5. Quelques lois discrètes

5. Quelques lois discrètes MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: Lois discrètes 1/46

Plan 1. Loi de Bernoulli 2. Loi binomiale 3. Loi géométrique 4. Loi hypergéométrique 5. Loi de Poisson MTH2302D: Lois discrètes 2/46

1. Loi de Bernoulli 2. Loi binomiale 3. Loi géométrique 4. Loi hypergéométrique 5. Loi de Poisson MTH2302D: Lois discrètes 3/46

Épreuve de Bernoulli Définition Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire dont le résultat peut être soit un succès, soit un échec, mais pas les deux simultanément. Exemple 1 On lance une pièce une fois et on note le résultat. On appelle succès le fait d obtenir PILE et échec le fait d obtenir FACE. Exemple 2 On choisit au hasard une pièce produite en série et on la teste pour détecter les défectuosités. La pièce peut être défectueuse (succès) ou conforme (échec). MTH2302D: Lois discrètes 4/46

Loi de Bernoulli Contexte Lors d une épreuve de Bernoulli, soit p la probabilité d un succès et q = 1 p la probabilité d un échec. Soit X le nombre de succès. Alors R X = {0, 1} et { 1 p si x = 0, p X (x) = p si x = 1. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors on note X Bernoulli(p) (ou Bern(p)). MTH2302D: Lois discrètes 5/46

Loi de Bernoulli (suite) Théorème La fonction de répartition d une variable X Bernoulli(p) est 0 si x < 0, F X (x) = 1 p si 0 x < 1, 1 si x 1. MTH2302D: Lois discrètes 6/46

Espérance et variance Si X Bernoulli(p), alors 1. E(X) = p. 2. V(X) = p(1 p). MTH2302D: Lois discrètes 7/46

Loi binomiale Contexte On effectue n répétitions indépendantes d une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p. Soit X le nombre de succès parmi les n résultats. Alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p, dénoté X B(n, p). On a R X = {0, 1, 2,..., n}. MTH2302D: Lois discrètes 9/46

Loi binomiale (suite) La fonction de masse d une variable aléatoire X B(n, p) est p X (x) = pour x {0, 1, 2,..., n}. ( n x ) p x (1 p) n x MTH2302D: Lois discrètes 10/46

Loi binomiale (suite) La fonction de répartition de la loi binomiale est ( ) x n F X (x) = p k (1 p) n k si x {0, 1, 2,..., n}. k k=0 Si a x < a + 1 avec a entier, alors F X (x) = F X (a). Comme le calcul de F X (x) est fastidieux lorsque que n est grand, on utilise souvent en pratique une table de loi binomiale (disponible sur le site web du cours). Exemple 3 Prouver que F X (n) = 1. MTH2302D: Lois discrètes 11/46

Autres caractéristiques Si X B(n, p), alors : 1. E(X) = np. 2. V(X) = np(1 p). 3. Médiane : x = np. 4. Mode : x = (n + 1)p. Exemple 4 Démontrer que E(X) = np. MTH2302D: Lois discrètes 12/46

Exemple 5 Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont défectueux. On pige avec remise 7 articles du lot. Calculer 1. La probabilité d observer exactement un article défectueux. 2. La probabilité d observer au moins 4 articles défectueux. 3. La moyenne et la variance du nombre d articles défectueux. MTH2302D: Lois discrètes 13/46

Loi binomiale : calcul avec des logiciels Excel : p X (x) = LOI.BINOMIALE(x, n, p, 0). F X (x) = LOI.BINOMIALE(x, n, p, 1). R : p X (x) = dbinom(x, n, p). F X (x) = pbinom(x, n, p). MTH2302D: Lois discrètes 14/46

Loi binomiale : tracés en R Soit X B(n = 50, p = 0.2). Fonction de masse p X (x) : x=seq(0,50,1) ; px=dbinom ( x=x, size=50, prob=0.2 ) ; plot ( x, px, type= h, xlab= x, ylab= p(x), main= fonction de masse de X B(n=50,p=0.2) ). Fonction de répartition F X (x) : x=seq(0,50,0.1) ; Fx=pbinom ( q=x, size=50, prob=0.2 ) ; plot ( x, Fx, type= s, xlab= x, ylab= F(x), main= fonction de répartition de X B(n=50,p=0.2) ). MTH2302D: Lois discrètes 15/46

fonction de masse de X~B(n=50,p=0.2) p(x) 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0 10 20 30 40 50 x MTH2302D: Lois discrètes 16/46

fonction de répartition de X~B(n=50,p=0.2) F(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 10 20 30 40 50 x MTH2302D: Lois discrètes 17/46

