Proportionnalité et Organisation et gestion de données Problèmes Montreuil Mercredi 23 janvier 2013
Proportionnalité Consigne: Pour chacun des exercices qui suivent, le proposeriez-vous à chercher à vos élèves? si oui, avec quels objectifs et quelles procédures de résolution les élèves pourraient-ils mobiliser? si non, pourquoi?
Proportionnalité Proposition du groupe: Exercice en direction d élèves de CM1 (fin d année) ou de CM2 (en début d année). Il est possible de résoudre ce problème en ne mobilisant que des additions, soustraction(niveau CE2): 3 CD valent 105, donc 6 CD valent (105+105= 210). Pour 2 CD, on calcule: le prix de 8 CD moins celui de 6 CD, soit (280-210 = 70 ) Donc 5 CD, c est (3+2), soit (105+70= 175) Et pour 19 CD, il reste à opérer: (8+6+5), soit (280+210+175= 665 ) Par la proportionnalité, la procédure traitée est une procédure basée sur la linéarité.
Proportionnalité Le passage aux décimaux peut générer des erreurs, ce qui nous détournerait de notre objectif sur la proportionnalité. Ce problème est intéressant à proposer en fin d apprentissage sur les décimaux. Pour le résoudre, on a besoin du passage à l unité ou par la règle de trois. Il permet ainsi de travailler l addition, la multiplication et la division de décimaux. Autre raisonnement possible: 3kg de pommes coûtent 7,20 donc 1Kg de pommes valent 2,4 Or, 1,7kg, c est (1 + 0,7) avec : 0,7kg sont équivalents à 700g 7OOg, c est (7 x 100g) 1kg coûte 2,4 donc 100g coûtent 0,24 700 g valent donc (7 x 0,24) soit 1,68 Ce qui nous fait: 1,7kg coûtent: (2,4 + 1,68) soit 4,08
Il est préférable de proposer directement un autre nombre que 16, qui ne permet pas de repérer d éventuelles confusions aire/périmètre, par exemple 36 pour lequel les élèves donneront 6 ou 9 pour la longueur du côté. Ce n est pas une situation de proportionnalité. Aire du carré est de (4 x 4) soit 16 cm2 Aire du carré agrandi 3 fois: (12 x 12) soit 144 m2 Le calcul est donc de 32. Ce n est pas une situation proportionnelle. Pour vérifier, il est nécessaire de passer par le calcul: Le nombre de filles et le nombre de garçons au total. Ce problème permet de bien travailler avec les élèves la notion de pourcentage: 45%, c est 45 pour 100, donc 90 pour 200 et donc (45 x 8) pour 800 La procédure utilisée est le passage à l unité, notamment par le choix de 7 (nombre premier) personnes.
Proportionnalité Le travail peut s effectuer dans un premier temps par une reconnaissance visuelle (cas des photos B D E qui peuvent être rejetées) Pour la photo F, on peut procéder par découpage et superposition. Pour la photo G, il est nécessaire de mesurer et de trouver le coefficient par un calcul. Conseil: Utiliser un ordinateur pour permettre aux élèves d avoir une représentation de la notion l agrandissement.
Proportionnalité Pour bien mettre en évidence la notion de proportionnalité, il est conseillé de mettre les élèves par groupe de 4 Chaque élève devra reproduire un seul élément. Pour cela, ils devront se mettre d accord pour agrandir chaque figure. La première démarche peut être: Pour passer de 4 à 6, je fais (+2), ce qui ne marche pas. Autre proposition: Ajouter la moitié de : (4 + ½ 4) Pour arriver à trouver le coefficient multiplicateur.
