Chapitre 7 La prévision des ventes NRC - Gestion de clientèle - 1ère année Document Étudiant Jean-Alain LARREUR 1.0
Table des matières I - Les méthodes d'ajustement linéaire 3 1. La méthode des points extrêmes... 3 2. La méthode de Mayer ou de la double moyenne... 5 3. La méthode des moindres carrés... 6 II - La Corrélation 8 1. Le calcul du coefficient de corrélation... 8 2. Le coefficient de corrélation et la prévision... 10 Ressources annexes 13
Les méthodes d'ajustement linéaire Les méthodes d'ajustement linéaire I La méthode des points extrêmes 3 La méthode de Mayer ou de la double moyenne 5 La méthode des moindres carrés 6 Lorsqu'il existe une tendance dans l'évolution du chiffre d'affaires, les méthodes d'ajustement linéaire permettent de prévoir les ventes pour l'année ou les années suivantes. On utilise l'extrapolation linéaire, parce que l'on suppose une continuité dans l'avenir de la tendance linéaire ou du trend, en partant des données des années précédentes internes à l'entreprise, que fournit, par exemple, le service comptabilité. On ajuste ensuite l'évolution du chiffre d'affaires par une droite dont on calcule l'équation. Pour faciliter les calculs ultérieurs, il est pratique d'effectuer un changement de variable. Par exemple, nous prendrons x = 1 pour l'année N 5, x = 2 pour l'année N 4, jusqu'à x = 6 pour l'année N. 1. La méthode des points extrêmes La méthode des points extrêmes consiste à calculer l'équation de la droite d'ajustement qui passe par le premier point et le dernier point d'une série de coordonnées (x, y). Elle s'applique de préférence lorsque l'on constate que la variable, par exemple le chiffre d'affaires, augmente ou diminue de façon très régulière en fonction de l'autre variable, par exemple, le temps. Cette méthode est la plus simple à utiliser. 3
Les méthodes d'ajustement linéaire Exemple Graphique Points Extrêmes Ce graphique représentant l'évolution des ventes, les points sont bien alignés et une tendance linéaire à la hausse se dégage. Nous pouvons donc calculer l'équation de la droite qui passe par les points extrêmes. Pour simplifier les calculs, on utilisera ce tableau : Année 1 2 3 4 5 6 Chiffre d'affaires 120 180 300 510 660 750 Le premier point de la série a pour coordonnées (1 ; 120) et le dernier a pour coordonnées (6 ; 750). Nous allons donc pouvoir calculer l'équation de la droite passant par ces deux points. Cette équation a pour forme y = ax + b ; en remplaçant y et x par les coordonnées des deux points, on obtient donc : Pour résoudre ce système, nous allons soustraire la première équation à la deuxième, donc (2) (1). On obtient alors : 750 120 = a6 a1 + b b 630 = a5 a = 630/5 = 126. Pour trouver b, on remplace a par 126 dans la première équation : 120 = 126 1 + b b = 120 126 = 6. L'équation de la droite d'ajustement linéaire est : y = 126x 6. Pour trouver le chiffre d'affaires prévisionnel des ventes de foies gras de l'année N + 1, il suffit de remplacer x par 7. On obtient donc : y = (126 7) 6 = 882 6 = 876 K. Le chiffre d'affaires prévisionnel des ventes pour l'année N + 1 est de 876 K. 4
Les méthodes d'ajustement linéaire 2. La méthode de Mayer ou de la double moyenne La méthode de Mayer consiste à découper la série de données en deux sous-séries, ce qui permet de tenir compte de tous les points de la série. On calcule ensuite le point moyen de chaque sous-série avant de déterminer l'équation de la droite d'ajustement qui passe par ces deux points moyens. Méthode : Que faire en cas de nombre de points impairs Si la série comporte un nombre de points impairs, il est préférable de prendre un point de plus dans la deuxième sous-série pour augmenter son poids relatif, car elle est plus récente, donc plus représentative. Exemple Graphique Méthode Mayer Sur ce graphique représentant de