Atelier «son» Séance 2

R IO 2 0 0 9-2 0 1 0 Animateur : Guy PANNETIER Atelier «son» Séance 2 A) 1. Rappels Mathématiques En physique, les hommes ont été confrontés à des nombres très grands ou très petits difficiles à décrire avec la notation classique,par exemple: Constante de Planck: H=0,000000000000000000000000000000000662608 Nombre d Avogadro (nombre d atomes dans 12g de carbone 12: Na= 602200000000000000000000 Année-lumière: Al= 9 460528000000000 mètres L utilisation de préfixes multiplicateurs (déca, hecto, kilo, méga, giga, téra, etc ), de même que l utilisation de préfixes diviseurs: déci, centi, milli, micro, nano, pico,etc.. trouvent très vite leurs limites et ne rendent pas plus faciles l appréciation des grandeurs surtout lorsqu elles doivent être multipliées ou divisées. 1

A) 1 Rappels Mathématiques A ) 1.1 Tout d abord, l élévation à la puissance La notation scientifique a apporté un grand confort pour la manipulation des nombres très grands ou très petits. Elle nécessite au préalable la connaissance des nombres élevés à une puissance. On ne verra ici que les exposants appartenant à l ensemble des «entiers»; l extension à l ensemble des réels demanderait un long développement mathématique qui risque de rebuter. Aussi nous ne démontrerons pas les «logarithmes», nous ne seront que les utilisateurs de leurs propriétés A) 1.1.1 Les puissances positives On a inventé l élévation à la puissance, très pratique lorsqu on multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même. On introduit un autre nombre, appelé «exposant», marqué en hauteur par rapport au premier nombre. L exposant indique le nombre de fois où le nombre est multiplié par lui- même. Dans les exemples qui suivent les exposants ont été notés en rouge. Exemple: De même : 3 2 = 3 x 3 = 9 se lit 3 au carré 5 3 = 5 x 5 x 5= 125 se lit 5 au cube 2 3 = 2 x 2 x 2= 8 se lit 2 puissance 3 2 7 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 Cas particuliers: 7 1 = 7 Elever un nombre à la puissance 1, c est le nombre lui-même. 8 0 = 1 Un nombre, non nul, quel qu il soit, à la puissance 0, est égal à 1 2

A) 1. Rappels Mathématiques A) 1. 1. 2. L élévation à la puissance, les exposants négatifs Nous avons vu le cas des exposants positifs, mais il existe également des exposants négatifs. La règle ressemble beaucoup à celle des exposants positifs, seulement le nombre obtenu se place au dénominateur d une fraction dont le numérateur est 1. Dans les exemples qui suivent les exposants ont été notés en rouge. Exemple: De même: 5-3 = 3-2 = 1 3 2 = 1 1 5 x 5 x 5 = 1 = 5 3 125 1 3 x 3 = 1 9 2-3 = 1 1 2 x 2 x 2 = 1 = 2 3 8 2-7 = 1 2 7 = 1 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1 128 Et bien sûr: 7-1 = 1 7 3

A) Rappels Mathématiques A.1.1.3 L élévation à la puissance, Multiplication et Division Nous allons, maintenant, manipuler, des nombres identiques avec des exposants différents. Multiplication Elle s obtient facilement en additionnant les exposants, positif(s) ou négatif(s). Exemple1: 5 3 x 5 2 = (5 x 5 x 5) x (5 x 5) = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 5 3+2 = 5 5 5 3 5 2 Exemple 2: 1 3 5 x 3-2 = (3 x 3 x 3 x 3 x 3) x = 3 x 3 (3 x 3 x 3 x 3 x 3) 3 x 3 3 5 3-2 = 3 x 3 x 3= 3 5+(-2) = 3 3-2 = 3 3 Etc 4

A) Rappels Mathématiques A) 1.1. 3 L élévation à la puissance, Multiplication et Division Division Elle s obtient facilement en soustrayant les exposants, positif(s) ou négatif(s). Le premier terme de la soustraction est l exposant du dividende, le second terme de la soustraction ( la quantité à déduire) est l exposant du diviseur. Exemple1: 5 3 5 2 = 5 3 (5 x 5 x 5) (5 x 5) = 5 = 5 3-2 = 5 1 Exemple2: 5 2 7 2 7 2 7-3 = (7 x 7) 1 (7 x 7 x 7) = (7 x 7 )x (7 x 7 x 7) = 7 2-(- 3) = 7 2+3 = 7 5 7-3 5

