Devoir 9 - Le 1er décembre - 4 heures Le barème est sur 70 points dont 2 points pour la présentation Les questions Q13, Q14, Q17, Q33 et Q34 peuvent être laissées de coté dans un premier temps. Calculatrice autorisée AI Mise au point A Prise de vue et projection Q1 (1pt) - = ½ = ½ ¼ ¼ = ½ ÑÑ ¼ ¼ Q2 (2pt) - Quelle est l expression du grandissement en fonction de et, puis en fonction de et? Vérifier que = ½½¼ = = ½ = ½½¼ ½ AII Photographie d une figure d interférences Q3 (1.5pt) - L interféromètre étant réglé en coin d air, les interférences se forment sur le miroir. Q4 (1pt) - Après repliage, on observe un plan de symétrie pour l ensemble source-miroirs. Il n a a par contre pas d invariance par rotation selon l axe optique de la lentille. Les figures ne peuvent donc pas être des anneaux. Q5 (3pt) - Au niveau des miroirs, la différence de marche en un point È d abscisse Ü par rapport au coin d air a pour expression Æ= Ü=Ô ¼. Pour la longueur d onde moyenne, l interfrange sera donc =Ü Ô+½ Ü Ô = ¼ Au niveau de l écran, on observera donc une interfrange Ä= = ¼ AN : Ä= ½¼ ÑÑ Q6 (1.5pt) - On observera donc Æ= = franges Ä Q7 (3pt) - Vu la largeur spectrale de la source, il peut exister un phénomène de brouillage. On note Ô ¼ l ordre d interférence associé à ¼ et Ô ½ celui associé à ÑÜ = ¼ + Les franges seront contrastées au niveau des miroirs tant que Ô< ½, soit : Æ( ½ ½ )< ½ ¼ ½ ½ Soit Æ= Ô ¼ < ( ½ ½ ) ¼ ½ AN : Ô ÑÜ =, ce qui correspond à 51 franges visibles. On observera donc le brouillage à la marge. Q8 (0.5pt) - Il s agit de la largeur d un pixel Æ 1
Q9 (1.5pt) - La fréquence spatiale d échantillonnage est Ù = Æ = ½¼ Ñ ½, la fréquence spatiale du phénomène d interférence Ù= ½ Ä = ¼ ½¼ Ñ ½ Le critère de Shannon Ù > Ù est donc bien respecté. Q10 (3pt) - 1 def periode ( I,X) 2 t a i l l e=len ( I ) 3 max=[] 4 for i in range (1,N 1) : 5 i f I [ i 1]< I [ i ] and I [ i +1]<I [ i ] : 6 max. append(x[ i ] ) 7 taille_max=len (max) 8 i f taille_max<=1: 9 periode=0 10 e l se : 11 periode=(max[ 1] max [ 0 ] ) /( taille_max 1) 12 return periode AIII Projection au vidéo projecteur Q11 (0.5pt) - Il s agit du plan focal de la lentille Q12 (1.5pt) - Voir cours Q13 (2pt) - L onde transmise s écrit alors sous la forme : Ø = ½ (Ø ½ ÇÈ) + (Ø ÇÈ) + (Ø ÇÈ), Avec Ò«½ = Ó «; ¼ =, Ò«= Ó «¼ ¼ ¼ (Ø+ On obtient donc Ø = ½ Ü È Ò«) + (Ø) + et ÇÈ= Q14 (2pt) - On utilise la définition du coefficient Ø(Ü) : Ø = Ø(Ü) = ½+ Par identification, on trouve que Ò«= ¼ et ½= = Q15 (2pt) - Ü Ô ¼ ¼ (Ø Ü È Ò«) Ü. + Ü Ë ¼ Dans le plan de Fourier, l intensité est proportionnelle au carré des coefficients de Fourier associés à l objet diffractant. Un position Ü sur l écran correspond à un rayon arrivant sour une incidence «Ü dans les conditions de Gauss. On aura donc Ü= ¼ Á(Ü) ¼ Ü Q16 (0.5pt) - Les filtres doivent avoir de l effet sur les fréquences spatiales associées à l objet. Il faut donc les placer dans le plan de Fourier. 2
Q17 (3pt) - Filtre 1 : Il ne va pas modifier les coefficients de spectre dans le plan de Fourier. Il n a donc aucun effet. Filtre 2 : Il va supprimer les fréquences spatiales Ù= ±½ transparence. Il va donc supprimer les franges rectilignes. associées aux variations sinusoïdales de la Filtre 3 : Il va supprimer la fréquence spatiale nulle associée à un éclairement uniforme. Il va donc renforcer le contraste des franges. B-1 Champ crée par une surface infinie B Stabilisateur d image Q18 (2pt) - Tout plan orthogonal au plan Ç et contenant le point Å est plan de symétrie pour la distribution. Le champ en Å sera donc colinéaire à l ensemble de ces plans, donc à l axe Ç = (Ü Ý Þ) Ü La distribution est invariante par toute translation du point Å selon les axes Ç et Ç = (Ü) Ü Q19 (3pt) - Choix de la surface