en mathématiques «La résolution de problème relevant des 4 opérations»

Renforcer les acquis des élèves en mathématiques «La résolution de problème relevant des 4 opérations» Formation pédagogique Bar sur seine - session 2 cycle 3

CONTENUS DE LA FORMATION Cycle 3 Session 1 : Identifier les différentes réponses et difficultés des élèves dans la résolution des problèmes Session 2 : Faire progresser les élèves au regard des difficultés repérées Session 3 : Organiser la continuité des apprentissages

Session 2 : Faire progresser les élèves au regard des difficultés repérées 1) Repérer les difficultés, les différents niveaux de réponses Retour sur l expérimentation : procédures? difficultés? Rappels de la session 1 Synthèse: modèle d analyse des procédures des élèves 2) Concevoir une séance d apprentissage Le choix des problèmes: typologie de problèmes 3) Conduire une séance d apprentissage Analyse d extraits de séances Proposition d un outil : les boites référentes 4) Expérimentation

RETOUR SUR L EXPERIMENTATION ANALYSE DES REPONSES DES ELEVES

DES PROCEDURES PLUS OU MOINS EXPERTES CE2 CE2 DES SCHEMAS CE2 CM1

DES PROCEDURES PLUS OU MOINS EXPERTES CE2 CE2 DES CALCULS CM1 CM2

REPRESENTATION DU PROBLEME PROCEDURE EXPERTE

Analyse de la difficulté Difficulté à se représenter le problème Difficultés à exécuter la procédure de résolution Erreur de calculs Choix de la procédure

Analyse de la difficulté Difficulté à se représenter le problème Calcul aléatoire sur les données du problème

Analyse de la difficulté Difficultés à exécuter la procédure de résolution Erreur dans le choix de la procédure

Analyse de la difficulté Difficultés à exécuter la procédure de résolution L élève fait des erreurs de calcul.

Analyse de la difficulté Difficultés à exécuter la procédure de résolution L élève «se perd» dans la procédure (souvent trop longue).

PROBLEME TYPE MULTILICATIF (CE2) : Dans la bibliothèque d Anaïs, il y a 6 étagères. Sur chaque étagère, Anaïs a rangé 15 livres. Combien Anaïs a-t-elle de livres? Type de réponses Classe A 13 élèves Classe B 9 élèves Classe C 12 élèves Classe D 13 élèves TOTAL 47 élèves Réponse correcte avec représentation (6 rangées de 15) Réponse correcte du type 15+15+. Avec ou sans représentation Réponse correcte du type 15 X 6 = Avec ou sans représentation par «paquets» 7,7 % 11,1 % 4,7 % 30,7 % 11,1 % 50 % 7,7 % 24,9 % 23 % 44,4 % 50 % 77 % 48,6 % Réponse correcte sans calcul 7,7 % 1,92 % TAUX DE REUSSITE 69,1 % 66,6 % 100 % 84,7 % 80,2 % Erreur - calcul sur données 23 % 11,1 % 15,3 % 12,4 % Erreur avec représentation 7,7 % 22,2 % 7,8 % TAUX ERREUR 30,7 % 33,3 % 0 % 15,3 % 20,2 % Problème plutôt réussi en CE2 malgré des écarts entre les classes Procédure experte partiellement utilisée en CE2 écarts entre les classes

PROBLEME TYPE MULTIPLICATIF (CM1): Une pieuvre a 8 tentacules. Si elle a 42 ventouses sur chaque tentacule, combien la pieuvre a-t-elle de ventouses? Type de réponses Classe A Classe B Classe C Classe D TOTAL 12 élèves 15 élèves 8 élèves 10 élèves 45 élèves Réponse du type : 42 X 8 = 336 8 x 5 = 40 se rapproche de 42 Par tatônnement 75 % 100 75 % 90 % 85 % 8,3 % 2 % TAUX DE REUSSITE 83,3 % 100 % 75 % 90 % 87 % Erreur de calcul /technique X 8,3 % 25 % 10 % 11 % Calcul aléatoire sur les données 8 + 42 8,3 % 2 % TAUX ERREUR 16, 6 % 0 % 25 % 10 % 13 % Réponse du type : 42 X 8 = 336 Problème majoritairement réussi en CM1 Procédure experte utilisée majoritairement en CM1

