atténuation. Comparer aux valeurs précédentes. Interprétation Dans une première approximation, le résonateur est un oscillateur harmonique dont l équivalent mécanique est le système masse-ressort. Dans ses mouvements, la masse d air située dans le goulot comprime l air du volume principal qui joue le rôle de ressort. Il s ensuit que la fréquence de résonance est donnée par : f 0 = C s 2π lv, où C est la vitesse du son, s et l sont la section et la longueur du goulot, et V est le volume principal. On pourra vérifier cette relation en utilisant des goulots de différentes longueurs. (Plus précisément, dans l expression de f 0 ci-dessus, l doit être remplacé par l + 8d/3π où d est le diamètre intérieur du goulot.) Note culturelle La résonance de Helmholtz est utilisée par exemple dans une guitare, où elle forme le mode le plus grave de sa caisse.

II) Deux oscillateurs couplés 7 Deux systèmes sont couplés lorsqu on les relie et que l on peut avoir transfert d énergie entre eux. On se limite aux systèmes à 1 degré de liberté, de sorte que le système couplé possède 2 degrés de liberté. Les équations dynamiques qui pilotent chaque système sont de la forme : A 1 X 1 + B 1 X 1 + C 1 X 1 = F(X 2,X 2,X 2 ). On étudiera les cas où les termes de couplage dépendent uniquement de l accélération (F(X 2 ) : couplage inertiel ou inductif) ou bien de la position (F(X 2 ) : couplage élastique ou capacitif) (cf. FLEURY-MATHIEU Courants alternatifs, QUARANTA Mécanique Couplage d oscillateurs, QUARANTA Électricité Circuits couplés ). On propose de réaliser une expérience mécanique (choisir entre pendules couplés par un fil de torsion et pendules couplés par des ressorts). Puis de réaliser une expérience électrique plus quantitative (choisir entre résonateurs LC couplés par capacité ou par mutuelle). 1) Pendules pesants couplés par un fil de torsion (Au choix) Matériel EUROSAP Deyrolle ; consulter la notice. Chaque pendule est lié à un potentiomètre de 10kΩ qui permet d enregistrer son mouvement. L alimenter avec un générateur continu ou, mieux, avec une alimentation double ( 15V, +15V ) ; dans ce dernier cas, en prenant la mesure entre le curseur du potentiomètre et le zéro de l alimentation, on obtient un signal dont la composante continue est faible. Vérifier que le fil de torsion qui assure le couplage des pendules est bien serré au niveau de chaque pendule. Faire en sorte que les pendules soient visiblement identiques. Il n est pas nécessaire de placer des masses sur les pendules pour obtenir des résultats satisfaisants (on observe plusieurs battements d environ 10 périodes ; si ce n est pas le cas, c est probablement que le fil de torsion est mal serré). Pour montrer la présence du couplage, partant de l équilibre, maintenir écarté l un des pendules et vérifier que l autre est faiblement entraîné (le couplage est faible, c est préférable ici). Montrer l existence de deux modes propres : Le mode symétrique : écarter (pas trop, afin que les équations différentielles restent quasi linéaires) les 2 pendules du même angle et les lâcher. Vérifier qu il n y a pas de battement et mesurer la période d oscillation T sym. Le mode antisymétrique : écarter les 2 pendules en opposition. Mesurer T antisym. 2 Montrer qu en général on a une combinaison de ces modes : écarter l un des pendules et le lâcher. Commenter les transferts d énergie. Mesurer la période des battements T batt. 2 La classification symétrique/antisymétrique donnée ici semble naturelle; elle suppose le choix d un plan de symétrie perpendiculaire au fil de torsion. Les rôles s inversent si l on prend un plan vertical qui contient le fil de torsion; on obtient alors une classification cohérente avec celle du couplage capacitif étudié plus loin.