de Gauss : cylindre de surface Ë et d axe Ç dont l une des bases est à l abscisse Ü, l autre à Ü avec Ü>¼ ØÓØ = Ü + ÐØ + +Ü or par symétrie Ü = Ü= (Ü)Ë. De plus ÐØ = ¼ car Ë en tout point de cette surface. La surface de Gauss renferme une charge É ÒØ = Ë L application du théorème de Gauss donne (Ü)= ¼ Par symétrie, (Ü)= pour Ü<¼ ¼ pour Ü>¼ BI Capacité d un condensateur plan Q20 (0.5pt) - On considère les plaques infinies. Q21 (2pt) - Les densités surfaciques de charges au niveau des plaques sont égales à =± É Ë On exploite le principe de superposition entre les deux plaques du condensateur, ce qui amène à : = Ü ¼ Q22 (3pt) - Le potentiel est défini tel que = ÖÎ= Î Ü Ü On a donc entre les deux plaques : Î+ Î Î=+ ¼ Ü Soit Í= Î + Î = ¼ = É Ë ¼ Par identification à la relation Í= É ¼Ë, on en déduit = 3
BII Accéléromètre à masse sismique Q23 (1.5pt) - Le PFD projeté selon l axe Ç s écrit à l équilibre : Ñ+ (Ð Õ Ð ¼ )=¼ Ce qui donne Ð Õ = Ð ¼ + Ñ Q24 (3pt) - On exprime tout d abord la force de rappel du ressort. Son expression générale est =±(Ð Ð ¼ ) Þ La longueur peut s exprimer en fonction de Þ : Ð=Ð Õ Þ Alors =±(Ð Õ Þ Ð ¼ ) Þ Si Þ devient trop grand, le ressort va se comprimer, la force exercée devra alors être opposée à Þ : =+(ÐÕ Þ Ð ¼ ) Þ Le PFD projeté selon Ç donne donc : Ñ[ĐÞ+ ¼ Ó ( ¼ Ø)]=(Ð Õ Þ Ð ¼ ) Ñ Þ Comme Ð Õ = Ð ¼ + Ñ, il reste : = Ñ Þ+ Ñ Þ+ĐÞ= ¼Ó ( ¼ Ø) Q25 (2pt) - On souhaite donc que le rapport ¼ reste quasi indépendant de. On s aperçoit que la valeur É= ½ nous permettra le mieux d obtenir ce résultat, jusqu à des pulsations d environ ¼. Q26 (2pt) - Pour une position quelconque : = Ë ¼ ¼ + Þ = Ë ¼ ¼ (½+ Þ ¼ ) Donc ¼ (½ Þ ¼ ) On a donc =½ et = ½ ¼ C Télémétrie laser Les appareils photo à réglage automatique sont munis de détecteurs de distance afin d effectuer la mise au point. Différents systèmes de détections existent, l un d entre eux est le télémètre laser. Cette partie va se baser sur une analyse documentaire présentant : CI Document 1 : Modulation en fréquence d un laser Document 2 : Principe de télémètre par modulation en fréquence Modulation en fréquence d un laser Cette partie peut faire appel à l analyse du document 1. Q27 (3pt) - On suppose l indice du milieu entre les deux miroirs est assimilé à celui du vide. Déterminer l expression de la fréquence Ô associée au mode Ô dans cette cavité. Déterminer le mode Ô associé à la fréquence ¼ du laser. Discuter de la valeur numérique obtenue. Ô = Ô Ä Ú ½ 4
Ô= ¼Ä Ú =. Ce nombre devrait être un entier. Les valeurs de Ä Ú ou ¼ ne nous sont pas fournies avec assez de précision. Q28 (1pt) - Lorsque le terme "Longueur Ä variable" est utilisé dans le document 1, quel terme aurait du être employé à la place de "Longueur"? On ne modifie pas la longueur, mais l indice. On joue donc sur le chemin optique et non sur la longueur. Q29 (1pt) - Déterminer l expression de Æ, la différence des fréquences entre deux modes Ô et Ô+½. Effectuer l application numérique. Æ= Ô+½ Ô = Ä Ú = ½¼ ½¼ ÀÞ Q30 (1.5pt) - Afin d obtenir un laser monomode, quelle condition sur la bande passante en fréquence du milieu amplificateur, notée È, doit-on vérifier? Le milieu amplificateur ne doit pas amplifier plus d un mode. On doit donc avoir È< Æ Q31 (1.5pt) - On note l amplitude de modulation de la fréquence laser. Quelle relation doit-on vérifier entre et È? Le milieu amplificateur doit pouvoir amplifier le faisceau laser quelque soit sa fréquence dont l amplitude de variation en. On doit donc avoir È> Q32 (1.5pt) - On note[ä Ú ] le chemin optique correspondant à un aller-retour dans la cavité. Justifier que Ô = Ô [Ä Ú ]. Q33 (3pt) - On considère maintenant l indice Ò = ½+ Ò sur la longueur Ä. L indice sur la longueur Ä ½ est toujours assimilé