PROBLEME TYPE MULTIPLICATIF / DIVISIF (CM1) Tom fait collection de minéraux. Il vient de recevoir 15 boîtes pour ranger ses 150 pierres. Combien peut-il en disposer dans chaque boîte? Type de réponses REPONSES EXACTES du type 15 X? = 150 calculs aléatoires sur données 150x15 / 15+150/15+? = Schéma/dessin sans réponse Pas de réponse TAUX ERREURS Classe A 12 élèves Classe B 15 élèves Classe C 8 élèves Classe D 10 élèves TOTAL 45 élèves 42 % 6,6 % 12,5 % 20 % 20 % 58 % 93,4 % 50 % 50 % 63 % 0 % 0 % 37,5 % 30 % 17 % 58 % 93, 3 % 87,5 % 80 % 80 % Problème majoritairement échoué en CM1 (malgré quelques écarts entre classe) Différence par classe au niveau du taux de réussite Hétérogénéité aux niveaux des procédures : présence de schémas taux calculs aléatoires

Constats Des différences de réussites Des différences de procédures selon les problèmes selon les classes Quelles hypothèses peut-on formuler pour expliquer ces différences de réussites? Quelles pistes pour faire progresser les élèves?

Quelques rappels de la session 1 Identifier les différentes réponses et difficultés des élèves dans la résolution des problèmes

Le domaine le plus échoué aux évaluations en mathématiques : la résolution de problèmes L analyse des procédures des élèves permet de distinguer Ceux qui résolvent le problème avec une solution experte Ceux qui résolvent le problème avec des solutions personnelles (mettant en jeu plus ou moins une compréhension du problème, des techniques de calcul ou de comptage) Ceux qui échouent : parce qu ils ne comprennent pas l énoncé parce qu ils échouent dans les procédures de comptage ou de calcul Deux objectifs rendre l élève expert dans la résolution de certains problèmes pour lesquels il reconnaît rapidement le traitement approprié ; rendre l élève capable d initiative pour d autres problèmes, c est-à-dire capable d imaginer des résolutions originales, de les tester et, en raisonnant, d adapter ses connaissances pour traiter la situation proposée de manière personnelle, originale.

Un modèle d analyse Connaissances Savoirs Solutions Expertes Enoncé du problème Compréhension reconstruction Résolution du problème Données Solutions personnelles

1. Repérer les difficultés, préciser les objectifs d apprentissage. Préciser les enjeux. Faire progresser les élèves au regard des difficultés repérées 2. Conception de la séance Le choix des problèmes, le parcours,la progressivité. 3. Conception de la séance Les outils, supports utilisés, construits. 4. La conduite de la séance Les modalités, l organisation: l appropriation du problème: le vocabulaire, l anticipation, la schématisation, la mise en commun, etc. Les attitudes, interventions

Typologie des problèmes G. Vergnaud

Pour son anniversaire Magalie reçoit 50 de sa grand-mère et 30 de sa tante. Combien Magalie a-t-elle reçu d argent au total? (CE2) La bibliothèque municipale a maintenant 12 780 livres après la suppression de 752 livres anciens et abîmés. Combien y avait-il de livres avant cette suppression? (CM2) Dans la boîte de 158 gommes, il y a 39 gommes pour effacer l encre. Combien y a-t-il de gommes qui effacent le crayon de papier? (CE2) Nous sommes 142 élèves à l école actuellement. 17 enfants ont déménagé et ont quitté l école depuis la rentrée. Combien étions-nous au début de l année scolaire? (CM1) Dans le club omnisports du village, il y a 32 basketteurs. Ils sont 19 de moins que les footballeurs. Combien y a-t-il de footballeurs dans le club?(cm2) Lors de la finale de la coupe de France de football, on a enregistré 44 485 entrées dont 37 326 payantes. Combien a-t-on distribué d entrées gratuites? (CM2) Dans un magasin un jouet vaut 24. Il vaut 65 (ou 46 ) dans un autre magasin. De combien est-il plus cher (ou moins cher) dans le 2ème magasin? (CE2) Pierre a 142 timbres de collection. Il en possède 31 de plus que Sophie. Combien Sophie a-t-elle de timbres? (CE2) Un transporteur doit livrer 1 800 caisses de Coca. Il en décharge 460 au premier magasin. Combien en déchargera-t-il au deuxième? (CM1) J ai ajouté 6 fleurs à mon bouquet. Il en compte maintenant 18. Combien avais-je de fleurs avant? (CE2)

