CH III) Puissance - Racine carrée I) Puissance dun nombre : La puissance n dun nombre a est le produit de n nombres égaux à a et se note a n. a n = a x a x a x a x x a a est écrit n fois J n est appelé lexposant du nombre a, n est un nombre entier. ) Carré dun nombre : Le carré dun nombre est le produit dun nombre par lui-même. a 2 = a x a Exemples : 3 2 = 3 x 3 = 9 (3 2 se lit 3 au carré) 7 2 = 7 x 7 = 49 (7 2 se lit 7 au carré) 2, 2 = 2, x 2, = 4,4 ( 2, 2 se lit 2, au carré) J Attention, lerreur que vous commettrez le plus souvent sera décrire 3 2 = 3 x 2, ce qui est faux!!! J A laide de la machine à calculer, on utilisera la touche x 2. Exercice : Calculer 2,7 2 = 5,3 2 = 2 = 2) Cube dun nombre : Le cube dun nombre est le produit de trois facteurs égaux à ce nombre. a 3 = a x a x a Exemples : 3 3 = 3 x 3 x 3 = 27 (3 3 se lit 3 au cube) 2, 3 = 2, x 2, x 2, = 9,26 ( 2, 3 se lit 2, au cube) J A laide de la machine à calculer, on utilise lune des touches suivantes (cela dépend de la machine) x y ; ^ ou # et on tape : 3, x y 3 = pour calculer 3, 3 3, ^ 3 = pour calculer 3, 3 3, # 3 = pour calculer 3, 3 Cours Puissance Racine carrée Page / 6
Exercice : Calculer 3.0 3 = 5.25 3 = 63 3 = 3) Puissance 4, 5 6 dun nombre : J On utilise «carré» et «cube» uniquement pour les valeurs 2 et 3 des puissances, pour les autres valeurs on utilisera lexpression «puissance» elle-même. Exemples : 5, 4 = 5, x 5, x 5, x 5, = 9,448 (5, 4 se lit 5, puissance 4) 8 7 = 2 097 52 (8 7 se lit 8 puissance 7) Cas particulier : Tout nombre à la puissance 0 équivaut à. 45 0 = 2 0 = 0,0025 0 = = II) Multiplication et division par certains multiples ou sous-multiples de ) Multiplication par ; 0 ; 00 ; Calculer : 2,23 x = ; 2,23 x 0 = ; 2,23 x 000 = 2,23 x 000 = ; 2,23 x 0 000 = J Pour multiplier par, 0 etc. on décale la virgule dautant de chiffres vers la droite quil y a de «zéro» dans, 0, 000 etc. Exercice : Sans utiliser de calculatrice, calculer : 25 x 000 = ; 0,09 x 0 000 = ; 4,5 x 000 = 2) Division par ; 0 ; 0 ; Calculer : 22,3 : = ; 22,3 : 0 = ; 22,3 : 000 = 22,3 : 000 = ; 22,3 : 0 000 = J Pour diviser par, 0 etc. on décale la virgule dautant de chiffres vers la gauche quil y a de «zéro» dans, 0, 000 etc. Exercice : Sans utiliser de calculatrice, calculer : 25,2 : 000 = ; 2 45,36 : 0 = ; 0,045 : = 245, : 000 = ; 45 : 000 000 = ; 3,25 : 0 = Cours Puissance Racine carrée Page 2 / 6
3) Multiplication par 0, ; 0,0 ; 0,00 Calculer : 22,3 x 0, = ; 22,3 x 0,0 = ; 22,3 x 0,00 = 22,3 x 0,000 = ;22,3 x 0,000 0 = J Pour multiplier par 0, ; 0,0 ; 0,00 cela revient à diviser par ; 0 ; 000. - Multiplier par 0, revient à diviser par - Multiplier par 0,0 revient à diviser par 0 etc. Exercice : Sans utiliser de calculatrice, calculer : 25,2 x 0,00 = ; 2 45,36 x 0,0 = ; 0,045 x 0, = 245, x 0,000 = ; 45 x 0,000 000 = ; 3,25 x 0,0 = 4) Division par 0, ; 0,0 ; 0,00 Calculer : 2,23 : 0, = ; 2,23 : 0,0 = ; 2,23 : 0,00 = 2,23 : 0,000 0 = ; 2,23 : 0,000 00 = J Pour diviser par 0, ; 0,0 ; 0,00 etc. cela revient à multiplier par ; 0 ; 000. - Diviser par 0, revient à multiplier par - Diviser par 0,0 revient à multiplier par 0 etc. 5) Exercice : sans utiliser la calculatrice, calculer : 2,23 : 000 = ; 78,236 x 0,000 = 78 987 x 0,000 00 = ; 0,000 2 x 0 000 = 0,002 5 : 0,00 = ; 456 25 x 0,00 = III) Puissances de : ) Puissances positives de : Exercice : Calculer : 0 = = 2 = 4 = 5 = J Pour écrire n, on écrit et autant de zéro que le nombre n. 2) Puissances négatives de : Exercice : Écrire sous forme décimale : - = = -2 = = 2 Cours Puissance Racine carrée Page 3 / 6
