Le calcul algébrique de la 6 e àla 2 nde (1 e partie)

Bibliographie et sites «Repères» N 34 IRE «Les débuts de l algèbre au collège» INRP A. Pressiat article «Une structure multidimensionnelle en algèbre élémentaire. Conception, exploitation et perspectives» B.Grugeon équipe DIDIREM Université de Paris 7 le document d accompagnement «du numérique au littéral» http://maths.creteil.iufm.fr http://pepite.univ-lemans.fr 2

Introduction «Le calcul algébrique est un outil. Pour quoi faire? L idéal serait que cet outil n apparaisse pas comme un carcan rigide ne servant à rien d autre qu à s enrichir lui-même et fonctionnant à vide, mais au contraire comme un moyen de simplifier les problèmes. Bref que cet outil soit construit comme réponse à des classes de problèmes». Groupe de travail IREM 3

Introduction: un peu d histoire mot "équation" : apparu en 1740 dans le dictionnaire. Jusqu'au XVIe siècle : "res" ou "cosa" pour désigner l'inconnue d'une équation. Usage des lettres pour les équations : XVIe siècle par Viète (conseiller d'henri IV ) : il désigna les inconnues par des voyelles. Descartes au XVIIe s utilisa la fin de l'alphabet z, y, x... pour désigner les inconnues, et le début de l'alphabet ( a ; b ; c... ) pour les données. x : initiale de «xay»,mot espagnol, déformation de «chay» signifiant «chose» en arabe. 4

SOMMAIRE I Les différents usages de la lettre II Les différents statuts du signe = III Les programmes en très bref de la 6 e àla 2 nde IV Les exercices proposés en algèbre V Etude d exercices de manuels 5

I Les différents usages de la lettre Doc d accompagnement «du numérique au littéral» janvier 2006 6

Les différents usages de la lettre statut de lettre-étiquette Lettre unité de mesure ou lettre-objet 12 m : 12 mètres, 12 motos Peut désigner un objet géométrique (point, segment ) statut de variable Désignation d'un nombre dans une formule (c'est-à-dire décrivant un calcul numérique à faire) : formule de périmètre ou d'aire, calcul de la valeur d'une expression Ces lettres ne subissent aucun traitement (situation de communication) 7

Les différents usages de la lettre statut d indéterminée : Montrer l équivalence entre deux formules statut d inconnue : Résolution d équations statut de paramètre : Désignation d'une quantité (physique) pour exprimer dans un modèle donné une relation avec une autre quantité. ex : - prix à payer p et quantité x d essence. - loi d ohm en physiques 8

II Les différents statuts du signe = Doc d accompagnement «du numérique au littéral» janvier 2006 9

Le signe «égal» de l école au collège De nombreuses recherches montrent que les élèves développent, au cours de leur apprentissage de l arithmétique au primaire, une certaine conception du signe = à gauche du signe = : calculs à effectuer àdroite: résultat de ces calculs collège : appropriation d'une syntaxe nouvelle et un nouvel usage de certains symboles déjà connus comme les symboles opératoires, le signe d égalité, les parenthèses. 10

Les différents statuts du signe = A l école primaire : annoncer d un résultat : 8 + 13 = 21 communiquer de la décomposition d un nombre signifier que deux écritures représentent un même nombre Au collège : deux expressions d un même objet mathématique pour traduire une identité : k(a-b)=ka-kb dans l écriture d une équation comme symbole d affectation ( calculer a +2b pour a = 1 et b=0,7) b a a+ b a + = 2 2 11

La lettre et le signe = (2x + 3)(x 2) = 2x 2 x 6 : pour tout nombre x, la valeur du 1 er membre et la valeur du 2 e membre sont les mêmes x comme variable ( nombre qui peut prendre n importe quelles valeurs). équation : 2x + 3 = 5x, le signe = ne sépare pas deux expressions égales pour tout x. x comme inconnue dont on cherche à déterminer les valeurs possibles. Les élèves doivent comprendre que parmi toutes les valeurs que peut prendre x seules quelques-unes rendent cette phrase vraie. 12

III - Les programmes en très bref de la 6 ème à la 2nde Voir tableau synoptique page 7 document accompagnement 13

Introduction: les objectifs du calcul littéral au collège Le calcul littéral comme moyens d expression et de résolution de problèmes, au côté du calcul numérique, des figures, des représentations graphiques. Installer progressivement l habitude de recourir au calcul littéral : en 6 e et 5 e : initiation à l usage des lettres, dans des situations où leur utilité peut être reconnue par les élèves (élaboration et utilisation de formules) ; en 4 e et 3 e : initiation à la résolution de problèmes par des méthodes algébriques liées souvent à l utilisation de fonctions. 14

Les introductions des programmes Intro : assimiler progressivement le langage algébrique et son emploi pour résoudre des problèmes ( en particulier distinguer égalité, identité et équation) 5 e : initier les élèves au calcul littéral : priorités opératoires, développement, mise en équation et résolution. 15