Typologie des problèmes additifs/soustractifs G. Vergnaud Des compositions d états Des transformations d états Des compositions de transformations Des comparaisons d états

Composition de deux états?? e 1 e 1 e 2 T Recherche du composé e 1 t e 2 e 2? t Pour son anniversaire Magalie reçoit 50 de sa grand-mère et 30 de sa tante. Combien Magalie a-t-elle reçu d argent au total? (CE2) Lors de la finale de la coupe de France de football, on a enregistré 44 485 entrées dont 37 326 payantes. Combien a-ton distribué d entrées gratuites? (CM2) Recherche d une partie Dans la boîte de 158 gommes, il y a 39 gommes pour effacer l encre. Combien y a-t-il de gommes qui effacent le crayon de papier? (CE2)

Les transformations d état E i T + / - E f Une grandeur en jeu qui subit une évolution Une augmentation - Une diminution Un ajout Un retrait Un déplacement vers l avant - un retour en arrière

Les transformations d état Recherche de l état final e i T +? T -? E f E i E f Augmenter Ajouter Avancer Diminuer Retirer Reculer La bibliothèque municipale a 12 780 livres, une commande de 752 livres est livrée. Combien y a-t-il de livres maintenant? (Remarque :transformation positive) (CM2) Un transporteur possède 1 800 caisses de Coca. Il en décharge 460 au premier magasin. Combien en reste-t-il? (CM1) (Remarque : transformation négative)

Les transformations d état Recherche de l état initial? E i T +? e f E i T - E f Augmenter Ajouter Avancer Diminuer Retirer Reculer J ai ajouté 6 fleurs à mon bouquet. Il en compte maintenant 18. Combien avais-je de fleurs avant? (CE2) Nous sommes 142 élèves à l école actuellement. 17 enfants ont déménagé et ont quitté l école depuis la rentrée. Combien étions-nous au début de l année scolaire? (CM1)

Les transformations d état Recherche de la transformation T + T - e i? e f E i? E f Augmenter Ajouter Avancer Diminuer Retirer Reculer Pour le mariage de mon cousin, j ai commandé un costume qui vaut 199. Je l ai fait retoucher pour qu il soit exactement à ma taille. Je l ai payé finalement 240. Quel était le prix des retouches? (CM1) Avant la tempête, mon toit était couvert de 1 100 tuiles. Après la tempête, il n en restait plus que 276. Combien le vent a-til emporté de tuiles sur mon toit? (CM2)

Comparaison d états Recherche de la comparaison e 1? C On chercher la différence, l écart entre les deux grandeurs. e 2 Dans un magasin un jouet vaut 24. Il vaut 65 (ou 46 ) dans un autre magasin. De combien est-il plus cher (ou moins cher) dans le 2ème magasin? (CE2)

Comparaison d états? E 1 C Recherche d un des états e 1? C e 2 E 2 Dans le club omnisports du village, il y a 32 basketteurs. Ils sont 19 de moins que les footballeurs. Combien y a-t-il de footballeurs dans le club? (CM2) Pierre a 142 timbres de collection. Il en possède 31 de plus que Sophie. Combien Sophie a-t-elle de timbres? (CE2)

Composition de transformations Recherche de la transformation composée t 1 - t 2 +? - 32 T + 18 f 32 18 = 14 Paul a joué aux billes pendant la récréation du matin et la récréation de l aprèsmidi. Le matin il a perdu 32 billes. L après-midi, il en a gagné 18. Quel est le bilan de la journée?