A) Rappels Mathématiques A.1.1.4. Considérons maintenant les puissances de 10, appliquons ce que nous avons vu, précédemment, sur les propriétés des puissances Pour les exposants égaux ou supérieurs à 1, on peut écrire: 10 0 = 1 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 10 4 = 10 000 10 5 = 100 000 10 6 = 1 000 000 etc 4 zéros 6 zéros En fait, l exposant indique le nombre de zéro(s) après le 1. Pour les nombres inférieurs à 1, on peut écrire: 10-1 = 1/10 1 = 1/10 = 0,1 10-2 = 1/10 2 =1/100 = 0,01 10-3 = 1/10 3 = 1/1000 = 0,001 10-4 = 1/10 4 =1/10 000 = 0,000 1 10-5 = 1/10 5 = 1/100 000 = 0,000 01 10-6 = 1/10 6 = 1/1000 000 = 0,000 001 Le signe indique que le nombre est placé au dénominateur, l exposant indique le nombre de chiffres après la virgule. 6

A) 1 Rappels Mathématiques A) 1.2 La notation scientifique La notation scientifique est très simple et très efficace, elle consiste à écrire un nombre quelconque sous forme d un produit de 2 nombres. - Le premier comporte un seul chiffre ( compris entre 1 et 9) devant la virgule, le nombre de décimales est fonction de la précision souhaitée. - Le deuxième est une puissance de 10. Exemple 1: N1 = 257 = 2.57*100= 2,57* 10 2 Exemple 2: N1 = 12500 = 1,25*10 000= 1,25* 10 4 3,68 3,68 Exemple 3: N1 = 0,368 = = 10 10 1 5,72 Exemple 4: N1 = 0,0000572 = 100 000 = 3.68* 10-1 5,72 = = 5,72* 10-5 10 5 Grâce à la notation scientifique, on peut écrire: Constante de Planck: h=0,000000000000000000000000000000000662608 = 6,62608. 10-34 Nombre d Avogadro Na= 602200000000000000000000 = 6,022. 10 23 Année-lumière: Al= 9460528000000000 mètres = 9,46025. 10 15 Le symbole de la multiplication «x» est souvent remplacé par un point «.» ou par l astérisque «*». 7

B) Décibels B) 1 Décibel Définition C est une unité récente, inventée en 1923-1924, par les usines Bell, en hommage à Alexander Graham Bell pour ses travaux sur la téléphonie. L unité créée s appelle le bel, sa dixième partie est le décibel; de même le décilitre est la 10 ème partie d un litre. 1 bel = 10 décibels Contrairement, au litre, qui représente un volume, au mètre qui représente une longueur, le bel ne représente rien, il s agit d un rapport entre 2 grandeurs identiques (puissance). C est donc un nombre pur, sans dimension. Il en est de même pour son sous-multiple: le décibel. Originellement, le bel a été inventé pour décrire le son en fonction de la sensibilité de l oreille. La facilité que cette nouvelle unité procure pour calculer des bilans d amplification et d atténuation l a fait adopter dans bien d autres domaines: acoustique, physique, électronique, transmission, etc Bien que le bel soit un nombre pur, un nombre sans dimension, il faut toujours avoir présent qu il s agit d un rapport de puissance, l oublier et l utiliser pour d autres grandeurs peut conduire à des erreurs. 8

B) 2 Décibel - Principe Lorsque nous avons vu les propriétés des puissances de 10, nous avons vu une propriété intéressante : pour multiplier deux puissances de 10 entre elles, il suffit d additionner leurs exposants, pour les diviser il suffit de soustraire les exposants. Les mathématiciens ont inventé une transformation qui offre des propriétés identiques avec, non seulement le nombre 10, mais avec n importe quel nombre positif. Une telle merveille, qui transforme de douloureuses multiplications en simples additions de même pour les pénibles divisions en simple soustractions, ne pouvait passer inaperçue des physiciens qui se la sont appropriée et qui ont même eu l audace de la rebaptiser «décibel». Notre but ici, n est pas de démontrer comment on les obtient (ces précieux décibels), mais d apprendre à s en servir efficacement. Après tout, beaucoup de personnes ignorent complètement les règles de fabrication d une voiture, mais savent parfaitement les conduire; il arrive même que certaines ne puissent plus s en passer Cette transformation va nous faire passer du monde des nombres «classiques» où l on connait le rôle des opérateurs habituels, au monde des décibels (qui sont aussi des nombres) et dans lequel les opérateurs que nous connaissons n ont plus les mêmes comportements. A chaque nombre positif correspond un équivalent et un seul dans l univers des décibels. De même à une valeur dans l univers «décibel», correspond un nombre unique dans notre univers «classique». 9

