Probabilités 6 : Loi normale N (μ ; 2 ) «I» : Définition Soit μ un nombre réel et un réel strictement positif, o n dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale N (μ ; 2 ), lorsque la variable aléatoire centrée réduite Z associée à X, Z= X μ suit une loi normale centrée réduite N (0 ; 1). Exercice 01 La masse en Kg des nouveaux nés à la naissance est une variable aléatoire X modélisée par la loi normale N (3,3 ; 0,25). Déterminer la probabilité qu'un nouveau né pèse moins de 2,5 kg La variable aléatoire centrée réduite On cherche p(0 < X < 2,5) = p 3,3 Z = X = X 3,3 Z 2,5 3,3 «II» : Espérance et variance (admises) suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1) = p 3,3 Z 1,6 0,0548 On admet que si X suit une loi normale N (μ ; 2 ) alors E(X) = μ et V(X) = 2. «III» : Courbe représentative de la densité de probabilité de la loi normale N (μ ; 2 ) La densité de probabilité de la loi normale N (μ ; 2 ) a une expression similaire à celle de la loi normale centrée réduite. Cette densité de probabilité est définie par f (x)= 1 2 π e 1 2 ( x μ 2 ) La courbe est une courbe en cloche. (à ne pas retenir) La courbe représentative de la fonction densité de probabilité de la loi normale N(μ ; 2 ) admet la droite d'équation x = μ comme axe de symétrie. a une influence sur l'étalement de la courbe, plus est petit plus la courbe est haute et resserrée autour de son axe de symétrie 1 Lycée de Font Romeu SC
«IV» : Calculs de probabilités avec la loi normale N (μ ; 2 ). Si la variable aléatoire X suit une loi normale N ( μ ; 2 ) alors la calculatrice permet de calculer la probabilité d'un intervalle et de trouver le nombre a pour lequel p(x < a) est connu. Les calculs à la calculatrice sont exactement les mêmes que pour la loi normale centrée réduite à la différence près qu'il il faut rentrer les valeurs de μ et à la place de 0 et 1. Pour calculer p(x < a) ou p(x > a) on peut soit fixer une seconde borne (10 99 ou 10 99 ) soit utiliser les propriétés de la courbe Si a μ alors p(x < a) = - p( ]a ; μ[ et p(x > a) = + p( ]a ; μ[ Si a μ alors p(x < d) = + p( ]μ ; a[ et p(x > a) = - p( ]μ ; a)[ Exercice 02 La variable aléatoire X suit une loi normale N (200 ; 100) 1/ p(-20 < X < 180) p(x < 250) et p(x > 3500) 2/ Déterminer a et b tels que p(x < a ) = 0,3 et p(x > b) = 0,2 1/ p(-20 < X < 180) 0,023 p(x < 2500) 0,42 et p(x > -200) 0,945 2/ a 194,76 et si p(x > b) = 0,2 alors 1 p(x < b) = 0,2 alors p(x < b) =0,8 d'où b 208,42 Exercice 03 Une compagnie de transport possède 200 cars. La variable aléatoire X qui a un car choisi au hasard associe la distance journalière parcourue en km suit la loi normale N (80 ; 14 2 ). Quelle est la probabilité, à 10-3 près, qu'un car parcourt entre 70 et 100 km par jour? La probabilité qu'un car parcoure entre 70 et 100 km par jour est p(70 < X < 100) soit environ 0,6859. Exercice 04 La durée de vie en jours d'un certain type d'appareil est modélisée par une variable aléatoire normale de moyenne μ et d'écart type inconnus. Les spécifications indiquent que 80 % de la production des appareils a une durée de vie entre 120 et 200 jours et que 5 % de la production des appareils a une durée de vie inférieure à 120 jours. 1/ Utiliser la loi normale centrée réduite associée pour calculer et μ. 2/ Déterminer la probabilité d'avoir un appareil dont la durée de vie est comprise entre 200 et 230 jours 1/ Soit X la variable aléatoire qui donne la durée de vie de ce type d'appareil L'énoncé s'écrit p(120 < X < 200) = 0,8 et p(x < 120) = 0,05 Par des propriétés géométriques de la courbe, p(120 < X < 200) = p(x < 200) p(x < 120) Donc p(x < 200) p(x < 120) = 0,8 Ou p(x < 200) 0,05 = 0,8 car p(x < 120) = 0,05 Ou pour finir p(x < 200) = 0,85 p( X <120)=0,05 On a donc le système suivant { p ( X <200)=0,85 On ne connaît ni ni μ et on ne peut donc pas utiliser la calculatrice. On considère la variable aléatoire Z= X μ p(x < 120) = 0,05 s'écrit p(z < 120 μ )=0,05 et p(x < 220) = 0,85 s'écrit p(z < 200 μ On peut donc utiliser la calculatrice et utiliser la loi normale centrée réduite pour trouver 200 μ 120 μ 200 μ. On trouve 1,645 et 1,036 )=0,05 120 μ et 2 Lycée de Font Romeu SC