8 Vérifier que T 1 batt = T 1 antisym T 1 sym. Il est possible de rendre cette expérience encore plus quantitative en étudiant l influence des paramètres (moment d inertie, centre de masse, constante de torsion), mais c est lourd et fastidieux pour un intérêt faible. Il est préférable de développer cet aspect dans l expérience des circuits électriques couplés. 2) Pendules pesants couplés par des ressorts (Au choix) a) Matériel On dispose du matériel suivant : 2 masses m = 500g ; chacune est munie d un crochet et d un autocollant rétro-réfléchissant 3 ressorts de raideurs quasi identiques k = 8,36, 8,59 et 8, 67 ± 0, 08 N m 1 2 tiges à trou Par ailleurs, il faut vous munir de : 2 potences 4 noix de la ficelle... et du papier (pour noter les résultats) b) Préparation Assembler le matériel pour réaliser le dispositif représenté sur la figure 2. Fig. 2 Schéma du dispositif. Initialement, les masses sont attachées aux vis des tiges à trous par des ficelles de même longueur. Si elles ont été détachées, il faut les ré-assembler, en prenant soin d utiliser des longueurs de ficelle égales. La longueur effective l du pendule ainsi constituédoit être choisie de manière que la pulsation d oscillation d une masse au bout de la ficelle, g/l, soit environ deux fois celle d une masse au bout d un ressort, k/m. Attention! Évaluer cette dernière pulsation par le calcul ; ne pas la mesurer en suspendant une masse de 500g au bas d un ressort, cela le déformerait excessivement.

9 De plus, il faut prendre soin de : mettre les deux autocollants rétro-réfléchissants du même côté ; bien ajuster la hauteur des noix ; tendre légèrement les ressorts en écartant les deux potences ; s assurer que masses, ficelles et ressorts sont dans un même plan. c) Manipulation Il faut se limiter à des oscillations de faible amplitude. Dans ce cas, la position horizontale d une masse est proportionnelle à l angle de la ficelle avec la verticale. Après avoir retiré le ressort central, on peut montrer l oscillation de chaque pendule indépendant. La pulsation vaut alors g ω 0 = l + k m. Après avoir remis le ressort central, on peut mettre en évidence les modes propres et les battements. Ce système possède deux modes propres : Un mode symétrique, où les deux masses oscillent en phase et le ressort central garde une longueur constante ; sa pulsation vaut : ω s = g l + k m = ω 0. Un mode antisymétrique, où les deux masses oscillent en opposition de phase et le ressort central est comprimé quand les deux autres sont tendus, et inversement ; sa pulsation vaut : g ω a = l + 3 k m. Si on lâche une seule masse après l avoir écartée de sa position d équilibre, on observe des battements, à la pulsation ω a ω s. La qualité des battements dépend beaucoup des réglages initiaux, en particulier de la longueur de la ficelle. Pour enregistrer le mouvement, on pourra utiliser le dispositif Videocom Leybold. Des éclairs lumineux sont réfléchis sur les autocollants, et recueillis par une barrette CCD. Le logiciel associé permet d enregistrer la position horizontale des masses en fonction du temps. On peut alors mesurer les périodes dans les différents cas, et éventuellement les comparer aux paramètres du système. Le logiciel permet aussi de calculer la transformée de Fourier des enregistrements : on voit alors qu il y a un seul pic pour chaque mode propre (à des fréquences différentes), et que le battement est à la fréquence différence. Si on le souhaite, on peut calculer les énergies cinétiques, potentielles et mécaniques en fonction du temps (en utilisant l onglet Formule de la boîte à outils) ; cela demande une calibration préalable des distances. Enfin, si on le souhaite, on peut exporter les tableaux contenant les positions en fonction du temps dans un tableur pour y faire des calculs ou des ajustements.

