Jean-Jacques Calmelet IEN de Marcq en Baroeul Mathématiques Nombre et calcul - Nombre, numération, dénombrement. - Faits numériques - Procédures - Techniques opératoires - Calculatrice 1
Distinguer dénombrement et calcul : ce n est pas un «saut» naturel GLASERSFELD L aperception globale est liée à une opération unifiantequi participe à la construction de l unité Les patrons figuraux (fingers stratégies) Le calcul n est pas une mentalisation du comptage. (vers 2/3ans, les «mots» des petites quantités indépendamment des dispositions spatiales, seraient liées à des patrons figuraux) Les «faits numériques» C est en mémoire Les procédures spécifiques de calcul mental C est un apprentissage progressif et structuré 2
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Du nombre à la numération 9
- Numération : des passages incontournables Situations d échanges (travail sur l écriture chiffrée du nombre) : «jeu du banquier» Situation de groupements (de très nombreux objets à dénombrer : des «paquets») Articulation groupements/échanges (nombre de dizaines ) : calcul ou numération? (carnets de 10 : 260 timbres, 238 timbres ) Point de vue algorithmique (écrit) Lien numération orale / numération de position (combien de chiffres, combien de mots?) Du dénombrement à la numération : On n abandonne pas facilement les connaissances qui ont fait leurs preuves 10
CP : du nombre à la numération 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 11
CP : du nombre à la numération 1 2 11 16 17 31 35 36 43 51 55 56 60 64 69 74 79 80 81 89 90 91 92 93 98 12
explorer les règles numération orale / chiffrée régularités / irrégularités du système o Enseigner la numération orale (au-delà de la dictée de nombres) Dictionnaire des nombres dès le CP Cartes des chiffres (combien )/ Cartes des mots (combien ) Ex. deux compteurs à faire fonctionner en parallèle 7 0 soixante dix 7 1?? Simuler un «compteur manuel» (cartes à changer pour écrire le prédécesseur, n+10, n+100) trois cent vingt Combien de chiffres / combien de mots (101 111 121 131 ) 13
p43 - matériel «groupements» / matériel «échanges» 1. Groupements (quantité dénombrement) o Bâtonnets et élastiques sachets transparents cubes, barres plaques 2. Echanges (numération - calcul) o Jetons de couleur / monochromes o Plaques identiques avec valeurs (monnaie) o Abaques o Bouliers chinois Pas de «dépendance» à unereprésentation, un matériel 14
Mémoriser les «faits numériques» 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + 7 1 + 8 1 + 9 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 3 + 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 + 7 4 + 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 + 5 4 + 6 5 + 1 5 + 2 5 + 3 5 + 4 5 + 5 15
Enseigner les tables! 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 = 30 2x 3 = 6 3 x 3 = 9 4x 3 = 12 5 x 3 = 15 6x 3 = 18 7 x 3 = 21 8x 3 = 24 9 x 3 = 27 10 x 3 = 30 Doubles : 2 x 3 = 6 4 x 3 = 12 8 x 3 = 24 10 x 3 = 30 20 x 3 = 60 Triples : 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 2 x 3 = 6 6 x 3 = 18 30 x 3 = 90 16
+ 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 5 6 7 8 9 10 11 3 5 6 7 8 9 10 11 12 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 7 8 9 10 11 12 13 14 6 8 9 10 11 12 13 14 15 7 9 10 11 12 13 14 15 16 8 10 11 12 13 14 15 16 17 9 11 12 13 14 15 16 17 18 17
+ 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 5 6 7 8 9 10 11 3 5 6 7 8 9 10 11 12 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 7 8 9 10 11 12 13 14 6 8 9 10 11 12 13 14 15 7 9 10 11 12 13 14 15 16 8 10 11 12 13 14 15 16 17 9 11 12 13 14 15 16 17 18 18
Exemple d un outil d élève : table en cours d apprentissage au CP ou CE1 (seul les résultats «résistants» apparaissent) + 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 5 6 7 8 9 10 11 3 5 6 7 8 9 10 11 12 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 7 8 9 10 11 12 13 14 6 8 9 10 11 12 13 14 15 7 9 10 11 12 13 14 15 16 8 10 11 12 13 14 15 16 17 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Interroger sur les tables (addition) : Alterner : Oral(sans écrit) Ecrit(sans oral) 6 + 7? + 7 = 13 et? + 6 = 13 13-6 et 13-7 13 -? = 7 et 13 -? = 6 Combien manque-t-il à 6 (ou 7) pour aller à 13 Complète 6 (ou 7) pour arriver à 13 Enseigner les analogies : 6 + 7 16 + 7 26 + 7 36 + 7 6 + 7 6 + 17 6 + 27 6 + 37 6 + 7 60 + 70 600 + 700 20
Interroger sur les tables (multiplication) : Alterner : Oral(sans écrit) Ecrit(sans oral) 2 x 7? x 7 = 14 et 2 x? = 14 14 : 2 (dès le CE1) et 14 : 7 En 14 combien de fois 2 (de fois 7) 20 x 7 2 x 70 140 : 2 Suite des nombres de en (croissante, décroissante) QCM 2 x 7 = 9? 14? 5? 21