Typologie des problèmes multiplicatifs G. Vergnaud

Variation d une grandeur T x / : E i E f Une seule grandeur en jeu qui subit une évolution Une répétition - Une répartition Une augmentation (un agrandissement) - Une réduction Chaque jour de la semaine, je parcours 50 km à vélo. Quelle distance ai-je parcourue en une semaine? Léo a rétréci une photographie avec un coefficient de réduction de 4. l original avait un longueur de 12 cm. Quelle est la longueur de la photographie réduite? Juliette a acheté un pull à 15 après réduction. Le commerçant a divisé le prix par 3. Quel était le prix du pull avant réduction?

tx e i E f a x b =. e i t : E f a : b =. tx E i e f x b = c c : b = E i t: e f : b = c b x c = e i Tx e f a x = c c : a =. e i T : e f a : = c a : c =.

Comparaison de deux grandeurs Deux grandeurs d un même domaine en jeu que l on compare. e 1? E 2 c x/: Dans une classe il y a 6 filles et trois fois plus de garçons. Combien y a-t-il de garçons? Juliette a 36 billes. Elle en a 3 fois plus que Lucie. Quelle est le nombre de billes que possède Lucie?

=> Stratégie personnelle => Stratégie experte

Un modèle d analyse Connaissances Savoirs Solutions Expertes Enoncé du problème Compréhension reconstruction Résolution du problème Données Solutions personnelles

Analyse d extrait vidéo Que conserveriez-vous, au niveau de la conduite? Que modifierez-vous? Vidéo 1 Tom fait collection de minéraux. Il vient de recevoir 15 boîtes pour ranger ses 150 pierres. Combien peut-il en disposer dans chaque boîte? (CM1)

L enjeu d un outil 1. Permettre une référence explicite à des connaissances ou des travaux antérieurs 2. Etablir des liens entre les différentes représentations: mots, schémas, opérations 3. Aller vers une modélisation 4. Permettre aux élèves de prendre conscience de la diversité des procédures et de situer la sienne

Exemple d un outil Schémas de référence les modèles Enoncé du problème Représentations des différents modes de résolutions Enoncé du problème Représentations des différents modes de résolutions

Lisa doit payer 25 euros pour l achat d un pull. Elle donne un billet de 50 euros. Quelle somme d argent le marchand doit-il lui rendre? (CE2)

Le confiseur a fabriqué 100 bonbons à la fraise. Il les met dans des boîtes de 6 bonbons. Combien peut-il remplir de boîtes? (CE2)

Dans la bibliothèque d Anaïs, il y a 6 étagères. Sur chaque étagère, Anaïs a rangé 15 livres. Combien Anaïs a-t-elle de livres? (CE2)

Hier, le confiseur a vendu 13 boîtes de 10 bonbons à la menthe et 50 boîtes de 6 bonbons à la fraise. Combien de bonbons a-t-il vendus au total? (CE2)

Julie a invité 11 copains à son anniversaire. Elle prépare un sachet de bonbons pour chacun d eux. Elle a 125 bonbons en tout. Lui en restera-t-il? combien? (CM1)? X 11 = 125

Le fleuriste a 118 œillets. Il veut composer le plus possible de bouquets de 8 œillets. Combien peut-il faire de bouquets? (CM2)

L évolution du modèle Problème de compositions d états avec références aux données? + 18 = 37 sans références aux données

Expérimentation Sur un ou plusieurs types de problèmes simples, mettre en place une ou des boites référentes Utiliser cet outil dans les séances ultérieures Formuler des remarques quant à l utilisation de l outil: - Au regard des enjeux Permettre une référence explicite à des connaissances ou des travaux antérieurs Etablir des liens entre les différentes représentations: mots, schémas, opérations Aller vers une modélisation Permettre aux élèves de prendre conscience de la diversité des procédures et de situer la sienne - Au regard des difficultés de mise en œuvre Envoyer une photo des boites référentes et les remarques à laurence.desjardins@ac-reims.fr avant la session 3.