10 d) Variante On peut retirer les deux ressorts extrêmes. On a alors deux pendules simples couplés par un ressort. Cependant, si l on veut étudier chaque pendule simple (sans le ressort de couplage), le couplage de l oscillation au bout de la ficelle avec la rotation autour de la verticale pose problème. 3) Couplage par capacité de deux résonateurs LC (Au choix) a) Note sur le couplage capacitif Avantage de l étude du couplage capacitif : c est l analogue exact des pendules couplés en mécanique. Par ailleurs, l étude quantitative est rapide car les paramètres du circuit sont connus. Voir plus bas la note sur le couplage par mutuelle. b) Introduction On réalise 2 résonateurs LC identiques avec deux inductances L et deux condensateurs C (cf. figure 3). L excitation se fait au moyen d un générateur BF unique, suivi d un ampli de puissance (sur x1) qui permet d avoir une résistance de sortie négligeable. Ce dernier alimente en parallèle 2 transformateurs d isolement 3 de rapport approximatif 1/1, qui permettent d exciter en série chacun des circuits sans aucun problème de masse. 4 Initialement, seul le circuit 1 est relié à son transformateur, le circuit 2 étant fermé par un court-circuit. Placer un fréquencemètre à la sortie du BF. On étudiera à l oscilloscope la tension aux bornes de chaque condensateur (charge électrique, analogue de la position en mécanique). Si l on veut étudier l intensité (analogue de la vitesse), il faudra ajouter dans chaque circuit, pour mesurer celle-ci, une résistance en série, mais elle risque d amortir les oscillations ; en prenant une boîte AOIP x1ω, on pourra cependant obtenir un résultat satisfaisant. c) Choix des composants Pour L, utiliser des boîtes d inductances et choisir une valeur de l ordre de 10mH. Choisir C de façon à avoir une fréquence de résonance f 0 de l ordre de 10kHz (à basse fréquence, le facteur de qualité Q = Lω 0 /r est faible ; à haute fréquence, les pertes des bobines augmentent proportionnellement à ω 2, réduisant à nouveau Q). La capacité de couplage C sera ajustée en fonction du couplage désiré : que faire pour avoir un fort couplage? un faible couplage? 3 Il s agit de transformateurs construits pour opérer à relativement haute fréquence, pas de transformateurs de puissance prévus pour le 50Hz. 4 Dans les livres de TP usuels, on se passe de ces transfos mais cela conduit à des manipulations pas très simples à présenter : modes d excitation rusés, composants qu on déplace... En particulier, on y voit le mode d excitation parallèle qui utilise un générateur en série avec une grande résistance. Le choix raisonné de la résistance est un peu délicat car elle doit être d autant plus grande que la résistance série de la bobine est faible.

11 BF Ampli de puissance 1/1 1/1 L 1, r 1 L 2, r 2 C' oscillo C 1 C 2 oscillo d) Résonance des circuits couplés en régime sinusoïdal Seul le circuit 1 est alimenté, l autre est fermé par un court-circuit. Choisir un couplage assez fort et faire varier la fréquence manuellement ou, mieux, en wobbulant. Mesurer les 2 fréquences de résonance. Montrer le rôle du couplage en changeant C. e) Excitation de chaque mode propre en régime sinusoïdal Alimenter les 2 circuits avec les transformateurs, mesurer la fréquence de résonance unique qui apparaît. En comparant les phases des 2 charges, indiquer s il s agit du mode symétrique ou antisymétrique qui est excité. Inverser les bornes de sortie du 2nd transformateur et reprendre l expérience. Expliquer que : Dans le mode antisymétrique, la capacité C est traversée par un courant total nul (faire un schéma), elle a donc une tension nulle à ses bornes et se comporte comme un court-circuit. C est pourquoi la pulsation de résonance du mode vaut ω a = 1/ LC = ω 0. Dans le mode symétrique, on peut redessiner le circuit en remplaçant C par 2 capacités C /2 en parallèle traversées par le même courant. Tout se passe comme si chaque circuit avait la capacité C en série avec C /2, et ω s = ω0 2 + 2/LC. f) Régime transitoire Remplacer l excitation sinusoïdale par un créneau de longue période (échelon de tension répété). En procédant comme précédemment, mettre en évidence la superposition des 2 modes propres lors d une excitation quelconque, mesurer la fréquence des battements et comparer aux fréquences déjà mesurées. Pour que les battements soient bien visibles, il faut choisir un couplage assez faible, puis celui-ci trouvé, reprendre les mesures précédentes.