Ce qui donne le système { μ 1,645=120 μ+1,036 =200 On trouve en arrondissant μ 169 et 30 2/ Dans ces conditions p(200 < X < 230) 0,13 Exercice 05 La durée de vie d'une ampoule, mesurée en heures, est une variable D qui suit la loi normale N (μ ; 2 ). On a pu déterminer les probabilités p(d > 2000) = 0,9251 et p(d > 3000) = 0,8577 1/ Quelle est la loi de la variable aléatoire X = D μ? 2/ a) Déterminer un système vérifié par μ et. b) En déduire μ et. 3/ Déterminer alors p(d < 1000) et p(d > 5000) 1/X suit la loi normale centrée réduite. 2/ a) p(d > 2000) = 0,9251 s'écrit p ( D μ > )=0,9251 ou p( X > )=0,9251 p(d >3000) = 0,8577 s'écrit p( D μ > )=0,8577 ou p ( X > )=0,8577 Or avec la loi normale centrée réduite, on sait trouver et On cherche tel que p(x > ) = 0,9251 ou 1 - p(x < ) = 0,92 ou p(x < ) = 1 0,9251. On trouve o = 1,44 ou μ 1,44 =2000 On cherche tel que p(x > ) = 0,8577 ou 1 - p(x < ) = 0,8577 ou p(x < ) = 1 0,8577. On trouve = 1,07 ou μ 1,07 =3000 Ce qui donne le système suivant { μ 1,44=2000 μ 1,07=3000 qui a pour solution μ 5892 et 2703 3/ On en déduit p(d < 1000) = p([1000 ; 5892]) car 1000 < 5892 donc p(d < 1000) 0,04 et de même p(d > 5000) 0,63 Exercice 06 La production laitière annuelle en litres de toute vache laitière de la race FFPN peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X de la loi normale de moyenne μ = 6000 a) et d' écart type = 400. la fonction g désigne la fonction densité de la loi normale. 1/ Afin de gérer au plus près son quota laitier ( production maximale autorisée), en déterminant la taille optimale de sont troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaine probabilités. Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise : a) moins de 5800 litres par an b) entre 5900 et 6100 litres par an c) plus de 6250 litres par an 2/ Dans son futur troupeau, l'éleveur souhaite connaître certaine productions prévisibles. Calculer la production a) maximale prévisible des 30 % de vaches les moins productives du troupeau b) minimale prévisible des 20% de vaches les plus productives du troupeau 1/ a) p(x < 5800) = p([5800 ; 6000]) 0,19146 ou encore p(x < 5800) 0,309 b) p([5900 ; 6100]) 0,197 c) p(x > 6250) p(6250 < X < 10 99 ) 0,266 2/ a) On cherche a pour que p(x < a) 0,3 à la calculatrice on trouve a 5790 b) On cherche b tel que p(x > b) 0,2 et on trouve à la calculatrice b 6336 3 Lycée de Font Romeu SC
«V» : Valeurs à connaître Les résultats suivants sont utilisés dans de nombreux contextes et sont à connaître Si X suit une loi normale N (μ ; 2 ) alors : p (μ < X < μ + ) 0,683 Environ 68% des valeurs de X se trouvent entre μ et μ + Si X suit une loi normale N (μ ; 2 ) alors : p (μ 2 < X < μ + 2) 0,954 Environ 95% des valeurs de X se trouvent entre μ 2 et μ + 2 Si X suit une loi normale N (μ ; 2 ) alors : p (μ 3 < X < μ + 3) 0,997 Environ 99,7 % des valeurs de X se trouvent entre μ 3 et μ + 3 Exercice 07 le test pour évaluer le QI est le test de Wechsler. On appelle X la variable aléatoire qui à toute personne choisie au hasard associe son QI mesuré à l'aide de ce test et on admet quelle suit une loi normale N (100;225) 1/ En remarquent que 130 = μ + 2, déterminer sans calculatrice la probabilité arrondie au millième qu'une personne choisit au hasard ait un QI supérieur à 130 2/ Vérifier à la calculatrice. 1/ p (μ 2 < X < μ + 2) 0,954 ici p (70 < X < 130) 0,954 Par symétrie de la courbe autour de la droite d' équation x = 100, p (70 < X < 130)= 2p (100 < X < 130) Donc p (100 < X < 130) 0,477 Et par des considérations géométriques sur la courbe en cloche, p(x > 130) = - p (100 < X < 130) ou p(x > 130) 0,023 2/ A la calculatrice p(x > 130) 0,0228 «V» : Remarque, du discret au continu En pratique dès que n 30, n p 5 et n (1-p) 5, on peut approximer la loi binomiale B (n ; p) par la loi normale N (np ; np(1 - p)). On passe ainsi d'une distribution discrète à une distribution continue beaucoup plus souple 4 Lycée de Font Romeu SC
Exercice 08 Un fabricant souhaite lancer une nouvelle console de jeu pour Noël. Les études marketing montrent que parmi les 2000 joueurs de la région, 40% ont déclaré avoir l'intention d'acheter la console de jeu. 1/ Quelle est la loi suivie par X? 2/ En approximant la loi de la variable X par une loi normale dont on précisera les caractéristiques, déterminer le stock que doit avoir le magasin pour que la probabilité de rupture de stock soit inférieure à 0,1. 1/ X suit la loi binomiale B (2000, 0,4) 2/ La loi normale est la loi N (800 ; 480). On cherche p(x > a) = 0,1 soit 1 p(x < a) = 0,1 ou p(x < a) = 0, 9 On trouve a 828,1 Le stock doit être de environ 828 consoles pour que la probabilité de rupture de stock soit inférieure à 0,1. 5 Lycée de Font Romeu SC