Chapitre NOMBRES DÉCIMAUX 6 ème Différencier le chiffre et le nombre. Rangs des chiffres. Écriture des nombres décimaux en lettres sans utiliser le mot virgule. Écriture des nombres décimaux sous forme de fraction décimale. Repérage sur une droite et comparaison des nombres décimaux. Encadrements, troncatures.
Chapitre NOMBRES DÉCIMAUX 6 ème Rappels Chiffre des millièmes Chiffre des centièmes Chiffre des dixièmes virgule Chiffre des unités Chiffre des dizaines Chiffre des centaines Chiffre des milliers Chiffre des dizaines de milliers Chiffre des centaines de milliers Chiffre des millions 4 7 8 5 2 5 1, 6 2 4 Attention : Ne pas confondre «chiffre» et «nombre». Pour 0,27 : 7 est le chiffre des centièmes et 27 est le nombre de centièmes Pour 32 : 2 est le chiffre des unités et 32 est le nombre d unités.
1) Ecritures d un nombre décimal : a) Ecriture à «virgule» : L écriture à virgule d un nombre décimal se compose : d une partie entière (à gauche de la virgule) d une partie décimale (à droite de la virgule). Ces deux parties comportent un nombre fini de chiffres. Pour 13,27 : la partie entière est 13 unités la partie décimale est 27 centièmes = 0,27 13 + 0,27 = 13,27 Pour 202,3 : la partie entière est 202 unités la partie décimale est 3 dixièmes = 0,3 202,3 = 202 + 0,3 Remarques : On ne change pas un nombre décimal si on ajoute ou si on enlève : des 0 avant la partie entière des 0 après la partie décimale. 4,31 = 04,31 et 2,3 = 2,30 Un nombre entier est aussi un nombre décimal. Exemple : 32 = 32,0 b) Ecriture «en toutes lettres» : Le nombre décimal 34,25 peut se lire et s écrire : trente-quatre virgule vingt-cinq (lecture «naturelle») ou encore trente-quatre unités et vingt-cinq centièmes 0,102 = zéro virgule cent deux ou encore 0,102 = cent deux millièmes.
c) Ecritures fractionnaires : 1 dixième = 0,1 =1 : 10 = 10 1 1 1 centième = 0,01 =1 : = 3 millièmes = 0,003 =3 : 1 000 = 3 0 0,2 = 2 : 10 = 10 2 = 2 dixièmes 5 0,05 = 5 : = = 5 centièmes Remarque : Un nombre décimal admet plusieurs écritures fractionnaires. 25 250 Exemple : 0,25 = mais on a aussi 0,25 = 0,250 =. 0 Vocabulaire : Une fraction dont le dénominateur est 1, 10,, 0 etc est une fraction «décimale». 327 = 327 centièmes 567 10 = 567 dixièmes 12 10 2 = + = 1 + 0,2 = 1,2 10 10 10 234 = 200 34 + = 2 + 0,34 = 2,34 3591 = 0 3000 591 + = 3 + 0,591 = 3,591 0 0 75 0075 = = 0,075 0 0
d) Décompositions d un nombre décimal: 34,25 = (3 10) + (4 1) + (2 0,1) + (5 0,01) 2 5 34,25 = 34 + + 10 25 34,25 = 34 + 0,25 = 34 + 2) Repérage sur une demi-droite graduée : a) Demi-droite graduée : On appelle «demi-droite graduée» une demi-droite sur laquelle sont fixés : un point origine une unité de longueur que l on reporte régulièrement à partir de l origine un sens. unité de longueur 0 1 2 3 4 5 6 O A B C D E F L origine est le point O b) Abscisse d un point : (propriété admise) Sur une demi-droite graduée : chaque point est repéré par un nombre appelé «abscisse» de ce point à chaque nombre correspond un point. L abscisse du point A est le nombre 1. On dit que 1 est l abscisse du point A. On note A(1) ou encore x = 1. A L abscisse du point B est le nombre 2. On dit que 2 est l abscisse du point B. On note B(2) ou encore = 2 x. B L abscisse du point F est le nombre 6. On dit que 6 est l abscisse du point F. On note F(6) ou encore = 6 x. F
3) Comparaison des nombres décimaux: a) Vocabulaire: «Comparer deux nombres» signifie déterminer s ils sont égaux ou non. S ils sont différents, il faut préciser lequel est le plus grand. «Ranger des nombres» dans l ordre «croissant» revient à les ranger du plus petit au plus grand. «Ranger des nombres» dans l ordre «décroissant» revient à les ranger du plus grand au plus petit. b) Notations: Notation Lecture Exemple a < b «a est strictement inférieur à b» 8 < 12 a b «a est inférieur ou égal à b» Taille 1,20 m a > b «a est strictement supérieur à b» 12 > 8 b 50 a = b «a est égal à b» 4 = 4, 0 a «a est supérieur ou égal à b» Poids kg Ranger dans l ordre croissant les nombres 3 ; 11 ; 10 et 14. La réponse est : 3 < 10 < 11 < 14. Ranger dans l ordre décroissant les nombres 3 ; 11 ; 10 et 14. La réponse est : 14 11 > 10 > 3 >. c) Méthode de comparaison de deux nombres décimaux: Méthode: Le plus grand de deux nombres décimaux est celui qui a la plus grande partie entière. Si les parties entières sont égales, le plus grand nombre est celui qui a le plus grand chiffre des dixièmes. Si les parties entières et les chiffres des dixièmes sont égaux, le plus grand nombre est celui qui a le plus grand chiffre des centièmes. Et ainsi de suite Comparer 179,83 et 181,77. En comparant les parties entières, on a 181 Comparer 2,8 et 2,13. Les parties entières sont égales. On compare alors les chiffres des dixièmes : 1,8 Comparer 7,34 et 7,312. Les parties entières et les chiffres des dixièmes sont égaux. On compare alors les chiffres des centièmes : 1 179 < donc 179,83 < 181, 77. 8 > donc 2 > 2, 13. 4 > donc 7,34 > 7, 312.
