Chapitre 5 COUPLAGE DES RÉSISTANCES Sommaire 1. Couplage série 2. Couplage parallèle 3. Couplage mixte 1. COUPLAGE SÉRIE 1.1 Que nous montre le croquis ci-dessous? Des résistances sont dites «en série» lorsqu'elles sont placées les unes à la suite des autres. La figure ci-contre montre bien que ces résistances seront donc parcourues par le même courant I d'autre part on peut dire, aussi que chaque résistance R utilise une partie de la tension totale : U1,U2,U3, etc. De plus la somme des tensions partielles est égale à la tension (totale) appliquée à l'ensemble des résistances. Il est commode de pouvoir remplacer toutes ces résistances par une seule résistance, celleci devant avoir le même effet que celui produit par les autres résistances c.à.d. le passage d'un même courant I sous la même tension U! Cette résistance est généralement appelée : résistance équivalente : Re ou résistance totale : Rt Analysons les faits L'application d'une tension Ut aux bornes M et N du circuit va provoquer le passage d'un courant I dans le circuit. On peut dire que : Théorie chapitre 5 page 1
ce courant I sera à tout moment le même dans tout le circuit. Autrement dit chaque résistance sera traversée par le même courant et ceci quelle que soit le nombre ou la valeur des résistances. En effet on imagine mal le courant se «perdant» quelque part dans le circuit! On peut donc écrire que : I1 = I2 = I3 = It = constante ce courant I va traverser chaque résistance et y produire ce qu 'on appelle une «chute de tension». Nous disions un peu plus haut «utiliser une partie de la tension totale». Cette chute de tension sera proportionnelle d'une part au courant I traversant la résistance, d'autre part à la valeur de la résistance ellemême. La loi d'ohm est toujours d'application : U1 = R1 * I1 U2 = R2 * I2 U3 = R3 * I3 la tension Ut appliquée aux bornes M et N, la tension totale pourrait-on dire, va donc se répartir entre les trois résistances R1,R2 et R3. Rien ne permet de dire que cette répartition sera égale mais par contre on peut dire que la somme des tensions partielles est égale à la tension totale soit donc : U1 + U2 + U3 = Ut Calcul de Re Ut = U1 + U2 + U3 Re * I = R1 * I + R2 * I + R3 * I Re * I = I * ( R1 + R2 + R3 ) Re = R1 + R2 + R3 R e = Résistance équivalente R 1,2,3 = Résistances partielles La résistance équivalente, dans le couplage SERIE, est égale à la somme des résistances R1,R2, R3 etc... Théorie chapitre 5 page 2
Cas particuliers II est évident que si l'on groupe plusieurs résistances de même valeur la formule se simplifie et devient : Re = R * n R e = Résistance équivalente n = nombre de résistances identiques N.B. : La résistance équivalente est toujours plus grande que la plus grande des résistance groupées! 1.2 Conclusions Dans le couplage série, on peut dire que : - Ut = U1 + U2 + U3 - Re = R1 + R2 + R3 - I = constante 1.3 Applications 1) Quatre résistances sont mises en série et sont alimentées sous une tension de 22O V. Sachant que R1 = 20 Ω, R2 = 40 Ω, R3 = 60 Ω et R4 = 100 Ω, on demande de calculer les différentes intensités et les différentes tensions. Calculez également la valeur de la résistance équivalente et la valeur de l'intensité totale circulant dans le circuit. 2) Dans le schéma ci-dessous, on demande de calculer la valeur de : U, U 1,It, I1 I3, Re, R2, R3. Théorie chapitre 5 page 3
