Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................ I-1 3................................................ I-1 4................................................ I-1................................................ I-1 6................................................ I-1 7................................................ I- 8................................................ I- 9................................................ I-3 10................................................ I-3 11................................................ I-3 1................................................ I-3 13................................................ I-3 14................................................ I-4 1................................................ I-4 16................................................ I-4 17................................................ I-4 18................................................ I- 19................................................ I- 0................................................ I- 1................................................ I-................................................ I- 3................................................ I- 4................................................ I-6................................................ I-6 6................................................ I-6 7................................................ I-7 8................................................ I-7 9................................................ I-8 II Cours II-1 1 Rappels de seconde..................................... II-1 1a Fonctions du second degré............................. II-1 1b Fonction carré.................................... II-1 Équation, trinôme et fonction polynôme du second degré................ II-
Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page - 3 Les différentes formes du trinôme du nd degré...................... II- 3a Exemples d équations du second degré...................... II- 3b Trois formes du trinôme du nd degré....................... II-3 3c Exemples de mises sous forme canonique..................... II-3 4 Fonction polynôme du second degré............................ II-3 4a Forme canonique.................................. II-3 4b Tableau de variations................................ II-4 Équation du second degré et factorisation......................... II-4 a Équation du second degré.............................. II-4 b Factorisation.................................... II-4 6 Signe d un trinôme..................................... II-4
Chapitre 1 Second degré I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 Activités d introduction L objectif de ce chapitre est de résoudre les équations du second degré à une inconnue, c est à dire les équations de la forme ax + bx + c = 0 (a 0). En voici un premier exemple. Résoudre l équation : x 8x + 11 = 0 3 1. La fonction définie par f(x) = (3x )(x + 7) est représentée graphiquement dans le repère ci-contre. (a) Résoudre l équation (3x )(x + 7) = 0 par lecture graphique. (b) Résoudre l équation (3x )(x + 7) = 0 par des calculs.. Développer l expression (3x )(x + 7) pour justifier que l équation précédente est bien une équation du second degré à une inconnue. 0 0 Résoudre les équations ci-dessous. Pour la troisième équation, factoriser d abord l expression 6x x 1. (x + 3)( x) = 0. x(4x + 9) = 0 3. 6x x = 0 8 6 4 40 60 Équations sous forme canonique (algébrique et graphique) 4 1. Résoudre l équation (x + 3) 6 = 0. (a) Utiliser d abord la commande table ou la commande graphe de la calculatrice pour donner des valeurs approchées des solutions. (b) Résoudre l équation par des calculs (indication : (x + 3) 6 = (x + 3) 6 et ainsi on peut factoriser (x + 3) 6 à l aide d une identité remarquable).. Justifier par des calculs que l équation précédente est bien une équation du second degré à une inconnue. Résoudre les équations ci-dessous. S il y a une ou des solutions, donner les valeurs exactes. 1. (x 4) 8 = 0.. (x + 6) = 0 3. (x ) + 9 = 0 6 1. Écrire l algorithme qui résout l équation ax = b quand on connaît a et b.. Écrire l algorithme qui résout l équation (x d) e = 0 quand on connaît d et e.
