Mécanique des Fluides - fluides parfaits 1 Mécanique des fluides parfaits 1. Pression: La pression est le rapport d une force sur une surface. Si on appuie avec la force F sur un piston enfermant du gaz, on exerce sur la système constitué par le gaz une pression: P= F/σ où σ est l aire de la surface du cylindre: V F section σ Cette pression extérieure a pour effet une diminution du volume du gaz jusqu à un équilibre. Cela signifie que le gaz développe lui aussi une pression équilibrant la pression externe. L origine de cette pression est à chercher dans l agitation moléculaire. Un capteur interne ou la paroi du cylindre sont soumis à une pluie incessante de chocs moléculaires.
Mécanique des Fluides - fluides parfaits 2 paroi ou surface du capteur zone d'interaction moléculaire Pour une surface élémentaire la pression est le rapport de la force exercée sur l'aire de la surface subissant la force: La force de pression statique est toujours normale à la surface.
Mécanique des Fluides - fluides parfaits 3 Le vecteur normal n est unitaire: n = 1 df = PndS df P = ; P Pa = N.m ds 2 Les pressions exercées sur une surface solide permettront de définir la résultante des forces subit par ce solide: F = σ PndS
Mécanique des Fluides - fluides parfaits 4 2. Equations gouvernant un fluide parfait: En effectuant le bilan des flux à travers un volume infiniment petit dv: la conservation de la masse conduit à l'équation de continuité: ρ + ρ v = 0 t où ρ est la masse volumique: ρ dm dv En cartésien, il vient: i i ρ ρv + = 0 t x
Mécanique des Fluides - fluides parfaits 5 En effectuant le bilan des forces s'exerçant sur une particule fluide, on obtient pour un fluide parfait (sans frottement interne ou viscosité) l'équation d'euler: v 1 + ( v ) v + P g = 0 t ρ En cartésien, il vient: v v k k + v + 1 P g = 0 i k t x ρ x i k 3. Statique des fluides: Pour un fluide au repos l'équation de continuité donne zéro et l'équation d'euler se simplifie sous la forme: 1 1 P g = 0 ou gradp g = 0 ρ ρ grad P = ρ g Cette équation gouverne un fluide (liquide ou gaz) au repos.
Mécanique des Fluides - fluides parfaits 6 4. Théorème d'archimède: Un corps plongé dans un fluide subit une force qui est la résultante des forces de pression. Pour évaluer cette force, utilisons l'équation de la statique et la définition de la résultante: F = σ PndS d'après la formule du gradient: σ PndS= gradpdv σ est la surface fermée bordant le domaine 3 F = grad P dv
Mécanique des Fluides - fluides parfaits 7 Avec l'équation de la statique: grad P = ρ g F = ρ g dv F = g ρ dv = g m fluide La résultante ou poussée d'archimède est une force opposée au poids du fluide déplacé: poids F = F = g m = A flu.dep flu.dep. F = A poids flu.dep. 5. Statique des liquides: Un liquide est un fluide considéré comme incompressible (eau: χ = 4.8. 10-10 m 2 / N). Dans un zone où le champ de pesanteur peut être considéré comme uniforme, l'intégration de l'équation de la statique des fluides: grad P = ρ g donne: P+ρ gz= cst =ρ 2 1 1 2 ou : P P g z z z étant l'altitude.
Mécanique des Fluides - fluides parfaits 8 6. Théorème de Bernoulli Le mouvement d'une particule fluide suit une ligne de courant. En régime permanent, l'équation de continuité conduit à la conservation de la masse sous la forme: v S = cst Lorsque le fluide est parfait (sans viscosité), en régime permanent, l'intégration de l'équation d'euler sur une ligne de courant fournit l'équation de Bernoulli: 1 2 P +ρ g z + ρ v 2 = cst Cette relation exprime la conservation de l'énergie mécanique.
Mécanique des Fluides - fluides parfaits 9 7. Conséquences du théorème de Bernoulli Théorème de Torricelli: Soit un réservoir muni d'un orifice de petite section à sa base, on montre que: v= 2gh Tube de Pitot : v= 2gh
Mécanique des Fluides - fluides parfaits 10 Phénomène de Venturi : P 2 2 S2 P = 2 1 2 S2 1 1 ρ v 1 Applications : la trompe à eau, le pulvérisateur... Effet Magnus
Mécanique des Fluides - fluides parfaits 11 Phénomène de cavitation Dans un écoulement de liquide si la vitesse augmente la pression diminue. Si cette dernière passe en dessous du seuil de vapeur saturante, il y a changement de phase avec formation de bulles de gaz. Les bulles formées par cavitation se déplacent. Arrivées dans des zones où la pression est plus forte, les bulles éclatent. Les chocs mécaniques qui suivent, consomment de l'énergie et détériorent les pièces solides (hélice ).