3) Branché sous une tension de 12 V, un appareil est traversé par un courant de 600 ma. On souhaite pouvoir utiliser cet appareil sous une tension de 180 V. Calculez la valeur de la résistance additionnelle à utiliser et faites le croquis du montage. Votre réponse doit comporter deux solutions différentes S.V.P. 4) Pour réaliser une guirlande lumineuse on se propose de mettre en série des petites lampes de 12 V. Déterminez le nombre d'ampoules à utiliser sachant que la tension d'utilisation est de 220 V et que chaque ampoule absorbe une intensité de 20 ma. Calculez également la tension réelle qui sera appliquée à chaque lampe et la résistance de chacune d'elle. 5) Une résistance est traversée par un courant de 22 A lorsque la tension à ses bornes est de 220 V. On souhaite pouvoir utiliser cette résistance sous une tension de 380 V. Calculez la longueur du fil à utiliser pour fabriquer la résistance additionnelle nécessaire à ce montage sachant que l'on emploiera du fil de 22/10 dont la résistivité est de 3,7994.10-8 Ωm. 6) Un appareil de mesure a une résistance r de 100 Ω et est prévu pour une tension maximale u de 100 mv. Si l'on veut mesurer des tensions plus élevées, il faut adjoindre à cet appareil des résistances additionnelles R1 et R2 par exemple. On demande de déterminer la valeur de R1 et R2 en supposant que les tensions à mesurer soient entre A et C de 20 V et entre A et D de 70 V. 7) Dans le montage ci-après on demande de reproduire le schéma cinq fois et de raccorder à chaque fois les différentes résistances de manière telle que la résistance R soit traversée par des courants de : Théorie chapitre 5 page 4
I1 = 150 ma I2 = 200 ma I3 = 240 ma I4 = 300 ma I5 = 400 ma 8) L'équipage mobile du galvanomètre ci-dessous a une résistance r de 200 Ω et est prévu pour un courant i de 50 ma. On demande de câbler le commutateur et de calculer la valeur des résistances additionnelles. R1 =? Ω Ut1 = 15 V R2 =? Ω Ut2 = 45 V R3 =? Ω Ut3 = 110 V R4 =? Ω Ut4 = 500 V 9) L'appareil ci-dessous est ce qu'on appelle un rhéostat. C'est un appareil qui permet, par exemple, le démarrage d'un moteur. En effet dans la position n 1, on voit bien que toutes les résistances sont utilisées et que, dès lors, l'intensité du courant sera faible. Au fur et à mesure que le curseur va se déplacer il y aura de moins en moins de résistances en circuit et de ce fait l'intensité du courant sera de plus en plus grande et donc le moteur tournera de plus en plus vite. On demande de calculer les résistances R1,R2, R3, R4 et R5 pour que l'appareil R soit, par exemple, parcouru par des courants de 5, 6, 7, 8 et 9 A. Théorie chapitre 5 page 5
2. COUPLAGE PARALLÈLE 2.1 Que nous montre le croquis ci-dessous? Des résistances sont dites «en parallèle» lorsqu'elles sont toutes placées aux bornes de la même source. La figure montre bien que ces résistances seront donc soumises à la même tension Ut mais seront parcourues par des courants I1, I2, I3, etc... De plus la somme des courants est évidemment égale à la valeur du courant total It. Il est commode de pouvoir remplacer toutes ces résistances par une seule résistance, celleci devant avoir le même effet que celui produit par les autres résistances c.à.d. le passage d'un même courant I, sous la même tension Ut! Cette résistance est généralement appelée : résistance équivalente : Re ou résistance totale : Rt Analysons les faits L'application d'une tension Ut aux bornes M et N du circuit va provoquer le passage d'un courant I, dans le circuit. On peut dire que : cette tension Ut se retrouve aux bornes de chaque élément. Aux bornes de chaque résistance on retrouve la même tension totale! On peut donc écrire que : U1 = U2 = U3 = Ut = constante le courant It quittant le générateur, va se répartir entre les trois résistances R1,R2 et R3. Rien ne permet de dire, à priori, que ces trois courants seront égaux! En effet, ils dépendent de la valeur de chaque élément du circuit. Une chose cependant est certaine, ces trois courants se rejoignent en N! La loi d'ohm est toujours d'application : I1 = U1 / R1 I2= U2 / R2 I3 = U3 / R3 Théorie chapitre 5 page 6
