Le partage de boisson Congrès MeJ d Angers -4 Élèves : Killian ROYANT et Noé LABEYRIE (Collège Albert Vinçon) Marion KESLER, Mathilde SIMONIN, Maëlys RIVAULT et Titouan MARTIN-SEVERSTRE Etablissement : Collège Albert Vinçon, Route de Saint-Marc, 446 Saint-Nazaire 5 76 66 Collège Ile de Loire, avenue de la Glinde, 44 St Sébastien 4 8 56 6 Chercheur : Laurent PIRIOU, Laboratoire de Mathématiques Jean-Leray, Université de Nantes Enseignants : F. FOUGERE, Professeur de Mathématiques, Albert Vinçon A. CHIFFOLEAU, Professeur de Mathématiques, Iles de Loire E. HARDY, Professeur de Sciences-Physiques, Albert Vinçon Sujet : Trois cruches d'eau ont une contenance respective de trois, cinq et huit litres. Celle de huit litres est remplie d'eau et les deux autres sont vides. Comment obtenir une quantité de quatre litres en versant de l'eau d'une cruche à l'autre? Il est interdit d'estimer la quantité à l'œil : un versement s'achève lorsque la cruche déversée est vide ou lorsque la cruche dans laquelle on verse est remplie. I. Problème Initial A. Principe Nous avons donc trois cruches, une cruche de 8 litres remplie, une autre de 5 litres vide et de dernière de litres vide également. Le principe est simple : Arriver à avoir 4 litres dans une des trois cruches en faisant des versements d une cruche à l autre. B. Visualisation Examinons la situation : 8L 5L L Partage de boisson Page
Nous avons nos trois cruches dont celle de 8 litres pleine. Il faut verser l eau contenue dans le verre de 8 litres dans les autres cruches et vice-versa. C. Commençons () Nous avons essayé plusieurs versements. Essayons de verser l eau dans le récipient de 5 litres : 8L L 5L Il ne reste donc plus que litres dans la cruche de 8 litres et la cruche de 5 litres est maintenant pleine. D. Continuons et Terminons Ensuite, on verse la cruche de 5 litres dans celle de litres : L 5L L L L Puis celle de litres dans celle de 8 litres : L L L 6L L Celle de 5 litres dans celle de litres : 6L L 6L L Celle de 8 litres dans celle de 5 litres : 6L L L 5L L Et enfin celle de 5 litres dans celle de litres et nous obtenons nos 4 litres : L 5L L L 4L L Partage de boisson Page
Nous avons obtenu 4 litres dans une cruche en seulement 6 coups. On peut obtenir deux fois 4L en versant la cruche de L dans la première (On obtient 4L, 4L et L) II. Les cas possibles A. Codage Au lieu de tout le temps dessiner des cruches, nous avons mis la quantité d eau présente dans chaque cruche sous forme de code en écrivant tout simplement le nombre de litres présents dans chaque récipient dans un seul nombre : () Nombre de litres dans le récipient de 5 litres 4 Nombre de litres dans le récipient de 8 litres Nombre de litres dans le récipient de litres B. Tous les cas imaginables Les cas imaginables sont les cas qui peuvent être possibles. La somme de leurs chiffres doit être égale à 8 (Car il y a 8 litres d eau en tout) et ne peux pas dépasser la quantité d eau limite de chaque cruche. Les cas imaginables sont les suivants : 8 5 4 5 7 5 4 4 7 5 5 6 5 4 5 6 44 4 6 4 5 Partage de boisson Page
C. Tous les cas possibles Nous avons cherché à trouver tous les cas qui étaient vraiment possibles dans les cas imaginables. Dans la liste des cas imaginables, seuls les verts sont possibles à obtenir : () D. Sur graphique 8 5 4 5 7 5 4 4 7 5 5 6 5 4 5 6 44 4 6 4 5 Ensuite, nous avons décidé de mettre ces cas possibles sur un graphique ayant comme Axe X, la cruche de 5 litres et comme axe Y, la cruche de litres. Les croix vertes sont les cas possibles et les rouges sont les cas imaginables impossibles. On voit que les cas possibles forment un rectangle. de L de 5L 4 5 Partage de boisson Page 4
Remarque : Il n est pas nécessaire de connaître le nombre de litres de la cruche de 8 litres car c est ce qu il reste pour atteindre 8 (exemple : Si la croix à pour axe Y : et pour axe X : 5, le code sera 5 car 5 + = 7 et 8 7 =. est donc le nombre de litres contenus dans le récipient de 8 litres. III. Les chemins A. Fonctionnement Un chemin sur un graphique est égal à un versement d une cruche à une autre. Exemple : Dans le cas présent, la flèche noire représente le chemin pour aller de 8 à 5 mais elle est aussi égale au versement ci-dessous. de L 8L de 5L 4 5 B. De 8 à 4 A Voici le chemin pour aller de 8 à 4 de L D Partage de boisson Page 5 de L 4 5
C. Tous les chemins possibles (4) Pour finir, nous avons tracé tous les chemins possibles. Les chemins sont possibles dans les deux sens. (5) 4 5 Attention! Aucunes des flèches cidessous ne sont possibles Chemins impossibles de L de 5L 4 5 Partage de boisson Page 6
Notes d'édition : () Plus précisément, ce sont les premiers essais par opposition à la méthode plus automatique mise en place par la suite. () Cette nouvelle représentation est plus rapide et permet d'améliorer la lisibilité. () Ces cas ont été obtenus par dénombrement de toutes les possibilités. Pour cela, on remarque qu'il faut forcément soit une cruche pleine, soit une cruche vide puisque les versements sont complets. (4) L'un des intérêts de regarder tous les chemins possibles est de proposer celui qui est le plus rapide. (5) Les solutions répondant au problème sont celles correspondantes à l'axe des abscisses valant 4 (la cruche de 5L contient alors 4L) ou la somme des deux coordonnées valant 4 (cruche de 8L contient alors 4L). Partage de boisson Page 7