Dilatation relativiste du temps de désintégration des muons D après l expérience de DAVID H. FRISCH ET JAMES H. SMITH Ce document permet à l enseignant de préparer l activité sur la vérification expérimentale la dilatation du temps en classe de TS. Il propose un questionnement à propos du film de Frisch et Smith ainsi que quelques réponses aux différentes interrogations (en vert), certaines sortant du cadre de ce que l on peut demander à un élève (en rouge). Désintégration d'un muon Le muon est une particule chargée, instable dont la durée de vie moyenne (moyenne arithmétique des durées de vie) est =2,20µs. On peut aussi donner sa demi-vie t 1/2 (durée au bout de laquelle sur une population contenant N 0 muons, il n'en resterait plus que N 0 /2), t 1/2 =.ln2 = 1,52µs Le muon négatif se désintègre en un électron, un anti-neutrino électronique et un neutrino muonique : Le muon positif se désintègre en un positon, un anti-neutrino électronique et un neutrino muonique : Ils se forment lors de violentes collisions entre des particules cosmiques (principalement des protons provenant du soleil) et des noyaux présents dans notre atmosphère. Les muons ainsi produits dans la haute atmosphère sont projetés à une vitesse proche de celle de la lumière dans de multiples directions. On s'intéresse à ceux qui envoyés vers la Terre. Détections Les muons interagissent peu avec la matière, par contre celle-ci les ralenti comme par frottement. Il leur faut plusieurs dizaines de centimètres de fer pour les stopper. Certains cristaux et polymères émettent de la lumière sur leur passage, c'est par cette lumière émise qu'on peut les détecter.
Sélection de la vitesse Une couche de 75cm (2,5 pied) de fer et la prise en compte uniquement des muons qui s arrêtent dans le scintillateur permettent de ne compter que les muons possédant une certaine vitesse v à l entrée du détecteur. Donner l intervalle du rapport v/c des muons comptés par le dispositif à 1900m d altitude (vidéo à 22min) : On les appellera par la suite «muons calibrés» On peut comparer cet intervalle à celui obtenu à partir de la valeur de la décroissance par unité de longueur parcourue de l énergie des muons : (Voir par exemple http://udppc.asso.fr/paris2007/docactes/2008/301_12032009102128.pdf) Compte tenu de la masse volumique du fer : fer = 7,87g/cm 3 L énergie du muon au-dessus du fer qui s arrête à l entrée du détecteur est : E 1 =.m µ.c 2 Arrêté dans le cristal, son énergie au repos est E 0 =m µ.c 2 =106MeV (http://fr.wikipedia.org/wiki/muon) E 1 - E 0 représente l énergie perdue. L énergie du muon au-dessus du fer qui s arrête à la sortie du détecteur est : E 2 =.m µ.c 2 Il faut rajouter les 28cm de polystyrène ( = 1,05g/cm 3 ) Par le calcul, on trouve un encadrement assez différent! Dans ce cas on trouverait pour t 0 / t (voir la partie Au lieu de 0,098. Et au niveau de la mer on obtiendrait : = 7,83 soit t 0 / t = 0,128 La moyenne donne alors t 0 / t = 0,104
Expérience à 1900m d altitude A partir du graphique représentant la durée de vie des N 0 = 568 muons calibrés, compléter le tableau suivant et représenter le nombre de muons non désintégrés au bout du temps t 0 en fonction de t 0. (A noter que dans cette expérience les muons sont au repos) t 0 (µs) 0 0,8 1,4 2,3 3,0 4,0 5,0 5,8 6,7 7,0 8,0 N 568 400 300 200 140 100 60 40 20 16 5 Déterminer à partir du graphique la demi-vie des muons, est-elle en accord avec la valeur donnée en introduction? Graphiquement, on trouve une demi-vie de 1,51µs. Elle est très voisine de celle donnée : 1,52µs Autre question possible : La loi de décroissance du nombre de muons est donnée par la relation : ( ) Modéliser la courbe de décroissance N en fonction de t 0 afin de déterminer la durée de vie moyenne.