le courant I, résultant de la tension appliquée aux bornes M et N, le courant total, pourrait-on dire, va donc se répartir entre les trois résistances R 1, R2 et R3. Rien ne permet de dire, rappelons-le, que cette répartition sera égale mais par contre on peut dire que la somme des courants partiels est égale au courant total soit donc : I1 + I2 + I3 = It Calcul de Re A gauche : It = I1 + I2 + I3 A droite : It = Ut / Re ou si on l'écrit différemment : Ut * 1 / Re Ut * 1 / Re = Ut/ R1 + Ut / R2 + Ut / R3 Ut / Re = Ut (1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3) R e = Résistance équivalente R 1,2,3 = Résistances partielles Dans le couplage PARALLÈLE, l'inverse de la résistance équivalente est égale à la somme des inverses des résistances partielles R1, R2, R3, etc... Cas particuliers 1) Si l'on groupe plusieurs résistances de même valeur la formule se simplifie et devient : Re = R / n R e = Résistance équivalente n = nombre de résistances identiques Théorie chapitre 5 page 7
2) Si l'on groupe deux résistances de valeur quelconque, R1 et R2 par exemple on peut utiliser la formule suivante : R e= R 1 R 2 R 1 R 2 Cette formule, que vous devez pouvoir démontrer, s'obtient en partant de la formule générale : 1 1 1 = Re R 1 R2 Démontrons-là, à titre d'exemple : Réduisons au même dénominateur : soit : R1 * R2 = Re (R2 + R1) d'où l'on tire : N.B. : La résistance équivalente est toujours plus petite que la plus petite des résistances groupées. 2.2 Conclusions Dans le couplage parallèle, on peut dire que : - It = I1 + I2 + I3-1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 - U = constante Théorie chapitre 5 page 8
2.3 Applications 1) Quatre résistances sont mises en parallèle et sont alimentées sous une tension de 50 V. Sachant que R1 = 5 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 25 Ω et R4 = 50 Ω, on demande de calculer la valeur de l'intensité traversant chaque résistance, l'intensité totale et les différentes tensions. Calculez également la valeur de la résistance équivalente et faites le schéma du montage. 2) Dans le schéma ci-dessous on demande de calculer la valeur de : U t,i1, It, U3, I3, Re, R2 sachant que R1 = 10 Ω, R3 = 30 Ω, U2 = 10 V et I2 = 2 A. 3) Un appareil est constitué par trois résistances identiques R de 36 Ω chacunes et branchées en parallèle sous une tension de 125 V. Sachant que les conducteurs de raccordement ont une résistance r de 0,5 Ω, on demande de calculer : l'intensité totale It ; l'intensité IR circulant dans chaque résistance R ; la tension réelle UR qui se retrouvera aux bornes de chaque résistance R ; la longueur du fil à employer pour fabriquer chaque résistance R en supposant que l'on emploie du fil dont la résistivité est de 111.10-8 Ωm et la section 2,22 mm2. 4) Un récepteur a une résistance r de 2,4 Ω. En mettant une résistance en parallèle sur ce récepteur, la résistance équivalente devient égale à 2 Ω. Quelle est la valeur de cette résistance? 5) Cinq résistances identiques, placées en dérivation, ont une résistance équivalente de 1 Ω. Quelle est la valeur de la résistance équivalente quand on les dispose en série? 6) Dans le montage ci-contre sachant que R1 = 30 Ω et R2 = 60 Ω, on demande de calculer la valeur de la résistance équivalente ainsi que la tension apparaissant aux bornes de R2. Théorie chapitre 5 page 9