4) Valeurs approchées d un nombre décimal: a) Encadrement : Vocabulaire: «Encadrer un nombre» signifie écrire ce nombre entre deux valeurs ; l une est inférieure à ce nombre, l autre est supérieure. «Intercaler un nombre» entre deux nombres a et b signifie trouver un nombre compris entre a et b. Encadrer 26,343 par deux entiers consécutifs ( consécutifs signifie «qui se suivent»). La réponse est : 26 < 26,343 < 27. Intercaler un nombre entre 2,81 et 2,82. Une des réponses possibles est : 2,81 < 2,811 < 2, 82 Remarque : On dit que 2,81 < 2,811 < 2, 82 est un «encadrement» de 2,811. b) Valeurs approchées par défaut ; valeurs approchées par excès: Vocabulaire: 26 26,343 < 27 < est un encadrement à l unité près de 26,343. 26 est une «valeur approchée par défaut à l unité» près de 26,343. 27 est une «valeur approchée par excès à l unité» près de 26,343. 26,3 26,343 < 26, 4 < est un encadrement au dixième près de 26,343. 26,3 est une «valeur approchée par défaut au dixième» près de 26,343. 26,4 est une «valeur approchée par excès au dixième» près de 26,343. 26,34 26,343 < 26, 35 < est un encadrement au centième près de 26,343. 26,34 est une «valeur approchée par défaut au centième» près de 26,343. 26,35 est une «valeur approchée par excès au centième» près de 26,343. Exemple: Trois personnes veulent partager équitablement une note de restaurant de 47 euros. Une calculatrice affiche : 47 3 15,66666667 On remarque que le résultat de la division donné par la calculette est une valeur approchée par excès. Comme on ne peut pas aller au-delà du centime d euro, chaque personne paiera 15,67. On a donc choisi une valeur approchée par excès au centième près pour payer la note.
c) Troncature et arrondi : Troncature : On appelle troncature au dixième d un nombre décimal, le nombre obtenu en supprimant tous les chiffres après le chiffre des dixièmes. Exemple : La troncature au dixième de 2,625 est 2,6. On «coupe» après le chiffre des dixièmes. Remarque : «troncature» vient du verbe tronquer qui signifie «couper». On peut donner des troncatures à tous les rangs : La troncature au centième de 2,625 est 2,62. On «coupe» après le chiffre des centièmes. La troncature à l unité de 2,625 est 2. On «coupe» après le chiffre des unités. Arrondi : On appelle arrondi au dixième d un nombre N, le nombre à un seul chiffre après la virgule le plus proche de N. Exemple : L arrondi au dixième de 2,625 est 2,6 En effet, 2,625 est plus proche de 2,6 que de 2,7 puisque le chiffre des centièmes est inférieur à 5. On peut donner des arrondis à tous les rangs : L arrondi à l unité de 2,625 est 3 En effet, 2,625 est plus proche de 3 que de 2 puisque le chiffre des dixièmes est supérieur à 5. Il y a une ambiguïté, pour déterminer l arrondi au centième de 2,625. En effet, le chiffre des millièmes est égal à 5 donc 2,625 est aussi proche de 2,62 que de 2,63. Quand il y a une ambiguïté, on choisit par convention la valeur approchée par excès. Donc on choisira 2,63 comme arrondi au centième de 2,625. Remarque : Cette convention pour les arrondis est celle qui est utilisée par la majorité des calculettes.