à celui du vide. La variation Ò permet d obtenir une variation de la fréquence du mode Ô. On suppose Ô << ½ et [Ä Ú] [Ä Ú ] Ô = Ô [Ä Ú ] donc Ô= Ô [Ä Ú ] [Ä Ú] On en déduit que Ô = Ô [Ä Ú ] [Ä Ú] Or [Ä Ú ]=(Ò ½) Ä Ú et[ä Ú ]=Ä Ú, donc : Ô Ô = [Ä Ú ] ÒÄ Ú = Ô Ò << ½. On considère de plus que Ä = Ä Ú. Relier Ò et. Q34 (1pt) - Déterminer la valeur de Ò correspondant au passage d un mode au mode suivant. CII Retard de phase au niveau du récepteur Cette partie peut faire appel à l analyse du document 2. Q35 (2pt) - La différence de marche entre les deux rayons arrivant au récepteur est Æ= ( ¼ ). De plus = Cela correspond à un déphasage (Ø)= ( ¼) Q36 (1.5pt) - Les deux ondes interfèrent au niveau du récepteur. On exploite donc la formule de Fresnel. Á= Á ¼ [½+Ó Ø(Ø)] Q37 (1pt) - On exploite la relation proposée, ce qui donne = ¼ + Q38 (1.5pt) - Ñ = ½¼ ½ Ñ 5
Annexe : Documents Document 1 : Modulation en fréquence d un laser Le micro laser YAG peut être modulé en fréquence. La fréquence de la lumière émise par ce laser a alors pour expression : = ¼ + (Ø) Afin d obtenir cette modulation, la cavité laser est constituée : Matériau Modulation laser D une première cavité de longueur Ä ½ constante formée par le matériau à gain. Son indice assimilé à celui du vide. D une seconde cavité constituée d un matériau électro-optique permettant d obtenir une longueur Ä variable en fonction de la tension (Ø) de fréquence Ñ appliquée à ses bornes. Faisceau de pompe =¼ ÒÑ Miroir d entrée Miroir de sortie Faisceau laser ¼ = ½¼ ÒÑ Matériau électro-optique L ensemble constitue une cavité Pérot Fabry ou Fabry Pérot : il s agit d un oscillateur ou résonateur optique. Pour le laser puce, elle est constituée du miroir d entrée et du miroir de sortie ( figure 4 ) en regard l un de l autre, distants de Ä Ú avec Ä Ú = ½¼ ÑÑ. Ces deux miroirs sont plans et parallèles. Ils sont partiellement réfléchissants (Ö> ±) mais aussi partiellement transparents, occasionnant des pertes. On considère cette cavité comme un oscillateur car les photons envoyés à l intérieur par le miroir d entrée vont effectuer des allers et retours entre les deux miroirs. À cause des pertes une partie des photons sortiront à chaque passage sur les miroirs. Ces pertes vont produire le faisceau laser. En réalité, sous l action du champ électrique, on va modifier l indice de réfraction du matériau électro-optique par l effet Pockel et, par le fait du couplage, modifier la longueur de la cavité Pérot Fabry du laser. Dans le cas d une détection cohérente, il est important d avoir un émetteur laser monomode longitudinal transverse avec une grande pureté spectrale. Document 2 : Télémétrie laser par modulation de fréquence La fréquence d un micro-laser accordable varie avec une fréquence Ñ entre ¼ et ¼ + La fréquence moyenne de ce laser est ¼ = ½¼ ½ ÀÞ. La pureté spectrale de ce laser lui confèrera une longueur de cohérence suffisamment importante pour pouvoir effectuer des mesures de distances importantes. La distance entre la première lame séparatrice et le miroir supérieur est ¼ = ½¼ Ñ La lumière cohérente émise par le micro-laser est divisée par un séparateur de faisceau en deux parties : l une est transmise vers la cible, où elle est rétro-diffusée par la cible. On considère ici la cible fixe, de sorte que l onde rétro-diffusée conserve la même fréquence. la seconde est renvoyée vers le détecteur. Le récepteur détecte l intensité due à l interférence des deux ondes précédemment citées. Cette intensité varie en temps, en raison de la différence de trajet entre la cible et l émetteur. Le traitement des signaux issus du récepteur d une part et du signal modulant d autre part permet d obtenir en sortie un signal périodique de fréquence = ( ¼ ) Ñ 6