Proportionnalité Situation beaucoup trop complexe, avec un texte trop long. Une résolution de problème doit mobiliser plusieurs compétences. Ce type de travail doit entrer dans les classes dès le cycle 3. Pour éviter les découragements, il est intéressant de proposer ce travail en groupe Il permet de travailler sur : la prise d initiative la réactivation des connaissances sur la proportionnalité
Proportionnalité Problème qui par sa forme laisse penser qu il pourrait s agir d un problème de proportionnalité. Des interactions entre élèves ou des questions supplémentaires (quand Jojo avait 6 ans) peuvent permettre aux élèves de rejeter eux-mêmes une réponse erronée. Le mot «proportionnalité» est à éviter dans les énoncés, ce sont les élèves qui doivent déterminer si la situation est ou non une situation de proportionnalité. Pour trouver la réponse, il faut travailler par comparaison de fractions. Compétence complexe pour nos élèves
Qu est-ce que la proportionnalité? La proportionnalité Dans une situation donnée, deux grandeurs sont dites proportionnelles si lorsque l on multiplie l une par n importe quel nombre (positif) l autre est multipliée par le même nombre. Reconnaissance du modèle proportionnel : «Connaissance sociale» mais question de situations concrètes Exemple 1: Prix de lots d objets par exemple où il n y a pas proportionnalité ( le nombre d objets et le prix ne sont pas proportionnels). Exemple 2: «Plus la longueur du côté est grande, plus l aire du carré est grande, les deux grandeurs sont proportionnelles.» Ce n est pas une situation de proportionnalité. présence d une information, dans l énoncé de la situation, qui permet d induire l idée de proportionnalité (objets identiques ; même recette ; non déformation de l image ) verbalisation : idée de «pour» induisant proportion nécessité de travailler aussi sur des situations de non proportionnalité question de l utilisation des mots «proportionnel» ou «proportionnalité» au cycle 3 On n est pas obligé de donner le mot «proportionnel». Etre plutôt sur le sens que sur la terminologie.
Les Procédures 1. Procédure additive 10 objets identiques coûtent 7. Quel est le prix de 30 objets? Le prix de 20 objets, c est le prix de 10 objets plus le prix de 10 objets : 10 + 10 = 20 7 + 7 = 14 Le prix de 30 objets, c est le prix de 10 objets plus le prix de 20 objets : 10 + 20 = 30 7 + 14 = 21 donc 30 objets coûtent 21 2. Procédure d homogénéité (ou scalaire) 10 objets identiques coûtent 7. Quel est le prix de 30 objets? 30 objets, c est 3 fois 10 objets, donc le prix de 30 objets, c est 3 fois le prix de 10 objets 10 x 3 = 30 7 x 3 = 21 donc 30 objets coûtent 21 Remarque : le nombre 3 n a pas d unité. 3. Procédure linéaire mixte (ou combinaison linéaire) 10 objets identiques coûtent 8. Quel est le prix de 15 objets? Le prix de 10 objets est 8 donc le prix de la moitié de 10 objets est la moitié de 8, 10 : 2 = 5 8 : 2 = 4 Le prix de 15 objets, c est le prix de 10 objets plus le prix de 5 objets : 10 + 5 = 15 8 + 4 = 12 donc 15 objets coûtent 12 5. Passage par l unité 10 objets identiques coûtent 22. Quel est le prix de 15 objets? 22 : 10 = 2,20 1 objet coûte 2,20 euros. 2,20 x 15 = 33 15 objets coûtent 33 4. Procédure fonctionnelle (coefficient de proportionnalité) 10 objets identiques coûtent 60. Quel est le prix de 7 objets? 60, c est le prix de 10 objets, 60 = 10 x 6 donc le prix d un objet est 6. Le prix de 7 objets est 7 fois le prix d un objet : 7 x 6 = 42 7 objets coûtent 42 Remarque : 6 est le coefficient de proportionnalité, il a une unité c est la rapport entre les deux grandeurs (ici euros/objet)
Les Procédures Visualisation des procédures à l aide de tableaux Visualisation des procédures à l aide de tableaux : 1. Procédure additive : Nombre d objets 10 10 20 10 30 2. Procédure d homogénéité : 3 Prix en euros 22 Nombre d objets 10 30 Prix en euros 22 3. Procédure linéaire mixte (combinaison linéaire) : Nombre d objets 10 5 15 Prix en euros 8
Les Procédures Visualisation des procédures à l aide de tableaux Procédure fonctionnelle (coefficient de proportionnalité) Nombre d objets 10 7 6 / objet Prix en euros 60 Passage par l unité : Nombre d objets 10 1 15 Prix en euros 22 Il est déconseillé de travailler sous forme de tableau au cycle 3
Les Procédures Nombre d objets 10 15 Prix en euros 22? C est une technique de calcul qui est travaillée en 4 ème. A cycle 3, en 6 ème et 5 ème, on est sur le sens.
Les Procédures Qu est-ce que «La règle de trois»? Suivant les ouvrages, «la règle de trois» est assimilée au passage par l unité ou au «produit en croix». Contrairement au «produit en croix», «la règle de trois» ne s applique qu à des grandeurs, avec des situations concrètes. Contrairement au passage à l unité, «la règle de trois» implique un calcul automatisé ne nécessitant pas de donner de façon explicite la valeur pour une unité. 10 objets identiques coûtent 22. Quel est le prix de 15 objets? (22 x 15) : 10 = 33 15 objets coûtent 33 La difficulté réside dans l entrée par la multiplication. Il vaut mieux commencer par le passage à l unité.