nouveau l'évolution des ventes, nous remarquons que contrairement au graphique vu précédemment les points sont peu alignés, mais qu'une tendance ou un trend se dégage. La méthode de Mayer semble donc mieux appropriée que celle des points extrêmes, car elle utilise tous les points de la série. Si nous coupons la série en deux, la première sous-série comportera les points 1 à 3, et la deuxième sous-série, les points 4 à 6. Le premier point moyen de la première sous-série s'écrit (x1, y1 ) deuxième sous série (x2, y2). On calcule les valeurs des deux points moyens pour les deux sous-séries : et le point moyen de la Pour résoudre ce système, nous allons soustraire la première équation à la deuxième, donc (2) (1). On obtient alors : 773,33 446,66 = a 5 a 2 + b b 326,67 = 3a a = 326,67/3 = 108,89. 5
Les méthodes d'ajustement linéaire Pour trouver b, on remplace a par 108,89 dans la première équation : 446,66 = 108,89 2 + b b = 446,66 217,78 = 228,88. L'équation de la droite d'ajustement linéaire est : y = 108,89x + 228,88. Pour trouver le chiffre d'affaires prévisionnel de vente de l'année N + 1, il suffit de remplacer x par 7. On obtient donc : y = (108,89 7) + 228,88 = 991,11 K, soit 991 110. 3. La méthode des moindres carrés La méthode des moindres carrés permet de déterminer l'équation de la droite d'ajustement qui passe le plus près possible de l'ensemble des points de la série étudiée : il s'agit donc de la méthode la plus précise. C'est aussi la méthode la mieux appropriée lorsque les points sont peu alignés mais qu'une tendance se dégage. Cette droite a pour équation y = ax + b avec le coefficient directeur a de la droite, qui se calcule de la façon suivante : Remarque Pour déterminer b, on utilise le fait que le point moyen de la série appartient à cette droite. On peut donc écrire y = ax + b, ce qui permet de trouver b. Exemple Reprenons la série précédente La méthode des moindres carrés est la mieux appropriée lorsque les points sont peu alignés mais qu'un trend se dégage. On commence par réaliser le tableau suivant : Tableau de calcul de la méthode des moindres carrés x i y i (a) (b) XY X 2 1 350-2.50 (1-3.50) - 2 6 0 (350-610) 650 6.25 2 420-1.50-190 285 2.25 3 570-0.50-40 20 0.25 4 690 0.50 80 40 0.25 5 920 1.50 310 465 2.25 6 710 2.50 100 250 6.25 = 3.50 = 610 0 0 1710 (c) 17.50 (d) (a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (c) C'est la somme de la colonne XY, soit 6
Les méthodes d'ajustement linéaire (d) c'est la somme de le colonne X 2 soit On obtient donc : - p. 13 Par définition, comme la droite d'ajustement passe par le point moyen, on a donc : b = y ax, soit : b = 610 (97,71 3,5) = 268,02. L'équation de la droite d'ajustement s'écrit donc : y = 97,71x + 268,02. Pour trouver, le chiffre d'affaires prévisionnel de l'année N +1, il suffit de remplacer x par 7. On obtient donc : y = (97,71 7) + 268,02 = 951,99 K, soit 951 990. Selon les méthodes employées, on ne trouve pas le même résultat. Mais, puisque la droite des moindres carrés est celle qui passe le plus près des points de la série, c'est bien cette méthode qui est la plus précise. Il convient cependant de nuancer la précision de ces méthodes de calcul. En effet, la mercatique n'est pas une science exacte ; elle est en fait plus proche des sciences humaines. On peut ainsi réaliser des prévisions de vente, à court et moyen termes, fondées sur des études des acteurs du marché : étude d'intention d'achat, remontée d'informations des vendeurs, marché test, simulation assistée par ordinateur. 7