Chapitre 1 Second degré I EXERCICES page I- 7 L objectif de cet exercice est d étudier graphiquement les équations de l exercice. On définit les fonctions f, g, h par f(x) = (x 4) 8 g(x) = (x + 6) h(x) = (x ) + 9 ainsi les équations de l exercice sont f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0. Ces trois fonctions sont représentées graphiquement page suivante, dans le désordre, par les courbes C 1, C, C 3. 1. (a) Quelle courbe est la représentation graphique de la fonction f? (b) Quel est le minimum de la fonction f? (c) En quelle valeur de x est-il atteint? (d) Où retrouve-t-on ces deux nombres dans l expression f(x)? (e) Expliquer le nombre de solutions de l équation f(x) = 0 d après la position de la courbe C f par rapport à l axe des abscisses.. Mêmes consignes (a), (b), (c), (d), (e) pour la fonction g. 3. Mêmes consignes (a), (b), (c), (d), (e) pour la fonction h. 10 C 1 8 6 4 0 1 10 10 1 0 1 10 10 1 C 4 6 8 6 4 0 4 6 8 C 3 4 6 8 On définit les fonctions f, g, h par f(x) = 3(x + ) + g(x) = (x 3) + 4 h(x) = 4(x 1) Ces trois fonctions sont représentées plus bas, mais pas dans le même ordre. Compléter le tableau ci-dessous. Fonction f g h Courbe Extrémum (*) Valeur de x où l extrémum (*) est atteint Nombre de solutions de l équation f(x) = 0. (*) Un extrémum est un minimum ou un maximum selon le cas. C C 3 4 4 C 1 4 4 4 4 10 10 10
Chapitre 1 Second degré I EXERCICES page I-3 9 On définit les fonctions f 1, f, f 3, f 4 par f 1 (x) = (x + 3) f (x) = (x 4) 6 f (x) = (x + 3) + f 3 (x) = 4(x 1) + 6 Compléter le tableau ci-dessous. Fonction f 1 f f 3 f 4 Extrémum Valeur de x où l extrémum est atteint Nombre de solutions de l équation f(x) = 0. Mise sous forme canonique (algébrique et graphique) On peut en fait démontrer que toute expression du second degré ax + bx + c (a 0) peut être transformée par des calculs sous la forme a(x α) + β ( 1 ) que l on appelle forme canonique. Cela sert à résoudre l équation ax + bx + c = 0 (a 0). 10 11 1. Lire les deux exemples ci-dessous, puis compléter plus bas. Exemple 1 : x + 10x = x + x = x + x + = (x + ) Exemple : x 3x = x x 3 = x x 3 ( 3 ( ) 3 ) + = Compléter les calculs ci-dessous : x 14x = x x... = x x... +...... = (.........)......... x + 7x = x + x... = x + x... +...... = (.........).......... Lire l exemple ci-dessous, puis effectuer les calculs demandés plus bas. ( x 3 ) 9 4 Exemple 3 : x + 6x 1 = x + x 3 1 = (x + x 3+3 ) 3 1 = (x + 3) 10 Transformer sous forme canonique les expressions : (a) x 1x 8 (b) x x + Dans cet exercice, on revient sur l équation x 8x + 11 = 0 de l exercice 1. 1. Transformons d abord l expression x 8x + 11 sous la forme canonique c est dire sous la forme a(x α) + β.. Écrire l équation x 8x + 11 = 0 sous la forme (x α) + β = 0. 3. Résoudre l équation précédente. On écrira les valeurs exactes des solutions x 1 et x. 1 1. Transformer l expression x + 10x 3 sous la forme canonique.. Résoudre l équation x + 10x 3 = 0. 13 Mêmes consignes que dans l exercice 1 pour les équations ci-dessous. (1) x 14x + 49 = 0 () x 8x = 0 (3) x + x + 10 = 0 (4) x + 3x 4 = 0 1. α se lit alpha et β se lit beta, ce sont des lettres grecques, très utilisées en mathématiques.
