FICHE PÉDAGOGIQUE Ski de fond (adapté de CAMI : www.umoncton.ca/cami) Marco et sa famille font une randonnée en ski de fond qui dure 3 jours dans un parc près de leur région. Le premier jour, ils ont parcouru le premier tiers du sentier. Lors de la 2 e journée, ils ont parcouru cinq huitièmes du reste du sentier. Finalement, au début de la dernière journée, Marco encourage les autres membres de sa famille en disant qu il ne reste que 15 km à parcourir. Quelle est la distance totale du sentier de ski? 1. INFORMATION PERTINENTE SUR LE PROBLÈME Pistes d exploitation du problème avec les élèves a) Liens avec la vie de tous les jours L énoncé du problème présente un contexte familier pour l élève (du moins, pour le Nouveau-Brunswick, une province canadienne où cette activité est souvent pratiquée par la population). Toutefois, cet habillage «cache» une structure purement mathématique qui fait appel aux fractions (nombres rationnels). En fait, on ne se pose pas ce type de questions (concernant les fractions) dans la «vraie vie». b) Contextes dans lesquels les contenus touchés peuvent être utilisés Le contenu du problème peut ainsi être utilisé avec d autres types d habillage (exemple, avec les pommes, lorsque quelqu un en mange une fraction le premier jour, une fraction du reste le deuxième jour et il lui reste à la fin un certain nombre de pommes). c) Site Internet qui présente de l information supplémentaire Autre que les fractions, le contexte mathématique du problème permet de travailler une stratégie de résolution particulière nommée «travailler à l envers». On peut introduire cette stratégie de façon plus simple, en utilisant les nombres entiers. Un exemple est présenté sur le site du CAMI : http://www.apprendrepourlavie.com/acadiepedia/2015/09/24/nouveau-probleme-camicartes-de-hockey/
Il est possible de résoudre des problèmes de différentes façons. Dans la vidéo «Comment résoudre? Les conseils de George Polya», on présente une façon de faire plus générale pour résoudre des problèmes : http://www.lapasserelle.com/cours-enligne/4e_maths/conseils_polya/index.html Un autre site intéressant présente différentes stratégies de résolution de problèmes : http://www.recreomath.qc.ca/lex_strategie.htm d) Questions d objectivation Le problème est complexe et demande des habiletés cognitives de haut niveau. En fait, même si l élève a une expérience en modélisation algébrique, il peut traduire l énoncé de façon directe en une équation linéaire, mais cette dernière sera trop complexe et pourra poser des difficultés importantes lors de sa résolution. Ainsi, le recours à une stratégie de résolution à l envers pourrait être utile. Si cette façon de faire est inconnue aux élèves ou si les élèves n y pensent pas, une démarche didactique nuancée serait nécessaire pour guider les élèves sans leur donner une solution «toute prête». Engager les élèves dans une analyse de l énoncé, suivie d une représentation imagée (schématique) serait, en effet, une approche souhaitable. Ainsi, en début de la leçon, il serait intéressant de s assurer que tous les élèves comprennent l énoncé. Entre autres, on peut examiner la situation avec les élèves en leur posant de questions «générales» : Racontez l histoire dans vos propres mots. De quoi s agit-il? Avez-vous déjà fait du ski de fond? Quelle était la distance parcourue? D après vous, la distance était-elle longue ou courte? Pourquoi? En même temps, on peut voir, lors de la discussion si les élèves repèrent bien le sens mathématique du problème en y ressortant des éléments clés : longueur totale de la distance, une partie parcourue chaque jour et la partie restante pour la dernière journée. On peut, par exemple : - demander aux élèves s ils savent comment trouver la longueur totale d un segment si on sait quelle fraction représente sa partie. - suggérer aux élèves de représenter la situation par un dessin ou un schéma.