Apprendre le calcul mental : des procédures Paradoxe de l automatisation : calculer 45 + 17 1 45 + 17 62 45+17 = 45+10+7=55+7=62 45+17 = 40+5+10+7=50+12=62 45+17 = 45+5+12=50+12=62 45+17 = 45+15+2=60+2=62 45+17 = 2+43+17=2+60=62 45+17 = 45+20-3=65-3=62 Quel automatisme? Connaissances mobilisées Coût en mémoire Coût en calcul?? Algorithme écrit = Algorithme mental «Poser dans sa tête» / apprendre des procédures spécifiques Calculer par la droite / calculer par la gauche Recours à un ensemble de procédures installées en mémoire Mobilisation quasi systématique d une seule procédure 22
Enseigner le calcul mental : Une semaine sur la procédure 1 Une semaine sur la procédure 2 ADAPTATION Une semaine où l élève a le choix de l utilisation 23
Une séquence d enseignement du calcul mental : exemple : complément à 100 semaine 1: automatiser le passage par la dizaine supérieure dans l'addition semaine 2: automatiser la décomposition dans la soustraction Semaine 3 : choix des procédures Consigne : calculer l écart entre 48 et 100 semaine 1 : Semaines 1 et 2 : une séance longue (on découvre, on repère, on formalise) ; trois séances courtes, on entraîne sous des formes variées Modélisation sous forme d écriture symbolique: 50 48 + 2 + 50= 100 semaine 2 : 100 48 = 100 40 8 soit 100 40 = 60 60 8 = 52 semaine 3 : choix entre une ou l autre des procédures On pourra montrer que : - la soustraction plus pratiques pour retirer des «petits nombres» -le complément (procédure additive) est plus indiqué avec les plus grands nombres 52 EDUSCOL : aide personnalisée CE1-mathématiques Étapes suivantes : Écart 90 / 129 Ecart 87 / 126 24
Aide personnalisée en mathématiques http://eduscol.education.fr/cid57169/articuler-aide-personnalisee-et-temps-declasse-en-mathematiques-en-ce1.html 25
JJC2 26
Diapositive 26 JJC2 CALCUL MENTAL: L'ajout et le retrait : même champ conceptuel Enlever peu / enlever bcp : incidence sur les représentations mentales et opérations mentales CALCUL POSE: La + et la - étudiées quasi simultanément On n'attend pas d'avoir maîtrisé l'une pour passer à l'autre! Les choix de techniques et de langue dans la technique de la soustraction (cycle 2 et 3) JJCalmelet; 23/11/2007
Repères pour le calcul mental D Butlen«Le nombre au cycle 2» Compléter à 10 à la dizaine supérieure Compléter à 100 à la centaine supérieure Trouver le complément quand il s agit de 10, multiples de 10, 100 Ajouter, retirer 10, 100 Calculer des additions en ligne Décomposition additive d un nombre Exprimer un nombre en faisant intervenir la dizaine ou centaine supérieure Compléter des égalités de type : 37 +18 = 47 + 27
Apprentissage de l approximation : Le calcul posé Différer le papier/crayon Techniques : retour à la numération (arrondi/ troncature) Ce que veut le maître 54 50 + 18 +20 70 Ce que fait l élève 54 + 18 72 70 28
Les techniques opératoires «Il est essentiel de fixer une technique de 4 1 3 calcul et de s y tenir durablement.» 5 4 13-1 8 7-1 1 8 1 7 Exemple : 3 5 6 5 14 13 3 5 6 Exemple : trois manières de poser 5 4 3 (543 187) - 1 1 8 1 7 3 5 6 trois manières de poser (543 187) 29
Quelques repères - rappels : Séances courtes / séance longue o Emploi du temps Reprises régulières o Entraînement : variété brassage Ecrits formalisés (procédures) Interrogations (orales/ écrites) o Ardoise ou cahier o Corrections? Mises en commun? Une technique opératoire durable 30
Des entiers au décimaux : RAPIDEMENT au CM1 : des fractions aux décimaux Situation de découverte sans lien avec les mesures Une rupture importante avec tous les apprentissages antérieurs DEBUT DU CM2 : tout le travail du calcul se reprend avec les décimaux On ne diffère pas en attendant que les naturels soient «acquis»(?) La notion : la densité Les écritures : 6,23 = 6 + 0,2 + 0,03 ou 6,23 = 6 + 2/10 + 3/100 = 6 + 23/100 31
Des entiers aux décimaux CONSOLIDATION : Enseigner les décimaux sous forme de fractions décimales ; 14/10 = 1 + 4/10 = 1,4 Associer longtemps l écriture décimale et l écriture fractionnaire retour constant aux fractions 2,34 = 2 + 3/10 + 4/100 faire oraliser les dixièmes, centièmes Préférer «deux virgule trente quatre centièmes» à «2,34» Difficultés les plus courantes : dans la liste entoure les écritures qui représentent 14/1 140 1,40 1 + 4/10 1,04 1,4 0,14 de 6,9 et de 7,08 quel est le nombre le plus proche de 7 Eviter la formulation trop rapide de «règles» : mise au «gabarit» dans les opérations, dans les calculs multiplication et division par 10, 100 et 1000 32