Chapitre 1 Second degré I EXERCICES page I-4 14 Exemple 4 x + x + 1 = = = [ x + x + 1 ] = [ ( x + ) 4 16 + 8 ] = 16 [ ( x + ) ( ) + 1 [ ( = x + 4 4 ] ) 4 16 + 1 8 ] 8 [ ( x + ) 17 ] ( = x + ) 17 4 16 4 16 ( x + ) 17 (x 4 8 = + 4) 17 8 Transformer sous forme canonique les trois trinômes ci-dessous. (1) 3x 1x 6 () x + 30x + 3 (3) 3x x + 1 (4) 3x + x 1 Mise sous forme canonique Formules générales On démontre que la méthode générale pour résoudre une équation ax + bx + c = 0 (a 0) est : Calculer : = b 4ac Si < 0 l équation ax + bx + c = 0 n a pas de solution. Si = 0 l équation ax + bx + c = 0 a une seule solution qui est x = b Si > 0 l équation ax + bx + c = 0 a deux solutions qui sont x 1 = b Consigne : reprendre l exercice 13 en utilisant cette méthode. 16 17 1. Résoudre les équations suivantes en utilisant les formules : et x = b + (a) x + 3x + 1 = 0. (b) 7x x + = 0 (c) x 4x 6 = 0 (d) 9x + 6x + 1 = 0. Factoriser, quand c est possible, les expressions (a) x + 3x + 1 (b) 7x x + (c) x 4x 6 (d) 9x + 6x + 1 Signe d un trinôme et inéquation On veut étudier le signe de la fonction f est définie par f(x) = x 8x + 7, pour cela on va écrire f(x) sous la forme canonique, et procéder graphiquement comme dans les exercices 7, 8, 9. 1. On sait que f(x) peut s écrire sous la forme canonique c est à dire a(x α) + β et on sait que α = b et β = f(α). Consigne : écrire f(x) sous forme canonique en utilisant les formules.. Résoudre l équation f(x) = 0 en utilisant les formules. 3. Dresser le tableau de signe de f(x) selon les valeurs de x.
Chapitre 1 Second degré I EXERCICES page I- 18 Même exercice que l exercice 17 dans les cas suivants. (1) f(x) = 4x + 1x 9 () f(x) = 3x 6x 8 19 1. Dresser le tableau de signe de l expression x + x + 4 selon les valeurs de x.. Même consigne pour (a) 4x + 8x + (b) 9x 30x + (c) x + 1x 3 3. Résoudre les inéquations (a) 4x + 8x + < 0 (b) 9x 30x + 0 (c) x + 1x 3 0 (d) x + 1x 3 > 0 Autres exercices sur les équations du second degré. 0 1. Résoudre l équation x + 6x = 0. Justifier par des calculs l affichage suivant du logiciel xcas : 1 1. Résoudre l équation x 8x + 1 = 0 (valeurs exactes).. Simplifier les solutions sous la forme x 1 = d e et x = d + e. 3. Vérifier avec un logiciel de calcul formel, au choix : dans GeoGebra, dans le menu Affichage, cliquer sur Calcul formel, et, dans le rectangle numéroté 1, saisir x^-8*x+1=0, puis cliquer sur le bouton x = dans xcas, saisir resoudre(x^-8*x+1=0), puis appuyer sur le touche Entrée ; dans wxmaxima, dans le menu Equations, cliquer sur Résoudre... et, dans la petite fenêtre, saisir l équation sous la forme x^-8*x+1=0 Résoudre les équations (1) x + x 4 = 9 () 3x 7x 6 = 4x (3) x 3 x + 1 = 4x + 7 3 On doit résoudre une équation ax + bx + c (a 0) 1. Écrire un algorithme qui lit les nombres a, b, c, qui indique le nombre de solutions, et qui calcule les solutions.. Saisir le programme correspondant sur la calculatrice et le vérifier, par exemple avec les solutions des exercices 11, 1, 13.. Ce programme sera utile toute l année et en terminale.