Lors de différentes étapes d exploration, on peut poser des questions de clarification aux élèves : Comment as-tu trouvé cette solution? Pourquoi cette solution est-elle correcte? Peux-tu trouver une autre solution? À la fin de la leçon, il serait intéressant et important d encourager les élèves à présenter leurs démarches et d avoir une discussion générale faisant le point sur les stratégies employées et sur d autres qui sont possibles (tout dépend du niveau scolaire et aussi des objectifs de l enseignant). 2. CONTENU D APPRENTISSAGE EN JEU Selon le niveau scolaire et les objectifs (résultats) d apprentissage visés, le problème peut mettre en valeur différents contenus : - Représentation d une fraction - Fraction d un nombre - Opérations sur les fractions (additions ou soustractions) De plus la possibilité d employer différentes stratégies contribue au développement d habiletés de résolution de problèmes incluant les méthodes heuristiques et d autres, plus «formelles» (comme la démarche à l envers). 3. SOLUTIONS POSSIBLES Le problème, ayant une seule solution plausible, peut mener les élèves à proposer différentes façons «non conventionnelles» de trouver la distance demandée. Il faut donc être bien ouvert à une diversité de démarches initiales (qui peuvent aussi être erronées). Pour résoudre ce problème de façon plus formelle, on peut représenter la distance totale à l aide, par exemple, d un segment de droite dont la longueur totale représente la distance totale parcourue.
Déjà, la vidéo qui anime l énoncé donne une piste de représentation : En observant ce schéma, on peut déduire, par exemple, que la distance parcourue dans les jours 2 et 3 représente 2/3 de la distance totale. Cette même distance, analysée de façon isolée, peut être divisée en 8 segments dont 5 représentent le jour 2 et 3 représentent le jour 3 donc 3/8 parcouru dans la journée 3 cette distance est égale à 15 km. Mais si 3/8 d un nombre est égal à 15, ce nombre serait (15 x 8)/3, donc 40 (km). En se rappelant que ceci représente 2/3 du total, on trouve la distance totale du parcours : (40 x 3)/2 = 60 (km) Ainsi, la distance totale est de 60 km. On peut vérifier la solution : 1/3 de 60 jour 1 20 km Reste : 40 km 5/8 du 40 est 25 km 40 km 25 km = 15 km jour 3. Réponse : La distance totale du sentier de ski est de 60 km. 4. DIFFÉRENCIATION a. Modification au problème pour les élèves qui éprouvent de la difficulté Modifications au problème initial - Simplifier l énoncé, par exemple en se limitant à 2 jours. - Utiliser des fractions plus simples (les demis et les quarts).
Indices Certains élèves peuvent éprouver des difficultés avec les fractions, même présentées de façon «directe» (par exemple, pour trouver 3/8 d un nombre). Même en les aidant à représenter le parcours sur un schéma, la tâche de trouver un nombre, alors qu on sait que le 3/8 de ce nombre est égal à 15, peut être difficile pour eux. On doit donc travailler ce type de tâche «simple» avec eux de façon isolée (à l aide des énoncés simples, comme trouver la distance totale si 1/3 est égal à 15 km, si 2/3 est égal à 15 km, si 3/8 est égal à 15 km, etc. en augmentant graduellement le niveau de la complexité des fractions. Travailler également le complément d une fraction à l unité (1-1/3 = 2/3; 1-5/8 = 3/8). Il est toujours important de visualiser les calculs ou utiliser le matériel de manipulation (par exemple, des réglettes). On peut donc modifier l énoncé initial en le simplifiant, par exemple, se limiter à 2 jours et utiliser les fractions plus simples les demis et les quarts. b. Prolongement du problème pour les élèves doués - Généralisation Il serait intéressant de demander aux élèves de résoudre ce problème avec un nombre différent de 15 (distance parcourue la 3 e journée) et voir si les élèves peuvent découvrir une généralisation importante : peu importe le nombre donné, le résultat peut être obtenu en multipliant ce nombre par 4. Explication : soit n le nombre de km parcourus dans la 3 e journée, on a que 8n/3 représente 2/3 du parcours total, donc la longueur totale de ce parcours serait : (8n/3) x (3/2) = 4n.