Nous disposons donc d une horloge à muons étalonnée. En fonction du nombre de muons désintégrés, nous pouvons déterminer le temps t 0 qui s est écoulé (pour des muons au repos!). Exprimer la distance d parcourue par un muon pendant une durée t? (durée mesurée par un observateur terrestre) Sans tenir compte d effet relativiste, sur les 568 muons calibrés, quel nombre de muons N m devraient parcourir la distance d = 1900m? Ce nombre est-il égal à celui obtenu par les chercheurs? Si non, pourquoi? Si un muon réussit à parcourir la distance d, c est qu il ne s est pas désintégré avant t tel que : La mesure à l aide du réticule donne N m = 30,5. La valeur des chercheurs est 27, la désintégration est aléatoire, au cours d une autre série de mesure, ce nombre serait voisin, mais sûrement différent. Expérience au niveau de la mer Qu est-ce que les chercheurs ont modifiés dans leur expérience pour compter au niveau de la mer les muons ayant la même vitesse que ceux comptés à 1900m d altitude? Pour quelle raison l ont-ils fait? (vidéo à 28min) Ils enlèvent un pied (25cm) de fer, correspondant à la masse par mètre carré de 1900m d air. On peut le vérifier : Le poids de l épaisseur d air entre 1900m et 0m est égal au poids de l épaisseur de fer : Quel nombre de muons N m recueillent-t-ils? (vidéo à 30min) Ils en recueillent N m = 412. Justifier la différence entre ceux recueillis et ceux attendus. La durée de vie d un muon nous apparait plus longue car ils se déplacent à une vitesse proche de celle de la lumière, c est un effet de la relativité.
Dilatation du temps Déterminer graphiquement, pour des muons au repos, au bout de combien de temps t 0 il ne reste plus que N m muons calibrés? Graphiquement on trouve t 0 = 0,72µs. Dans le référentiel fixe (expérience au Mont Washington avec des muons à l arrêt) sur les 568 muons au repos, au bout de 0,72µs il n en reste plus que 412. Comparer avec la durée t, mesurée par un observateur terrestre qui voit les muons se déplacer à la vitesse v, pour qu il n en reste plus que N m. t = 6,3µs. On constate : t 0 < t Compléter le schéma en s inspirant du film (vidéo à 31min) : Indiquer à quel instant une population initiale de N 0 =568 muons est réduite à N m muons suivant le référentiel dans lequel est l observateur. A partir des 568 muons - t est la durée pour qu il n en reste plus que 412, mesurée par un observateur terrestre qui voit le référentiel dans lequel le phénomène se passe se déplacer à la vitesse v. - t 0 est la durée propre pour qu il n en reste plus que 412 mesurée dans le référentiel dans lequel le phénomène se passe.
Vérification de la loi de la dilatation du temps Calculer le rapport t 0 / t mesuré. C est la grandeur utilisée dans le film, on pourrait plutôt faire calculer = t / t 0 Soit un = 8,75 voir conclusion de Frisch et Smith En appliquant la loi de la dilatation du temps en relativité restreinte, donner la valeur de ce rapport en tenant compte de la moyenne des vitesses estimées des muons. Cette valeur est-elle compatible avec celle mesurée? Quelles peuvent être les sources de différence? 15% d écart, la valeur donne = 10,2 donc dans l intervalle proposé en conclusion! Sont donnés ici quelques pistes permettant d expliquer cette différence et l intervalle de confiance important pour cette valeur : Le calcul précédent n est pas correct, la vitesse de 0,9952c est celle qu ont les muons calibrés à 1900m A l altitude 0, ils ont perdu de l énergie et vont moins vite. La perte d énergie correspond à la traversé des 25 premiers centimètres de fer (ou des 1900m d air). On peut calculer le rapport t 0 / t pour des muons «calibrés» dans l expérience au niveau de la mer : L énergie du muon est : E=.m µ.c 2 son énergie au repos est E 0 =m µ.c 2. E-E 0 représente l énergie perdue. Frisch et Smith proposent de prendre la moyenne : 0,126 correspondant à une vitesse «moyenne» v = 0,992c Les mesures de N 0 et N m sont des mesures statistiques. Frisch et Smith donnent 412 ±10, suivant la courbe de décroissance expérimentale, au bout de 0,772µs il reste 402 muons, soit t 0 / t = 0,122 au lieu de 0,114. On a considéré que les muons se déplaçaient verticalement, un trajet oblique rallonge d et donc t, ce qui diminue le rapport t 0 / t expérimental. On pourrait imaginer que des muons soient produits entre 1900m et 0m, ce qui augmenterait N m. L expérience a été faite suffisamment bas pour qu il n y ait pas ce risque, il n y a quasiment plus de particules cosmiques en dessous de 5000m..
Voici la conclusion de Frisch et Smith Donc notre comparaison finale est entre un facteur de dilatation du temps prévu de 8,4 ± 2 et un facteur de dilatation du temps observé de 8,8 ± 0,8 (à un écart-type statistique près). Ceci est un accord tout à fait satisfaisant, facilement compatible avec les erreurs sur les valeurs tant théoriques qu'expérimentales. Ainsi, non seulement notre expérience donne la preuve qualitative directe de la dilatation du temps, mais les nombres observés soutiennent les prédictions quantitatives de la théorie de la relativité spéciale.