La Corrélation La Corrélation II Le calcul du coefficient de corrélation 8 Le coefficient de corrélation et la prévision 10 1. Le calcul du coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation mesure la dépendance qui existe entre deux variables. Cette dépendance existe lorsque les variables changent de valeur simultanément et avec une proportionnalité à peu près constante. Ce coefficient permet de déterminer le degré d'influence des variations de x sur les variations de y. Une corrélation importante permet de justifier l'utilisation de la méthode des moindres carrés pour réaliser des prévisions. Le coefficient de corrélation, noté r, est égal à la covariance mathématique des variables divisée par le produit des écarts types, soit : Pour calculer le coefficient de corrélation, on utilise le même tableau que pour la méthode des moindres carrés en ajoutant une colonne Y2 = (yi y)2. Pour que les prévisions obtenues par cette méthode soient mathématiquement justes, il faut que r soit compris entre 0,8 et 1 ou entre 0,8 et 1. Si r est proche de 1, la corrélation est forte ; si r est proche de 0, la corrélation est faible. Si deux variables ont une corrélation positive, elles évoluent dans le même sens : elles augmentent ou diminuent toutes les deux. Si deux variables ont une corrélation négative, elles évoluent en sens contraire : si l'une augmente, l'autre baisse et inversement. Exemple : Entreprise Henry Rollins Années N-5 N-4 N-3 N-2 N-1 N CA (en milliers d'euros) Nombre d'appels téléphoniques Nombre de visites 350 420 570 690 920 710 800 410 1500 225 310 900 700 850 1080 1360 1810 1390 Données statistiques sur les ventes du produit B Calculons le coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le nombre d'appels téléphoniques 8
La Corrélation Tableau de calcul du coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le nombre d'appels téléphoniques x i y i (a) (b) XY X 2 Y 2 800 350 1 0 9, 1 7 (800-690,93) -260 (350-610) -28 383,33 11 917,37 67 600 410 420-280.83-190 53 358,33 78 867,36 36 100 1500 570 809,17-40 -32 366,67 654 750,69 1 600 225 690-465.83 80-37 266.67 217 000,69 6 400 310 920-380.83 310-118 058,33 145 034.03 96 100 900 710 209.17 100 20 916,67 43 750 10 000 = 690,83 = 610 0 0-141800 (c) 1 1 5 1 320,83 (d) 2 1 7 800 (a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (c) C'est la somme de la colonne XY, soit (d) c'est la somme de le colonne X 2 soit - p. 13 Ce qui donne un coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le nombre d'appels téléphoniques de : r étant proche de zéro, on peut dire que le nombre d'appels téléphoniques a peu d'influence sur le chiffre d'affaires réalisé. Exemple : Entreprise Henry Rollins Calculons le coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le nombre de visites Tableau de calcul du coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le nombre de visites x i y i (a) (b) XY X 2 Y 2 700 350-4 9 8, 3 3 (700-1198,33) -260 (350-610) 129 566,67 248 336,11 67 600 850 420-348,33-190 66 183,33 121 336,11 36 100 1080 570-118,33-40 4 733,33 14 002,78 1 600 1360 690 161,67 80 12 933,33 26 136,11 6 400 1810 920 611,67 310 189 616,67 374 136,11 96 100 1390 710 191,67 100 19 166,67 36 736,11 10 000 = 1 198,33 = 610 0 0 422 200 (c) 820 683,33 (d) 2 1 7 800 (a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (c) C'est la somme de la colonne XY, soit (d) c'est la somme de le colonne X 2 soit - p. 13 9
La Corrélation Ce qui donne un coefficient de corrélation entre le chiffre d'affaires et le nombre de visites r étant très proche de 1, on peut dire que le nombre de visites a beaucoup d'influence sur le chiffre d'affaires réalisé. 