B) 3 Décibel Ce qu il faut absolument retenir B) 3.1 Les propriétés: opérateurs équivalents Décibels Nombre «classique» A a B b A + B a. b A - B a b B) 3.2 Les repères indispensables 0 db = 1 3 db = 2 10 db = 10! ATTENTION! PAGE IMPORTANTE 10

B) 3 Décibel Exemples 1 Décibel Naturel Littéral Valeur Valeur Littéral A 10 10 a B 3 2 b A+B 13 20 a.b A 3 2 a B 3 2 b A+B 6 4 a.b A 10 10 a B 3 2 b A-B 7 5 a b A 6 4 a B 3 2 b A+B 9 8 a.b 11

B) 3 Décibel Exemples 2 (les puissances de 10) Décibel Naturel Littéral Valeur Valeur Littéral A 20 100 a B 10 10 b A+B 30 1000 a.b A 30 1000 a B 10 10 b A+B 40 10 000 a.b A 40 10 000 a B 10 10 b A-B 50 100 000 a b A 50 100 000 A B 10 10 B A+B 60 1 000 000 a.b Dans cette page, on peut remarquer que le chiffre des dizaines chez les «décibels» correspond au nombre de zéros chez les «naturels». 12

B) 3 Décibel Exemples 3 (les décibels < 0 ) Décibel Naturel Littéral Valeur Valeur Littéral A 0 1 a B 10 10 b A-B -10 1/10=10-1 a b A 0 1 a B 30 1000 b A-B -30 10-3 a b A 0 1 a B 40 10 000 b A-B -40 10-4 a b A 20 100 a B 60 1 000 000 b A-B -40 10-4 a b 13

B) 3 Décibel Exemples 3 (élévation à la puissance) Décibel Naturel Littéral Valeur Valeur Littéral A 13 20 a B 13 20 b A+B=2A 26 4.10 2 a.b= a 2 A 13 2.10 1 a B (=2A) 26 4.10 2 b (=a 2 ) A+B=3A 39 8.10 3 a.b=a 3 A 13 20 a B 39 8.10 3 b(=a 3 ) A+B=4A 52 1,6.10 4 a.b = a 4 A 13 20 a B 52 1,6.10 4 b (=a 4 ) A+B=5A 65 3,2.10 5 a.b = a 5 Dans ces exemples on peut remarquer que le multiplier les décibels par un nombre N revient à élever à la puissance N le nombre «naturel». 14

B) 3 Décibel Exercices (trouver la valeur du?) Décibel Naturel Littéral Valeur Valeur Littéral A 3 2 a B? 10 b A+B? 20 a.b A 33 2 000 a B 3? b A-B 30? a b A 7 5 a B 3? b A-B?? a b A 10 10 a 6.A??? A 13 20 a 3.A??? 15

B) 4 Décibel Les pièges à éviter On va rencontrer des définitions différentes du décibel, en voici 3 fréquemment rencontrées: I) X= 10 log (P 1 /P r ) si P représente une puissance (en Watts) II) X= 20 log (p 1 /p r ) III) X= 20 log (V 1 /V r ) si p représente une pression) si V représente une tension Seule la I) correspond à la définition «canonique» du décibel parce qu elle représente un rapport de puissance, mais les deux autres ne sont pas fausses.. En effet, elles concernent des rapports de grandeurs qui ne sont pas des puissances. Tout d abord un petit rappel sur ce qu est une puissance: En mécanique on définit a) Une force : effort pour maintenir un ressort tendu b) Un travail: produit d une force par un déplacement c) Une puissance: travail en une seconde En électricité on définit a) Volts: différence de potentiel b) Ampère: intensité du courant électrique c) Puissance (watts) P = U.I Si l on se rappelle la loi d Ω : U=R.I, on peut écrire : P=U.I = R.I 2 = U 2 /R 16

