Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 octobre 2005 1 Mise en équation Les problèmes apparaissent rarement sous une forme mathématique. Il faut alors transformer un énoncé en en système d équations ou d inéquations afin de trouver la solution au problème posé. En général, la mise en équation se fait en plusieurs étapes : 1. Vérifier que l on comprend le texte. 2. Choisir les inconnues (en général, les inconnues correspondent à qui est demand) 3. Traduire le texte par des écritures mathématiques. 4. Résoudre la ou les équations obtenues 5. Vérifier que le résultat est vraissemblable 6. Répondre à la question posée. Si le problème vous semble être de nature géométrique, ne pas hésiter à faire un schéma. Attention à ne pas aller trop vite à la conclusion : Exercice 1.1 Un téléphone portable et son étui coûtent ensemble 110. Le téléphone coûte 100 de plus que l étui. Quels sont les prix du téléphone et de l étui? Exercice 1.2 Un récipient rempli d eau a une masse de 720g. Le même récipient rempli d huile a une masse de 680g. Déterminer le volume V en cm 3 du récipient et sa masse vide m en gramme, sachant que la masse volumique de l eau est 1g.cm 3, la masse volumique de l huile est 0, 9g.cm 3. 1
Exercice 1.3 Un rectangle a un périmètre de 60cm. Si l on augmente la longueur de 5cm et que l on diminue la largeur de 2cm, son aire est inchangée. Calculer sa longeur et sa largeur. Exercices en vrac Exercice 1.4 Une épigramme grecque, publiée vers 369 dans L Abrégé de l Histoire Romaine d Eutrope, propose de calculer l âge de Diophante. Voici la traduction en alexandrins qu en donne Emile Fourrey dans ses Récréations mathématiques. Passant sous ce tombeau repose Diophante. Ces quelques vers tracés par une main savante Vont te faire connaître à quel âge il est mort. Des jours assez nombreux que lui compta le sort, Le sixième marqua le temps de son enfance ; Le douzième fut pris par son adolescence. Des septs parts de sa vie, une encore s écoula, Puis s étant marié, sa femme lui donna Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère, Reçut de jours hélas! deux fois moins que son père. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut. Dis, si tu sais compter, quel âge il mourut. Saurez-vous calculer l âge de Diophante? Exercice 1.5 L océan Atlantique fait la moitié du Pacifique. L Arctique fait le quart de l Atlantique. L Arctique et l Antarctique font ensemble les deux cinquièmes de l océan Indien, qui fait lui-même fait les neuf dixièmes de l Atlantique. Mais alors, combien faut-il d océans Antartique pour recouvrir tout le Pacifique? Exercice 1.6 Quand Timothée aura l âge qu a maintenant son père, alors sa soeur sera deux fois plus vieille. D autre part, l âge du père sera le double de l âge de Timothée quand sa soeur aura l âge actuel de son père. En outre, la somme de leurs âges est d un siècle. Mais quel âge a chacun? Exercice 1.7 A l élection présidentielle, chaque candidat a la moitié des voix du candidat qui le précède. Y aura-t-il un deuxième tour? 2
Exercice 1.8 Si j échange les chiffres de mon âge, j obtiens l âge de ma fille. Quand cette dernière est née, j avais entre 20 et 30 ans. Mais combien exactement? Exercice 1.9 J ai deux fois l âge que vous aviez quand j avais l âge que vous avez. Quand vous aurez l âge que j ai, ensemble, nous aurons 63 ans. Mais quels sont nos âges? Exercice 1.10 Quand tu es né Erwan, j avais vingt-quatre ans. Mais aujourd hui, j ai deux fois l âge que tu avais, quand j avais l áge que tu as, c est-á-dire... 3
2 Solutions des exercices Solution 1.1 Soit x le prix de l {etui. Le prix du téléphone est donc x + 100 et le prix du téléphone et de son étui est de 2x+100 = 110 ce qui nous donne x = 5. L étui coute 5 euros, et le téléphone 105. Solution 1.2 On doit résoudre { 720 = V + m 680 = 0, 9V + m On en déduit V = 400cm 3 et m = 320g. Solution 1.3 On doit résoudre { 2(L + l) = 60 (L + 5)(l 2) = Ll On en déduit l = 10 et L = 20. Solution 1.4 Soit x l âge de Diophante. On a x + x + x + 5 + x + 4 = x, ce 6 12 7 2 qui se résoud en x = 84. Solution 1.5 L indien fait les 9 du Pacifique, et donc Arctique et Antarctique 20 ensemble font 18 = 9 du Pacifique. Mais Arctique seul fait 1 1 = 1 du 100 50 4 2 8 Pacifique. L Antarctique fait donc 9 1 = 11 200 du Pacifique. Il faut donc, 50 8 200 11 soit un peu plus de 18, océans de la taille de l Antarctique pour recouvrir tout le Pacifique. Solution 1.6 On notera x,y,z les âges respectifs de Timothée, de sa soeur, et de son père. La première équation est x + y + z = 100 (somme des âges égale un siècle). Analysons les autres phrases : Quand Timothée aura l âge qu a maintenant son père (l âge de Timothée sera donc z = x+(z x), donc l âge de la soeur sera y +(z x), celui du père sera z + (z x) ) alors sa soeur sera deux fois plus vieille - on a donc y + (z x) = 2y, c est-à-dire quex + y z = 0 (et donc z = 50). Quand sa soeur aura l âge actuel de son père (donc l âge de la soeur sera y + (z y), celui de Timothée sera x + z y, celui du père sera 2z y), l âge du père sera le double de celui de Timothée, et donc : 2z y = 2(x + z y), soit 2x = y. 4
On résoud le système, en ayant déjà remarqué que z = 50, et : y = 50 x, soit 100 = 3x, soit x = 50 100, et donc y =. 3 3 Solution 1.7 si x est le pourcentage de voix du premier candidat, et s il y a n candidats, alors on a x + x + x +... + x = 100. Soit en factorisant par 2 4 2 n 1 x : x(1 + 1 + 1 +... + 1 ) = 100. Or, d après le calcul de la somme des n 2 4 2 n 1 premiers termes d une suite géométrique, on sait que : 1 + 1 +... + 1 < 2. 2 2 n 1 On obtient donc que x > 50. Le premier candidat est élu sans second tour. Solution 1.8 On note x le chiffre des dizaines de mon âge, et y le chiffre des unités. On sait que xy yx est compris entre 20 et 30, puisque cela correspond à la différence des 2 âges. Or, on vérifie que xy yx = 10x + y 10y x = 9 (x y) est donc un multiple de 9. J avais donc 27 ans le jour de la naissance de ma fille. Solution 1.9 En posant x mon âge, et y le votre, et en procédant comme dans l exercice précédent, on trouve que 3x y = 63 et 3x 4y = 0, ce qui donne x = 28 et y = 21. Solution 1.10 Soit x l âge d Erwan (actuellement). Mon âge est x + 24. Il y a 24 ans, j avais x ans, et l âge d Erwan était x 24. Comme mon âge actuel est le double de celui d Erwan à l époque, on a : x + 24 = 2(x 24). On en déduit que x = 72 : Erwan a 72 ans, et moi 96... 5