2. Le coefficient de corrélation et la prévision Lorsque le coefficient de corrélation est proche de 1, la variable x dépend de la variable y ; mais le contraire est également vrai : la variable y dépend de la variable x. La méthode des moindres carrés permet de faire des prévisions et de fixer des objectifs. On peut donc mener une double analyse qui conduit à rechercher l'équation de deux droites de tendance appelées droites de régression. On détermine l'équation des deux droites de régression de la façon suivante Exemple : Entreprise Henry Rollins Calculons l'équation de la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés avec x = nombre de visites et y = le chiffre d'affaires. Tableau de calcul de la méthode des moindres carrés x (Visites) i y (C.A.) i (a) (b) XY X 2 700 350-498,33 (700-1 198,33) -260 (350-610) 129 566,67 248 336,11 850 420-348,33-190 66 183,33 121 336,11 1080 570-118,33-40 4 733,33 14 002,78 1360 690 161,67 80 12 933,33 26 136,11 1810 920 611,67 310 189 616,67 374 136,11 1390 710 191,67 100 19 166,67 36 736,11 = 1 198.33 = 610 0 0 422 200 (c) 820 683,33 (d) (a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (c) C'est la somme de la colonne XY, soit (d) c'est la somme de le colonne X 2 soit - p. 13 Pour calculer les coefficients de la droite de régression de y en x, on utilise les formules : Supposons un nombre de visites de 1 000. On peut calculer le chiffre d'affaires à réaliser, soit : 0,514 1 000 5,94 = 508,06 soit environ 508 K. M. Rollins peut ainsi estimer le chiffre d'affaires qu'il est possible d'attendre en fixant le nombre de visites de ses représentants à 1 000. Calculons maintenant l'équation de la droite de régression de x en y : 10
La Corrélation Tableau de calcul de la méthode des moindres carrés x i y i (a) (b) XY Y 2 700 350-498,33 (700-1 198,33) -260 (350-610) 129 566,67 67 600 850 420-348,33-190 66 183,33 36 100 1080 570-118,33-40 4 733,33 1 600 1360 690 161,67 80 12 933,33 6 400 1810 920 611,67 310 189 616,67 96 100 1390 710 191,67 100 19 166,67 10 000 = 1 198.33 = 610 0 0 422 200 (c) 217 800 (d) (a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (c) C'est la somme de la colonne XY, soit (d) c'est la somme de le colonne X 2 soit - p. 13 Pour calculer les coefficients de la droite de régression de x en y, on utilise les formules : M. Rollins peut donc fixer le nombre de visites que devront faire ses représentants pour atteindre un chiffre d'affaires de 2 000 K soit : x = 1,938 2 000 + 16,15 d'où x = 3 892,15. Méthode : Tableau à reproduire lors de l'étude de Cas Tableau de calcul de la méthode des moindres carrés x i y i (a) (b) XY X 2 Y 2 = = 0 0 (c) (d) (a) X se calcule en diminuant x de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (b) Y se calcule en diminuant y de chaque ligne du montant de la moyenne des x, soit (c) C'est la somme de la colonne XY, soit (d) c'est la somme de le colonne X 2 soit Remarque - p. 13 Il ne faut pas confondre corrélation et relation causale. Une bonne corrélation entre deux grandeurs peut révéler une relation de cause à effet entre elles (la chaleur de l'été, par exemple, a entraîné une augmentation des ventes de climatiseurs et de ventilateurs), mais pas nécessairement. La corrélation n'implique pas obligatoirement un lien de causalité, elle peut être due : 11
La Corrélation à une cause commune (c'est à dire une troisième variable non mesurée, et dont dépendent les deux autres) : Si on compare la durée de vie des individus à la quantité de médicaments pour le cœur qu'ils ont absorbée, on observera probablement une corrélation négative. Il serait imprudent de conclure que la prise de médicaments pour le cœur abrège la vie des individus (en fait, dans ce cas, la corrélation est l'indice d'une cause commune: la maladie de cœur). Le nombre de coups de soleil observés dans une station balnéaire, par exemple, peut être fortement corrélé au nombre de lunettes de soleil vendues ; mais aucun des deux phénomènes n'est probablement la cause de l'autre. à une relation due au hasard la réussite au BTS NRC et l'horoscope. L'existence d'une corrélation, aussi bonne soit elle, n'est jamais la preuve d'une relation de cause à effet. 12
Ressources annexes Ressources annexes > 13