B) 4 Décibel Les pièges à éviter Explications: (pour ceux qui souhaitent approfondir) II) X= 20 log (p 1 /p r ) si p représente une pression En fait,la puissance peut s exprimer en fonction de la pression par la formule: P= p 2 /ρc avec P (puissance), p (pression), ρ (masse volumique), C (célérité) Donc P/Pr = p 2 /ρ r 2 = (p/p r )² Passons au log : log(p/p r ) = log(p/p r )² Or nous savons que log(a²) = 2 log(a) On peut donc écrire : log(p/p r ) = 2 log(p/p r ) Passons au décibel db = 10 log(p/p r ) = 10(2 log(p/p r ))= 20.log(p/p r ) III) X= 20 log (V 1 /P r ) si V représente une tension De la même manière, la puissance peut s exprimer en fonction de la tension par la formule: P = U²/R avec P (puissance), U (tension), R (résistance) Donc P/P r = U 2 /U r 2 = (U/U r )² Passons au log: log(p/p r ) = log(u/u r )² Or nous savons que log(a²) = 2 log(a) On peut donc écrire : log(p/p r ) = 2 log(u/u r ) Passons au décibel db = 10 log(p/p r ) = 10(2 log(p/p r ))= 20.log(U/U r ) 17

B) 4 Décibel Les pièges à éviter Ne pas utiliser les db lorsque l on veut faire une simple addition Nous verrons, par la suite, qu une puissance sonore peut s exprimer en décibels (par rapport à une puissance de référence qui est le seuil d audibilité de notre oreille). Attention: il existe des cas où les puissances s additionnent et l addition chez les décibels correspond à autre chose qu une addition dans le monde des «naturels». Exemple: Une trompette donne une intensité sonore de 90dB, quelle est l intensité fournie par 2 trompettes? Les intensités sonores vont s ajouter, dans le cas présent l intensité sonore résultante va être multipliée par 2. Donc la bonne réponse est: 90dB + 3 db = 93 db Et surtout pas: 90dB + 90 db (ce qui voudrait dire que 2 trompettes font 1 milliard de fois plus de bruit qu une seule!) Imaginons que nous avons maintenant 4 trompettes, nous aurions alors 4 fois plus d intensité sonore, donc: 90dB + 6dB= 96 db Si, maintenant, nous avons 5 trompettes, nous aurions alors 5 fois plus d intensité sonore, donc: 90dB + 7dB= 97 db Etc 18

C) Son Un son est une sensation auditive produit par une onde acoustique. Cette onde est générée par une vibration (cordes vocales, HP, etc ). La vibration va créer un déplacement de particules, dans le milieu de Propagation, autour d une position d équilibre. Le son ne se propage pas dans le vide. La chute d une pierre dans une eau calme, permet de visualiser les vibrations à la surface et leur propagation. Le son au lieu de se propager sur un plan, se propage sous forme de sphères concentriques. 19

C) Son 1 2 3 On imagine que notre oiseau est une source acoustique parfaite, isotrope. Isotrope = mêmes propriétés dans toutes les directions. Donc propagation en ligne droite. Toute l énergie de son chant se retrouve sur la surface de la sphère 1, puis ensuite de la sphère 2, puis ensuite de la sphère 3 et ainsi de suite En fait, le front d onde sonore va produire une surpression locale suivie d une dépression. Cette variation de pression (surpression-dépression) est transformée par notre oreille en sensation auditive. 20

C) 1 Son: loi d atténuation L intensité P du chant de l oiseau, se trouve toute entière sur la surface de la sphère 1, de rayon R 1 (cette intensité s exprimera en Watts/m²). 2 Démonstration: surface de la sphère 1 est : S1 = 4πR 1 Si P est la puissance du chant de notre oiseau, l intensité par unité de surface est: P I 1 = 2 4πR 1 Peu de temps après, toute l intensité P du chant de l oiseau se retrouve sur la surface de la sphère 2, de rayon R 2. De la même manière que pour I1, on calcule l intensité I 2 : I 2 = P 4πR 2 2 Déterminons le rapport K entre ces 2 intensités (I 1 et I 2 ) P I2 K = = I1 4πR 2 2 P = R 1 2 R 2 2 4πR 1 2 21

C) 1 Son: loi d atténuation Posons R 1 = 1 (en général les intensités sont spécifiées à 1 mètre) et R 2 = d, d= distance, en mètres, de l endroit où l on veut calculer l atténuation de l intensité sonore, on obtient: K = facteur d atténuation Cette formule d atténuation du son est également applicable pour calculer l atténuation des champs électromagnétiques. Cas pratique: d = 2 (reviens à doubler la distance) alors K = 1/4 soit -6 db On peut l énoncer de la manière suivante: Chaque fois que l on double la distance on perd 6dB! ATTENTION! PAGE IMPORTANTE 22