12 On peut aussi exploiter : Tbatt 1 = T s 1 T 1 a (C/C )T 1 0, relation valable en couplage faible. On peut aussi visualiser le régime transitoire de chaque mode indépendamment en choisissant les excitations adéquates. 4) Couplage par mutuelle de deux résonateurs LC (Au choix) a) Note sur le couplage par mutuelle C est l équivalent d un couplage par inertie en mécanique. Avantage de l étude du couplage par mutuelle : les équations différentielles sont immédiates à poser car les caractéristiques de chaque circuit sont indépendantes du terme de couplage. Inconvénient : il faut déterminer la mutuelle par une expérience complémentaire. Voir plus haut la note sur le couplage par capacité. b) Introduction Voir le montage sur la figure 2. BF Ampli de puissance 1/1 1/1 M L 1, r 1 L 2, r 2 C 1 C oscillo 2 oscillo Fig. 3 Couplage par mutuelle de deux résonateurs LC Voir plus haut l introduction au couplage capacitif qui justifie le rôle de l ampli de puissance et des transfos d isolement. c) Choix des composants On utilise des bobines Jeulin sur support dont on peut repérer la distance (on peut aussi utiliser des bobines Leybold mais leur position n est pas repérée par un index).

13 Commencer par mesurer les caractéristiques des 2 bobines : L (au RLCmètre) et r (en continu à l ohmmètre) ; elles doivent être voisines d une bobine à l autre sinon changer l une d elles. Choisir C de façon à avoir une fréquence de résonance f 0 de l ordre de 10kHz (à basse fréquence, le facteur de qualité Q = Lω 0 /r est faible ; à haute fréquence, les pertes des bobines augmentent proportionnellement à ω 2, réduisant à nouveau Q). Si L 2 est différente de L 1, ajuster C 2 de façon que les 2 circuits aient la même fréquence de résonance (sinon la théorie se complique). d) Résonance des circuits couplés en régime sinusoïdal Seul le circuit 1 est alimenté, l autre est fermé par un court-circuit. Accoler les 2 bobines pour avoir la mutuelle maximale 5 et faire varier la fréquence manuellement ou, mieux, en wobbulant. Mesurer les 2 fréquences de résonance. Montrer le rôle du couplage en écartant les deux bobines. e) Excitation de chaque mode propre en régime sinusoïdal Alimenter les 2 circuits avec les transformateurs, mesurer la fréquence de résonance unique qui apparaît. En comparant les phases des 2 charges, indiquer s il s agit du mode symétrique ou antisymétrique qui est excité. Inverser les bornes de sortie du 2nd transformateur et reprendre l expérience. 6 f) Régime transitoire Remplacer l excitation sinusoïdale par un créneau de longue période (échelon de tension répété). En procédant comme précédemment, mettre en évidence la superposition des 2 modes propres lors d une excitation quelconque, mesurer la fréquence des battements et comparer aux fréquences déjà mesurées. Pour que les battements soient bien visibles, il faut choisir un couplage faible, puis celui-ci trouvé, reprendre les mesures précédentes. On peut aussi visualiser le régime transitoire de chaque mode indépendamment en choisissant l excitation adéquate. g) Exploitation plus quantitative Le coefficient de couplage est défini par : θ = M/ L 1 L 2, où M est la mutuelle. La théorie indique que, dans le cas où les 2 circuits ont la même fréquence de résonance f 0, les fréquences propres des circuits couplés sont données par : f 1 = f 0 / 1 + θ et f 2 = f 0 / 1 θ, ce qui dans le cas d un couplage faible conduit à la relation : Tbatt 1 = T 2 1 T1 1 θ T0 1. Pour le vérifier expérimentalement, il faut mesurer la mutuelle en fonction de la distance entre les bobines (cf. figure). 5 Il s agit d un couplage sans fer, il faut que le couplage reste faible et le comportement linéaire. 6 Il ne faut pas changer le signe de la mutuelle au cours de cette expérience, sinon on change les caractéristiques du système et donc on n étudie plus les modes de ce système.