Les programmes Les Programmes Procédures de résolution Commentaires CE2 CM1 CM2 Utiliser un tableau ou la règle de trois dans des situations très simples de proportionnalité. Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d unité, en utilisant des procédures variées (dont la règle de trois ). Raisonnement proportionnel utilisant : - Propriété additive - Propriété d homogénéité - Passage par l unité - Coefficient de proportionnalité «simple» Les problèmes sont résolus par recours à des raisonnements contextualisés, sans formalisation. Ces raisonnements sont exprimés en langage ordinaire.
Les programmes Les Programmes 6 ème - Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et les traiter en choisissant un moyen adapté : - utilisation d un rapport de linéarité, entier ou décimal, - utilisation du coefficient de proportionnalité, entier ou décimal, - passage par l image de l unité (ou «règle de trois»), - * utilisation d un rapport de linéarité, d un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de quotient. - Appliquer un taux de pourcentage. Procédures de résolution Raisonnement proportionnel utilisant : - Propriété additive - Propriété d homogénéité - Passage par l unité - Coefficient de proportionnalité Commentaires La nouvelle signification donnée au fractions permet une généralisation du recours à la propriété multiplicative ou au coefficient de proportionnalité. Aucune formalisation particulière n est exigée.
Les programmes Les Programmes 5 ème - Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité, en particulier déterminer une quatrième proportionnelle. - Reconnaître si un tableau complet de nombres est ou non un tableau de proportionnalité. - Mettre en œuvre la proportionnalité dans les cas suivants : - comparer des proportions, - utiliser un pourcentage, - * calculer un pourcentage, - * utiliser l échelle d une carte ou d un dessin, - calculer l échelle d une carte ou d un dessin, Procédures de résolution Raisonnement proportionnel utilisant : - Propriété additive - Propriété d homogénéité - Passage par l unité - Coefficient de proportionnalité Commentaires La proportionnalité commence à être étudiée dans le cadre purement numérique (tableaux numériques) mais la plupart des activités restent contextualisées
Les programmes Les Programmes 4 ème - Déterminer une quatrième proportionnelle. - Déterminer le pourcentage relatif à un caractère d un groupe constitué de la réunion de deux groupes dont les effectifs et les pourcentages relatifs à ce caractère sont connus. -* Utiliser dans le plan muni d un repère, la caractérisation de la proportionnalité par l alignement de points avec l origine. Procédures de résolution Raisonnement proportionnel utilisant : - Propriété additive - Propriété d homogénéité - Passage par l unité - Coefficient de proportionnalité - Egalité de quotients et produits en croix. - Caractérisation graphique Commentaires La procédure appelée «produit en croix» peut être justifiée et utilisée. Son usage ne doit cependant pas être systématisé. Elle est difficile à interpréter du point de vue des grandeurs.
Tableaux et graphiques Situation problème: À l école Jean Moulin, il y a 62 élèves au cycle 3 : il y a autant de filles que de garçons en CM1 39 élèves sont en cours moyen, 28 élèves sont des filles, Il y 11 garçons en CM2 Il y a 9 filles en CE2. Combien y a-t-il d élèves en CM2? Etape 1: À l école Jean Moulin, il y a 62 élèves au cycle 3 : il y a autant de filles que de garçons en CM1 39 élèves sont en cours moyen, 28 élèves sont des filles, Il y 11 garçons en CM2 Il y a 9 filles en CE2. Combien y a-t-il d élèves en CM2? CE2 CM1 CM2 Filles Garçons Ensemble Total 62
À l école Jean Moulin, il y a 62 élèves au cycle 3 : il y a autant de filles que de garçons en CM1 39 élèves sont en cours moyen, 28 élèves sont des filles, Il y 11 garçons en CM2 Il y a 9 filles en CE2. Combien y a-t-il d élèves en CM2? Filles Garçons Ensemble CE2 23 CM1 CM2 Total 62 À l école Jean Moulin, il y a 62 élèves au cycle 3 : il y a autant de filles que de garçons en CM1 39 élèves sont en cours moyen, 28 élèves sont des filles, Il y 11 garçons en CM2 Il y a 9 filles en CE2. Combien y a-t-il d élèves en CM2? Filles Garçons Ensemble CE2 23 CM1 CM2 Total 28 34 62