Chapitre 1 Second degré I EXERCICES page I-6 4 Problèmes du second degré Déterminer la longueur et la largeur d un rectangle dont l aire est égale à 40 cm et dont la longueur a 1 cm de plus que la largeur. Déterminer la longueur et la largeur d un rectangle dont l aire est égale à 8 cm et dont le périmètre est égal à 6 cm. 6 1. La fonction f est définie par f(x) = x + et elle est représentée graphiquement ci-dessous x 3 par la courbe C f. On rappelle que les traits en pointillés sont des asymptotes et ne font pas partie de la courbe C f. (a) Quel est l ensemble de définition de la fonction f? (b) Résoudre graphiquement l équation f(x) = 0. On tracera des traits sur le graphique et on donnera sa réponse avec la précision permise par le graphique. (c) Résoudre algébriquement l équation f(x) = 0.. La fonction g est définie par g(x) = 3x 4. (a) Tracer la représentation graphique de la fonction g sur la figure ci-dessous. (b) Résoudre graphiquement l équation f(x) = g(x). On tracera des traits sur le graphique et on donnera sa réponse avec la précision permise par le graphique. (c) Résoudre algébriquement l équation f(x) = g(x). 40 30 0 10 4 3 1 10 1 3 4 6 7 8 9 0 30 40 0
Chapitre 1 Second degré I EXERCICES page I-7 7 La fonction f est définie sur l intervalle [ 3 ; 3] par f(x) = x 4 0x + 4. 1. Afficher la représentation graphique de la fonction f sur l écran de sa calculatrice.. D après cette représentation graphique, quel est apparemment le nombre de solutions de l équation f(x) = 0? 3. À l aide de la calculatrice, déterminer des arrondis au dixième près de ces solutions. 4. Résoudre algébriquement l équation f(x) = 0. 8 Le triangle MNP tracé ci-contre est rectangle en N. On donne les mesures suivantes : MN = 10 cm et NP = cm. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. Le point R appartient au segment [NP ]. La parallèle à (MN) passant par R coupe (MP ) en S. La parallèle à (NP ) passant par S coupe (MN) en T. On admet que RSTN est un rectangle. Problème : quelle est la longueur NR telle que l aire (RSTN) soit égale à 10 cm? Indications : on pose NR = x et on appelle A(x) l aire du rectangle RSTN ; calculer MT en fonction de x, puis NT en fonction de x ; calculer A(x) en fonction de x ; écrire une équation, puis l écrire sous la forme ax + bx + c = 0 ; finir de résoudre le problème ; tracer la figure en vraie grandeur. R N P T S M Conseil : pour mieux comprendre la situation, il peut être utile de tracer la figure dans GeoGebra. Tracer le triangle RST en vraie grandeur, puis un point R mobile sur le segment [NP ], achever la construction, et créer le rectangle RSTN avec le bouton «polygone», ainsi l aire apparaît dans la colonne de gauche. Déplacer le point R sur le segment [NP ] et observer les variations de l aire du rectangle RST N.
Chapitre 1 Second degré I EXERCICES page I-8 9 On définit les fonctions f, g, h par f(x) = 3(x ) g(x) = 4(x ) 10 h(x) = (x + ) 10 ainsi les équations de l exercice sont f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0. Ces trois fonctions sont représentées graphiquement ci-dessous, dans le désordre, par les courbes C 1, C, C 3. Associer chaque fonction à sa représentation graphique C 1 C 1 40 4 6 8 10 40 4 6 8 10 80 80 10 10 160 160