14 BF 5) Couplage de deux résonateurs de Helmholtz (FACULTATIF) Tout comme on peut coupler deux oscillateurs mécaniques ou électriques, les résonateurs acoustiques de Helmholtz peuvent se coupler de la manière indiquée sur la figure ci-dessous. l h l V V Dans ce cas, le système peut être modélisé par trois masses (d air, contenues dans les goulots) séparées par deux ressorts (les volumes principaux). Pour le traitement de ce couplage, cf. MATHIEU Vibrations (chapitre 5). Les équations du mouvement font apparaître deux modes propres d oscillation : un mode symétrique à f s = f 0, où les pressions dans les volumes principaux sont en phase et la masse centrale reste immobile ; un mode antisymétrique de fréquence f a telle que : fa 2 = f0 2 +2F 2 avec F = (C/2π) s/hv, où les pressions dans les volumes principaux sont en opposition de phase, la masse centrale ayant un mouvement déphasé de π par rapport à chaque autre masse. On pourra observer les deux résonances en traçant le diagramme de Bode du système couplé et illustrer la relation quantitative sur quelques exemples de longueur du tube de couplage (on peut se contenter de rechercher les fréquences de résonance pour gagner du temps). On peut également visualiser les phases des oscillations dans chacun des deux résonateurs et exciter sélectivement les modes symétrique et antisymétrique à l aide de deux haut-parleurs branchés convenablement. Par ailleurs, on peut étudier la résonance dans le cas où l un des deux oscillateurs couplés a un fond plein (pas de deuxième goulot). On montre dans ce cas que les résonances ont lieu pour les fréquences (h = l) Observer. Justifier. f + = f 0 3 + 5 2 et f = f 0 3 5. 2

15 III) Systèmes à plus de 2 degrés de liberté 1) Résonances d une cavité (FACULTATIF) Remarque importante : L expérience suivante est longue à mettre en œuvre. Il s agit d un système à nombre infini de degrés de liberté, comparable à ce titre à la corde de Melde. Ce qui le rend original est que le phénomène étudié est dispersif. Dans cette expérience, on excite des ondes (dites de gravité ) à la surface d un liquide. Le liquide est contenu dans une cuve de longueur L, qui constitue une cavité. Les modes propres de cette cavité correspondent aux cas où L est un nombre entier de demi-longueurs d onde. On excite périodiquement la surface. Une fois le régime transitoire amorti, on observe une onde stationnaire forcée dans la cavité. Cette onde ne prend une amplitude importante que lorsque la fréquence de l excitation est celle d un mode propre. On a alors résonance et on dit que la condition d accord de la cavité est vérifiée. Montage séparation réglable h Remarques L Le moteur doit posséder un réducteur permettant d obtenir des périodes de l ordre de 0, 5 à 1 s. La résonance étant assez aiguë et le temps caractéristique de croissance des oscillations assez grand (quelques secondes), il faut faire varier la fréquence de rotation suffisamment lentement pour trouver la condition d accord. Pour accélérer la mise en œuvre, faire légèrement basculer la cuve, chronométrer la période d oscillation libre puis prérégler le moteur sur cette période. La relation de dispersion théorique (cf. Guyon et al.) est ω 2 = gk tanh(kh) où h est la hauteur moyenne du liquide, supposée assez grande (h quelques mm) pour que l on puisse négliger la capillarité. Le fait que L 1cm assure également que les effets capillaires n entrent pas en jeu. En général, il y a dispersion (v φ = ω/k et v g = dω/dk dépendent de ω) et c est là un des intérêts de cette expérience. Pour les ondes courtes λ h, kh 1 et ω 2 gk ; pour les grandes ondes λ h, kh 1 et ω 2 gh k 2.

16 Manipulation Avec L 30cm et h 10cm, on est dans une situation intermédiaire. Suivant l expérience concernée (mesure des longueurs d onde, résonance, ondes stationnaires), on peut opérer soit à ω fixé en accordant la cavité soit à L fixé en ajustant la fréquence. Faire au moins 2 mesures de v φ = ω/k pour mettre en évidence le caractère dispersif des ondes de surface (pour chaque fréquence ω, on pourra accorder la cavité sur L = λ/2 ou λ et obtenir ainsi plusieurs estimations indépendantes de λ). Remarque On dispose aussi d une cavité optique (Fabry-Pérot confocal) qui peut être excitée avec une diode-laser à 780 nm, et qui constitue un équivalent optique non dispersif ; les résonances se traduisent alors par une transmission du laser excitateur (voir TP Spectroscopie ). Des expériences similaires peuvent être faites dans d autres domaines de la physique. Par exemple, on peut étudier les résonances d un tube acoustique. 2) Réseau de résonateurs LC (FACULTATIF) Il y a dans la Collection un ensemble de 8 oscillateurs électriques LC couplés. Voir : Chaîne d oscillateurs couplés, Notice 40.