-3 = = -5 = 3 = 5 J Pour écrire -n, on écrit au n ième rang après la virgule. 3) Écriture sous la forme dune puissance de : Exemple : 6 700 = 6,7 x 000 = 6,7 x 3 = 6,7. 3 = 67 x 0 = 67 x 2 = 67. 2 0,067 = 6,7 x 0,0 = 6,7 x = 6,7 x 0 2 = 6,7 x -2 = 6,7. -2 = 67 x 0,00 = 67 x = 67 x 00 3 = 67 x -3 = 67. -3 J Tout nombre peut sécrire sous la forme dun autre nombre multiplié par un multiple de ou un sous multiple de. Le fait décrire ce nombre sous la forme dune puissance de se fera en déplaçant la virgule qui compose ce nombre. J Pour savoir si lexposant est positif ou négatif : si le nombre obtenu lorsque lon déplace la virgule est plus grand que le nombre initial, lexposant sera positif et négatif dans lautre cas. 6 700 = 6,7. 3 en effet 6,7 < 6 700 donc lexposant est positif (3) 0,067 = 6,7. -2 en effet 6,7 > 0,067 donc lexposant sera négatif (-2) Exercice : transformer les écritures suivantes en donnant les exposants : 3,256. 3 = 325,6. 45,23. 5 = 4,523. 0,023. 4 =,23. 7 896. -3 = 78,96. 6,73. 5 = 673. 0,639. -3 = 63,9. J Si le nombre obtenu lorsque lon déplace la virgule est plus grand, on diminue lexposant et inversement. 6 875,6. 3 = 6,875 6. 6 6,875 6 < 6 875,6 donc il faut augmenter lexposant. 0,02 23. 4 = 2,23. 2,23 > 0,02 23 donc il faut diminuer l exposant 4) Écriture scientifique dun nombre : Lécriture scientifique dun nombre est lécriture de ce nombre sous la forme a. n où a est un nombre qui sécrit avec un seul chiffre différent de zéro avant la virgule. Cours Puissance Racine carrée Page 4 / 6
Exemple : 0,067 = 6,7. -2 6 700 = 6,7. 3 Un seul chiffre différent de zéro avant la virgule. Exercice : Écrire sous forme scientifique. 740 = 2 630 000 = 0,023 = 0,009 85 = J Attention, certaines calculatrices afficheront 6,7-02 au lieu de 6,7. -2 IV) Racine carrée dun nombre : La racine carrée dun nombre a est un nombre qui élevé au carré donne a. On écrit a. Exemple : 4 = 2 car 2 2 = 4 9 = 3 car 3 2 = 9 8,0625 = 4,25 car 4,25 2 = 8,0625 J La racine carrée sobtient avec la touche de la machine. Exercice : Calculer 36 = 64 = 49 = 8 = Exercice : Calculer les racines carrées suivantes, on donnera le résultat à -2 prés par excès. 29 = 7 = 256 = 658 = V) Utilisation dun tableau de valeurs : n n 2 n 3 n n 2 n 5 25 25 2,236 n n 2 Cours Puissance Racine carrée Page 5 / 6
Exercice : A partir du tableau suivant, donner les valeurs de : n n 2 n 3 n 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 20 2 22 23 24 25 26 27 28 29 30 4 9 6 25 36 49 64 8 0 2 44 69 96 225 256 286 324 36 400 44 484 529 576 625 676 729 784 84 900 8 27 64 25 26 343 52 729 000 33 728 2 97 2 744 3 375 4 096 4 93 5 832 6 859 8 000 9 26 648 2 67 3 824 5 625 7 576 9 683 2 952 24 389 27 000,44,732 2,000 2,236 2,449 2,646* 2,828 3,000 3,62 3,37* 3,464* 3,606 3,742 3,873* 4,000 4,23 4,243* 4,359* 4,472 4,583* 4,690 4,796* 4,899* 5,000 5,0* 5,96 5,292* 5,385 5,477 * L'astérisque indique que le dernier chiffre est pris par excès. 30 2 = 84 = 5,96 2 = 29 3 = 96 = 7 3 = 3,873 2 = 24 2 = 30 = 4,899 2 = 25 3 = 529 = : Puissance - Racine carrée. (Des maths de niveau I sur logedu.com payant) Cours Puissance Racine carrée Page 6 / 6