Proportion de succès Soit X B(n, p) et ˆp = X n épreuves. Alors ˆp est une variable aléatoire et 1. E(ˆp) = p. p(1 p) 2. V(ˆp) =. n la proportion de succès parmi les n Exemple 6 Un procédé de fabrication produit 5% d articles non conformes. Un échantillon de 50 unités de cet article est prélevé. Quelle est la probabilité qu il y ait plus de 7% d articles non conformes dans l échantillon? MTH2302D: Lois discrètes 18/46

Loi géométrique Contexte On répète continuellement et de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p. Soit X le nombre d épreuves nécessaires pour obtenir un premier succès. Alors X suit une loi géométrique de paramètre p, dénoté X Geom(p). On a R X = {1, 2, 3,...}. MTH2302D: Lois discrètes 20/46

Loi géométrique (suite) La fonction de masse d une variable aléatoire X Geom(p) ou X G(p) est p X (x) = (1 p) x 1 p pour x = 1, 2, 3,.... La fonction de répartition d une variable aléatoire X Geom(p) est { 1 (1 p) a si x [a; a + 1[ avec a N et a 1, F X (x) = 0 sinon. MTH2302D: Lois discrètes 21/46

Loi géométrique (suite) Exemple 7 Montrer que p X est une fonction de masse. Exemple 8 Montrer que F X (x) = 1 (1 p) x si x est entier. MTH2302D: Lois discrètes 22/46

Loi géométrique (suite) Si X Geom(p) alors 1. E(X) = 1 p. 2. V(X) = 1 p p 2. MTH2302D: Lois discrètes 23/46

Loi géométrique : calcul Excel : faire les calculs directement. R (avec R X = {1, 2,..., }) : p X (x) = dgeom(x, p). F X (x) = pgeom(x, p). MTH2302D: Lois discrètes 24/46

fonction de masse de X~G(p=0.2) p(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0 5 10 15 20 25 30 x MTH2302D: Lois discrètes 25/46

fonction de répartition de X~G(p=0.2) F(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 10 20 30 40 50 x MTH2302D: Lois discrètes 26/46

Exemple 9 On lance un dé continuellement jusqu à l obtention d un six. Soit X le nombre de lancers nécessaires. Quels sont la moyenne, la variance, et l écart-type de X? MTH2302D: Lois discrètes 27/46

Loi géométrique (suite) Théorème Propriété d absence de mémoire : si X Geom(p) alors pour tous t, s > 0 P (X > s + t X > t) = P (X > s). Exemple 10 Prouver le théorème. MTH2302D: Lois discrètes 28/46

Exemple 11 On lance un dé continuellement jusqu à l obtention d un 6. Soit X le nombre de lancers nécessaires. 1. Quelle est la probabilité d obtenir un premier 6 au deuxième lancer? 2. Quelle est la probabilité qu il faille plus de 10 lancers pour obtenir un 6? 3. Si aucun 6 n a été obtenu lors des 8 premiers lancers, quelle est la probabilité qu au moins deux autres lancers soient nécessaires? MTH2302D: Lois discrètes 29/46

Loi hypergéométrique Contexte On tire sans remise n objets d un ensemble de N objets dont D possédent une caractéristique particulière (et les autres N D ne la possèdent pas). Soit X le nombre d objets de l échantillon qui possèdent la caractéristique. Alors X suit une loi hypergéométrique de paramètres n, N, D, dénoté X H(N, D, n). On a R X = {max{0, n N + D},..., min(n, D)}. MTH2302D: Lois discrètes 31/46

Loi hypergéométrique (suite) La fonction de masse d une variable aléatoire X H(N, D, n) est ( ) ( ) D N D x n x p X (x) = ( ) N n pour x R X. MTH2302D: Lois discrètes 32/46