C) 2 Son: Exercice sur loi d atténuation Sur ma tondeuse, il est indiqué: niveau sonore 100dB à 1m. Quel est le niveau perçu dans la maison, à 64 m, lorsque la fenêtre est ouverte? Quel est le niveau perçu, en fermant la fenêtre, sachant que celle-ci a un facteur d atténuation de 30 db? À 64 m j ai divisé 6 fois la distance par 2, j ai donc une atténuation d espace de 6 x 6 = 36 db (à 2m, 6 db; à 4m 6+6 db = 12 db; à 8m, 12 +6 db = 18 db; à 16m, 18+6=24 db; à 32 m, 24+6=30 db; enfin à 64m, 30+6=36 db). Dans la maison, fenêtre ouverte, le niveau sonore de la tondeuse moins la perte d espace, soit 100dB 36 db = 64 db. correspondant à un environnement bruyant. Avec la fenêtre fermée on bénéficie de l isolation de celle-ci en plus, le niveau sonore devient: 100 36 30 = 34 db Correspondant à un environnement calme. 23

C) 3 Son: Correspondance puissance acoustique - db En acoustique, on utilise les db SPL (Sound Pressure Level). Il représente le rapport de puissance entre le niveau mesuré et une référence. Ce niveau de référence (dit 0 db spl) est la plus petite intensité sonore que notre oreille puisse détecter. C est une valeur universelle. Pression acoustique (Pascal) Puissance acoustique (W/m²) db SPL 0,000 020 0,000 000 000 001 0 0,000 063 0,000 000 000 01 10 0,000 20 0,000 000 000 1 20 0,000 63 0,000 000 001 30 0,002 0,000 000 01 40 0,006 3 0,000 000 1 50 0,020 0,000 001 60 0,063 0,000 01 70 0,20 0,000 1 80 0,63 0,001 90 2,0 0,01 100 6,3 0,1 110 20 1 120 63 10 130 ATTENTION! La pression acoustique n est pas une puissance. Elle est multipliée par 10 pour 20 db 24

C) 4 Son: Echelle d intensité: vie courante Ressenti db SPL Description Oppressant 0 Silence absolu: uniquement en chambre sourde 10 Désert 20 Chuchotement Calme 30 Conversion à voix basse 40 Réfrigérateur 50 Lave-vaisselle Animé 60 Lave-linge Bruyant 70 Téléviseur, Aspirateur (65 db 84 db) 80 Aboiement 90 Tondeuse à gazon, Klaxon Pénible 100 Tondeuse autoportée, chaîne Hi-Fi 110 Discothèque Douloureux 120 Avion 130 Course automobile, avion au décollage 25

C) 4 Son: Echelle d intensité : instruments de musique Instrument db Triangle 99 Clarinette 99 Cor 99 Flûte 99 Contrebasse 104 Saxophone (basse) 106 Trompette 107 Piano 108 Grosse caisse (mini) 113 Grosse caisse (maxi) 126 Trombone 120 Cymbales ( à 37,5 Cm) 122 Petit tambour 123 Orgue 123 Petit orchestre (15 exécutants) 121 Grand orchestre (75 exécutants) 130 26

Annexes Documents : Table de décibel : http://pagesperso-orange.fr/f6crp/dwn/biblio/conversion_db.pdf Décibel : http://fr.wikipedia.org/wiki/d%c3%a9cibel Animations : Propagation d'une onde plane http://www.ostralo.net/3_animations/swf/onde_sonore_plane.swf Analyse temporelle et spectrale http://www.falstad.com/ripple/ http://www.falstad.com/mathphysics.html http://paws.kettering.edu/~drussell/demos.html 27

Amusons-nous avec les décibels.. Question 1 : Un téléviseur délivre 75 db SPL à 1m, quelle intensité sonore reçoit le spectateur situé à 4m? Question 2 : Un orchestre en plein air sonorise un bal. A 50 m, un sonomètre relève des pics à 95 db SPL ; qu aurait-il indiqué s il avait été placé à 1m de l orchestre? Question 3 : L orchestre en plein air, du 14 Juillet, fournit une intensité sonore de 126 db SPL à 1m. On considère qu une personne peut trouver son sommeil dans une chambre où l intensité sonore ne dépasse pas 40 db SPL.. A 200 m de là, se situe une maison, les habitants peuvent-ils dormir la fenêtre ouverte? S ils ferment la fenêtre, qui apporte une isolation de 35 db, pourront-ils trouver le sommeil? Mêmes questions pour les habitants d une maison située à 1km On suppose que la fenêtre de la chambre est dans la direction de l orchestre et qu il n y a pas d obstacle entre la fenêtre et l orchestre. Les réponses sont simples à trouver, il n est pas besoin d avoir une calculette ou une table de logarithme. Un minimum de calcul mental suffit. 28