Les introductions des programmes 4e : Pour le calcul littéral, l un des objectifs visés est qu il prenne sa place dans les moyens d expression des élèves, à côté de la langue usuelle, de l emploi des nombres ou des représentations graphiques. C est en développant notamment des activités où le calcul littéral présente du sens et où il reste simple à effectuer que l on amène l élève à recourir à l écriture algébrique quand elle est pertinente 3 e : compléter les bases du calcul littéral et en conforter le sens, notamment par le recours à des équation ou des inéquations du 1 er degré pour résoudre des problèmes. 16

Introduction : les objectifs du calcul littéral en 2 nde progresser dans la maîtrise du calcul algébrique, sans recherche de technicité, toujours dans la perspective de résolution de problèmes ou de démonstration. Comme la géométrie, les activités de calcul doivent être l occasion de développer le raisonnement et l activité de démonstration. On exploitera les possibilités offertes par le tableur[ ] Le calcul numérique et le calcul algébrique ne doivent pas constituer un chapitre de révision systématique, mais se retrouvent au travers des différents chapitres. En particulier, ils seront traités en relation étroite avec l étude des fonctions. 17

En sixième : variable 6ème Appliquer une formule Initiation à la résolution (sans lettres) Addition et multiplication «àtrous» 18

En cinquième : indéterminée 5ème Priorités Utilisation et écriture d expressions littérales Distributivité simple Initiation à la résolution (lettre) Division à trous Tests d égalité (x et y) Tests d inégalité 19

En quatrième : inconnue 4ème Réduction Développement Double distributivité Valeur d une expression littérale Résolution de problèmes par mise en équation, premier degré Ordre et opérations 20

En troisième : paramètre 3ème Développement Factorisations puissances Identités remarquables Equations produits Système deux équations deux inconnues Interprétation graphique Equations et Inéquation du premier degré Représentation graphique des solutions 21

En seconde 2nde Reconnaître des formes d expressions Choisir, modifier.. Identifier des fonctions à partir d une formule Équation premier degré Résolution graphique de f(x)=g(x) Inéquation premier degré Tableau de signes Résolution graphique de f(x)<g(x) 22

Un 1 er travail sur le calcul algébrique 3 e /2 nde Enseignants de 3 e : Que vous semble-t-il important de savoir pour la 2 nde? Qu est-ce qui, selon vous, est moins essentiel? Enseignants de 2 nde : Quel pré-requis pensez-vous qu ont des élèves de fin de 3 e? Qu est-ce qui vous semble important de savoir pour la 2 nde? lien 23

IV Les exercices proposés en algèbre 24

Caractérisation des problèmes algébriques Apprentissage de l algèbre ne se limite pas aux traitement d expressions algébriques; aux transformations d expressions C est aussi : Résoudre des problèmes où l algèbre intervient comme outil pertinent : produire des expressions algébriques pour traduire un problème, les interpréter et mobiliser les outils algébriques adaptés à sa résolution. 25

Utiliser l outil algébrique pour généraliser (Ex : montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3). comme outil de preuve pour produire une formule, exprimer une relation entre variable (modélisation d une situation) pour résoudre des problèmes mathématiques ou non 26

A propos des situations de calcul algébrique «On pense à un nombre, on le multiplie par 5 et on ajoute 3 au résultat. On obtient alors : 48. À quel nombre a-t-on pensé?» «La somme de trois nombres entiers consécutifs est égale à 345. Quels sont ces trois nombres?» Des classiques pertinents? 27

A propos des situations de calcul algébrique Stratégie naturelle de l'élève : partir du résultat et inverser les opérations pour récupérer le nombre de départ. Un autre choix possible : «On pense un nombre. Si on ajoute 1 à ce nombre et si on multiplie le résultat par 5, on trouve le même résultat qu'en ajoutant 21 au double de ce nombre. À quel nombre a-t-on pensé?» 28

Exemple 1 en 6 e Pour avoir accès à la piscine, il faut payer un abonnement annuel de 40 et chaque entrée au tarif de 0,50. 1 ) Calculer le prix payé par une personne pour : a) 2 entrées b) 4 entrées c) 10 entrées 2 ) Voici une formule : P = 40 + (0,5 x n ) a) Que représentent n et P pour cette situation? b) Utiliser cette formule dans le cas d une personne qui fréquente la piscine 2 fois par semaine durant l année. Transmath 6 e 29

Exemple 2 en 6 e Transmath 6 e 30

V Etude d exercices de manuels 33

Étude de la pertinence des exercices dans les manuels Sur un niveau donné : Repérer les différents types d exercices sur le calcul algébrique. Choisir deux ou trois exercices peu pertinents et expliquer pourquoi. Un exercice sur lequel une utilisation du tableur est pertinente. Choisir deux ou trois exercices que vous donneriez - à quel moment de l année? - avec quels objectifs et pré-requis? 34