Chapitre 1 Second degré I EXERCICES page I-9 Séance de groupe samedi 4/08/013 Calcul littéral, forme canonique Exercice 1 Développer et réduire A = (x 6) 10 B = (3x 7) 8 C = (x 9)(x + 1) D = (4 x) + 1 REMARQUE : en détaillant le calcul de A, on fait remarquer que la mise sous forme canonique consiste à remonter le développement de A Exercice Factoriser : A = x + x B = 7x 4x C = (x + 6) D = (3x ) 7 Exercice 3 Compléter (x+ = x +... + 16 (x...) = x... + 9 (... + 1) = x +... +... Exercice 4 Transformer sous forme canonique A = x + 10x + 4 B = x x C = x 7x + 3 D = 3x 4x 1 = 3(x......) =... E = x + x 6 Séance exercices signe trinôme et inéquation Exercice 1 f(x) = x + 4x 7 1. Dresser le tableau de signes de f(x) en fonction de x. Détailler les calculs.. Résoudre l inéquation f(x) > 0 (donner l ensemble des solutions). Exercice Résoudre l inéquation x + 6x + 8 < 4
Chapitre 1 Second degré II COURS page II-1 II Cours 1 Rappels de seconde 1a Fonctions du second degré Objectif du programme de de : connaître les variations des fonctions polynômes de degré (minimum ou maximum) et la propriété de symétrie de leurs courbes. Définition Soient a, b, c trois nombres réels, tels que a 0. La fonction f définie sous la forme f(x) = ax + bx + c est appelée fonction polynôme de degré. Propriétés Variations et représentation graphique Une fonction polynôme de degré est soit décroissante, puis elle atteint un minimum, puis elle est croissante ; soit croissante, puis elle atteint un maximum, puis elle est décroissante. La représentation graphique d une fonction polynôme de degré s appelle un parabole. Cette parabole a un sommet qui correspond, selon les cas, au minimum ou au maximum de cette fonction. Cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l axe des ordonnées qui passe par son sommet. Exemple 1 7 f(x) = x 4x + 7 f est représentée par la courbe C f (figure ci-contre). 6 La fonction f est décroissante sur ] ; ] et croissante sur [ ; + [ 4 Le minimum de cette fonction est 3 et il est atteint lorsque x =. 3 Les coordonnées du sommet A sont donc ( ; 3) et l axe de symétrie (d 1 ) passe par le sommet A. 1 Exemple g est représentée par la courbe C g. (figure ci- g(x) = x + 6x contre). La fonction g est décroissante sur ] ; 3] et croissante sur [3 ; + [. Le maximum de cette fonction est 7 et il est atteint lorsque x = 3. Les coordonnées du sommet B sont donc (3 ; 7) et l axe de symétrie (d ) passe par le sommet B. 1b Fonction carré A C f (d 1 ) 1 1 3 4 7 B 6 C g 4 3 (d ) 1 1 1 3 4 Objectifs du programme de de : connaître les variations de la fonction carré et représenter graphiquement la fonction carré. Définition La fonction carré est définie par f(x) = x Remarque : la fonction carré est une fonction polynôme du nd degré.
Chapitre 1 Second degré II COURS page II- Propriétés Variations et représentation graphique 8 La foncion carré est décroissante sur l intervalle ] ; 0], 6 est croissante sur l intervalle ]0 ; + ] ; atteint un minimum lorsque x = 0 et ce minimum est égal à zéro. 4 La représentation graphique de la fonction carré est une parabole qui admet comme axe de symétrie l axe des ordonnées. Équation, trinôme et fonction polynôme du second degré 3 1 Définitions Une équation du second degré à une inconnue est une équation, d inconnue x, de la forme ax + bx + c = 0 (a 0). Un trinôme du second degré est une expression de la forme ax + bx + c (a 0). Un des objectifs de ce chapitre est de résoudre des équations du second degré à une inconnue. Exemple : l équation x 8x + 11 = 0 est une équation du second degré à une inconnue ; l expression x 8x + 11 est un trinôme du second degré. Remarque Résoudre l équation ax +bx+c = 0 (a 0) revient à chercher les points d intersection de la parabole qui représente la fonction f définie par f(x) = ax + bx + c avec l axe des abscisses. 