Loi hypergéométrique (suite) Si X H(N, D, n) alors 1. E(X) = n D N. 2. V(X) = n D N ( 1 D N ) ( ) N n. N 1 MTH2302D: Lois discrètes 33/46

Loi hypergéométrique : calcul Excel : p X (x) = LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N (x, n, D, N, 0). F X (x) = LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N (x, n, D, N, 1). R : p X (x) = dhyper(x=x, m=d, n=n D, k=n). F X (x) = phyper(q=x, m=d, n=n D, k=n). MTH2302D: Lois discrètes 34/46

Exemple 12 Une boîte contient 8 composants parmi lesquels 2 sont défectueux. Trois composants sont pris au hasard et sans remise de la boîte. Soit X le nombre de composants défectueux dans l échantillon. Donner la fonction de masse de X, ainsi que E(X) et V(X). MTH2302D: Lois discrètes 35/46

Loi de Poisson Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre c > 0 si p X (x) = e c c x x! si x = 0, 1, 2,.... Ceci est dénoté X Poi(c). Le paramètre c correspond à la moyenne de la loi de Poisson. MTH2302D: Lois discrètes 37/46

Loi de Poisson : calcul Livre page 473 et site web du cours. Excel : p X (x) = LOI.POISSON (x, c, 0). F X (x) = LOI.POISSON (x, c, 1). R : p X (x) = dpois (x=x, lambda=c). F X (x) = ppois (q=x, lambda=c). MTH2302D: Lois discrètes 38/46

fonction de masse de X~Poi(c=2) p(x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0 2 4 6 8 x MTH2302D: Lois discrètes 39/46

fonction de répartition de X~Poi(c=2) F(x) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 x MTH2302D: Lois discrètes 40/46

Exemple 13 Une machine utilisée dans une chaîne de production tombe en panne en moyenne 2 fois par mois. Soit X le nombre de pannes par mois. En supposant que X suit une loi de Poisson, quelle est la probabilité que dans un mois donné la machine 1. Ne tombe pas en panne? 2. Tombe en panne au moins deux fois? MTH2302D: Lois discrètes 41/46

Loi de Poisson Si X Poi(c), alors 1. E(X) = c. 2. V(X) = c. Exemple 14 Démontrer que E(X) = c. Exemple 15 Trouver la médiane de X Poi(c = 2). MTH2302D: Lois discrètes 42/46

Processus de Poisson Considérons un type d événement survenant dans le temps. Le comptage du nombre de réalisations de l événement est un processus de Poisson si Pour deux intervalles de temps disjoints, le nombre de réalisations dans l un et l autre intervalle sont indépendants. Pour tout intervalle de temps de durée t, le nombre de réalisations suit une loi de Poisson de paramètre c = λt, où λ > 0 est le nombre moyen de réalisations par unité de temps. MTH2302D: Lois discrètes 43/46

Exemples supplémentaires Autres situations où la v.a. suit une loi de Poisson : 1. Le nombre de voitures arrivant à un feu de circulation en 5 minutes. 2. Le nombre de défauts sur une pièce usinée. 3. Le nombre d erreurs typographiques sur une page d un livre. 4. Le nombre de clients entrant dans un magasin en une journée. 5. Le nombre de particules alpha émises par un matériau radioactif en une minute. Remarque : On suppose, dans tous ces exemples, que le nombre moyen de réalisations de l événement d intérêt par unité de temps, dimension, nombre d épreuve, etc., est modéré. MTH2302D: Lois discrètes 44/46

Approximations Approximation d une loi hypergéométrique par une binomiale Soit X H(N, D, n). Si n/n est petit alors X suit approximativement une loi binomiale B(n, p), où p = D N : P (X = x) = ( D x pour x = 0, 1, 2,..., n (on suggère n/n < 0.1). ) ( ) N D n x ( ) N n ( n x ) ( ) D x ( 1 D ) n x N N MTH2302D: Lois discrètes 45/46

Approximations (suite) Approximation d une loi binomiale par une Poisson Soit X B(n, p). Si n est grand et p est petit (de sorte que np est modéré) alors X suit approximativement une loi de Poisson Poi(c), où c = np : ( ) n P (X = x) = p x (1 p) n x e np (np) x x x! pour x = 0, 1, 2,... (on suggère n > 20 et p < 0.05). MTH2302D: Lois discrètes 46/46