À l école Jean Moulin, il y a 62 élèves au cycle 3 : il y a autant de filles que de garçons en CM1 39 élèves sont en cours moyen, 28 élèves sont des filles, Il y 11 garçons en CM2 Il y a 9 filles en CE2. Combien y a-t-il d élèves en CM2? Filles Garçons Ensemble CE2 23 CM1 CM2 11 Total 28 34 62 À l école Jean Moulin, il y a 62 élèves au cycle 3 : il y a autant de filles que de garçons en CM1 39 élèves sont en cours moyen, 28 élèves sont des filles, Il y 11 garçons en CM2 Il y a 9 filles en CE2. Combien y a-t-il d élèves en CM2? Filles Garçons Ensemble CE2 9 14 23 CM1 9 CM2 11 Total 28 34 62
À l école Jean Moulin, il y a 62 élèves au cycle 3 : il y a autant de filles que de garçons en CM1 39 élèves sont en cours moyen, 28 élèves sont des filles, Il y 11 garçons en CM2 Il y a 9 filles en CE2. Combien y a-t-il d élèves en CM2? Filles Garçons Ensemble CE2 9 14 23 CM1 9 9 18 CM2 10 11 21 Total 28 34 62 - Apprendre à lire avant d apprendre à faire - Apprentissage à mener dans d autres disciplines (français (cf. éval. CM2), sciences, géographie, etc.).
Les programmes CP CE1 CE2 CM1 Lire ou compléter un tableau dans des situations concrètes simples. Utiliser un tableau, un graphique. Organiser les informations d un énoncé. Savoir organiser les données d un problème en vue de sa résolution. Utiliser un tableau ou un graphique en vue d un traitement des données. Construire un tableau ou un graphique. Interpréter un tableau ou un graphique. Lire les coordonnées d un point. Placer un point dont on connaît les coordonnées. CM2 6 ème Lire, utiliser et interpréter des données à partir d un tableau. Lire interpréter et compléter un tableau à double entrée. * Organiser des données en choisissant un mode de présentation adapté (tableaux en deux ou plusieurs colonnes, tableaux à double entrée). Lire, utiliser et interpréter des informations à partir d une représentation graphique simple. 5 ème Lire l abscisse d un point donné, placer un point d abscisse donnée sur une droite graduée. Lire les coordonnées d un point donné, placer un point de coordonnées données dans le plan. Lire et interpréter des informations à partir d un tableau ou d une représentation graphique (diagrammes divers, histogramme). Présenter des données sous la forme d un tableau, les représenter sous la forme d un diagramme ou d un histogramme. Apprentissage à mener dans d autres disciplines (français (cf. éval. CM2), sciences, géographie, etc.). Pas d exercices spécifiques pour apprendre à lire des graphiques et des tableaux, mais ceux-ci se rencontrent «naturellement», lors d autres travaux ce qui permet de donner du sens à ces outils.
«Compréhension de textes informatifs et documentaires.» Évaluation CM2 2012
«L adaptation des êtres vivants aux conditions du milieu.» Évaluation 6 ème 2008
«Volcans et séismes, les risques pour les sociétés humaines.» Éruptions volcaniques en 2010 Nom du volcan Pays Altitude en mètre Bulusan Philippines 1 565 Concepción Nicaragua 1 70 Etna Italie 3 330 Eyjafjöll Islande 1 666 Fukutoku-Okanoba Japon -14 Krakatoa Indonésie 813 Manam Papouasie-Nouvelle-Guinée 1 807 Mayon Philippines 2 462 Merapi Indonésie 2 968 Monts Kirishima Japon 1 700 Nyamuragira République démocratique du Congo 3 058 Piton de la Fournaise La Réunion, France 2 632 San Cristóbal Nicaragua 1 745 Tengger Indonésie 2 329 Tungurahua Équateur 5 023 Turrialba Costa Rica 3 340 Ulawun Papouasie-Nouvelle-Guinée 2 334
«L air et les pollutions de l air.»
«Exemples simples de sources d énergies (fossiles ou renouvelables). Besoins en énergie, consommation et économie d énergie.»
«Les pays de l Union européenne.»
«Les principales villes en France et en Europe.»
Travailler sur les nombres. «La langue française dans le monde.»
Travailler sur les nombres. o 60 o 60,5 o 62,5 o 65 Évaluation 5 2012
Travailler sur les nombres. Julie a pesé son chien tous les mois depuis qu il est né. 4 Masse en kilogramme 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Mois depuis la naissance du chien