3 Les différentes formes du trinôme du nd degré 3a Exemples d équations du second degré Exemple 1 : résolution de l équation (3x )(x + 7) = 0 Cette équation est une équation du second degré parce que, en développant et en réduisant on obtient : (3x )(x + 7) = 3x + 16x 3 L équation (3x )(x + 7) = 0 est une équation-produit déjà étudiée en 3 e. (3x )(x + 7) = 0 donc 3x = 0 ou x + 7 = 0 Il y a donc deux solutions qui sont x 1 = { } 3 et x = 7 S = 3 ; 7 Exemple : résolution de l équation (x + 3) 6 = 0. Cette équation est une équation du second degré parce que, en développant et en réduisant on obtient : (x + 3) 6 = x + 6x + 3. Factorisons maintenant l expression (x + 3) 6. (x + 3) 6 = (x + 3) 6 = (x + 3 6)(x + 3 + 6) L équation (x + 3) 6 = 0 équivaut donc à l équation-produit (x + 3 6)(x + 3 + 6) = 0 Il y a donc deux solutions qui sont : x 1 = 3 6 et x = 3+ 6 S = { 3 6 ; 3 + 6 } Exemple 3 : résolution de l équation (x + 6) = 0 Cette équation est une équation du second degré en effet (x + 6) = x + 1x + 36 1
Chapitre 1 Second degré II COURS page II-3 L expression (x + 6) est déjà factorisée. Résolution : (x + 6) = 0 donc x + 6 = 0, donc x = 6 S = { 6} Exemple 4 : résolution de l équation (x ) + 9 = 0 Cette équation est une équation du second degré en effet (x ) + 9 = x 10x + 34 L expression (x ) + 9 = 0 ne peut pas être factorisée. L équation (x ) + 9 = 0 n a pas de solution. S = 3b Trois formes du trinôme du nd degré Forme développée et réduite Forme canonique Forme factorisée Exemple x + 6x + 3 (x + 3) 6 (x + 3 6)(x + 3 + 6) Exemple 3 x + 1x + 36 (x + 6) (x + 6) Exemple 4 x 10x + 34 (x ) + 9 Forme développée et réduite : sa forme générale est ax + bx + c Forme canonique la forme générale est : a(x α) + β on peut toujours écrire un trinôme du nd degré sous la forme canonique (voir plus loin) elle permet de déterminer le nombre de solutions de l équation correspondante Forme factorisée 3c on ne peut pas toujours écrire un trinôme du nd degré sous la forme factorisée dans IR. si on peut factoriser le trinôme, on obtient a(x x 1 )(x x ) ou a(x x 0 ) Exemples de mises sous forme canonique x + 6x 1 = x + x 3 1 = (x + x 3 + 3 ) 3 1 = (x + 3) 10 x + x + 1 = = = [ x + x + 1 ] = [ ( x + ) 4 16 + 8 ] = 16 [ ( x + ) ( ) + 1 = 4 4 ] [ ( x + 4 ( x + ) 17 (x 4 8 = + 4) 17 8 4 Fonction polynôme du second degré 4a Forme canonique ) 17 ] ( = x + 16 4 [ ( x + ) 4 16 + 1 8 ] 8 ) 17 16 On démontre que pour toute fonction polynôme f du second degré, on a : ( f(x) = ax + bx + c = a x + b ) b 4ac 4a ( On pose alors : = b 4ac et on a donc : ax + bx + c = a x + b ) 4a Vocabulaire : le nombre qui est égal à b 4ac est nommé discriminant.
Chapitre 1 Second degré II COURS page II-4 4b Tableau de variations D après ce qui précède, pour une fonction f du second degré, on a : f(x) = ax + bx + c = a(x α) + β (a 0) avec α = b La fonction f a selon le cas un des tableaux de variations suivant : si a > 0 si a < 0 x α + x α + β f(x) f(x) β et β = f(α) = 4a Équation du second degré et factorisation a Équation du second degré. Quand on résout l équation ax + bx + c = 0, les trois cas ci-dessous peuvent se produire. Si < 0 l équation ax + bx + c = 0 n a pas de solution. Si = 0 l équation ax + bx + c = 0 a une seule solution qui est x 0 = b Si > 0 l équation ax + bx + c = 0 a deux solutions qui sont x 1 = b b Factorisation f(x) = ax + bx + c (a 0) Si < 0 l expression ax + bx + c ne peut pas être factorisée. ( Si = 0, alors ax + bx + c = a x + b ) Si > 0, alors ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) 6 Signe d un trinôme et x = b + Si < 0 x + Signe de ax + bx + c Signe de a Si = 0 x x 0 + Signe de ax + bx + c Signe de a 0 Signe de a Si > 0 x x 1 x + Signe de ax + bx + c Signe de a 0 Signe de a 0 Signe de a Voir aussi l encadré sur fond jaune, page du manuel, qui donne les différents cas de figure pour les représentations graphiques.