7) Un appareil de mesure a une résistance r = 100 Ω. Le courant maximal supporté par l'appareil étant de 20 ma, il faudra donc y ajouter «quelque chose» si l'on veut mesurer des courants plus grands que 20 ma. Ce quelque chose s'appelle un SHUNT et il se place en parallèle sur la résistance r. Dans l'exemple de la figure, on demande de calculer la valeur des trois shunts R1, R2, R3 pour pouvoir mesurer les courants It1, It2 et It3 respectivements égaux à 2 A, 15 A et 50 A. De plus on demande comment câbler le commutateur. 8) Un milliampèremètre a une sensibilité de 20 ma. Sachant que la résistance du cadre mobile est de 20 Ω, on demande la valeur du courant pouvant être mesuré si l'on raccorde à cet appareil un shunt de 0,02002 ohms. Théorie chapitre 5 page 10
3. COUPLAGE MIXTE Dans ce type de couplage aucune nouvelle formule, aucune théorie particulière mais seulement beaucoup de soin et un peu de réflexion. En fait il s'agit simplement d'un couplage série et couplage parallèle mélangé! Dans ce chapitre nous allons aussi devoir dessiner chaque stade de la transformation du schéma initial et de plus colorer chaque potentiel avec soin. Suivez bien l'exemple proposé ci-dessous : Schéma n 1 Comment procéder? Nous allons d'abord colorer chaque potentiel ou, si vous préférez, chaque ligne ou groupe de lignes ayant la même dénomination. Dans l'exemple choisi on a donné à la borne de départ la lettre A, donc tout ce qui est rattaché à cette borne ( c.à.d. jusque R1, et R3 est identifié par le repère A ou par une couleur au choix. Après R 1 et R3, on change de couleur et de lettre, par exemple la lettre B après R3 et la lettre C après R1, quant aux couleurs, vous êtes libre de choisir mais elles doivent êtres différentes! Lorsque cette opération est terminée on passe au second stade. Il s'agit de simplifier le schéma afin de ne plus avoir qu'un simple circuit série. Entre les points A et C on constate l'existence de deux branches en parallèle, la branche avec R1, et la branche avec R3 et R2 mais dans cette dernière les deux résistances sont en série. On va donc remplacer ces deux résistances en série par leur résistance équivalente Re1 par exemple. Cette fois entre les points A et C nous avons un petit couplage parallèle tout à fait traditionnel et que nous allons remplacer par une résistance équivalente que nous allons appeler Re2. Entre les points A et C nous n 'avons plus maintenant qu'une seule résistance : Re2. Théorie chapitre 5 page 11
Notre schéma n 1 devient : Schéma n 2 Qu'avons nous entre C et D? Deux résistances R4 et R5 en parallèle que nous allons «réduire» de manière à avoir une résistance équivalente que nous appellerons Re3 tout simplement. Vous constatez que notre schéma initial se simplifie de plus en plus! Si vous avez été attentif aux transformations déjà effectuées vous avez dû vous rendre compte qu'au stade actuel nous avons un simple circuit avec trois résistances en série : Re2, Re3 et R6. Cela veut donc dire que notre schéma n 2 devient le schéma n 3 illustré ci-dessous. Schéma n 3 Théorie chapitre 5 page 12
Notre dernière résistance équivalente nous l'appellerons Rt et elle remplacera nos trois dernières résistances en série. Et voilà, notre premier travail est enfin effectué et le résultat en est un schéma simple qui remplace notre schéma initial! Notre schéma n 3 devient le schéma n 4 ci-dessous. Schéma n 4 Dans ce genre de problème on donne généralement soit la valeur de la tension totale Ut soit la valeur de l'intensité totale It. La valeur de la résistance équivalente venant d'être établie, on calcule donc soit le It, soit le Ut. Donc dans le schéma n 4 toutes les valeurs sont connues : Ut, It et Re. On peut donc passer au schéma précédent c.à.d. le schéma n 3. Regardez attentivement ce schéma et vous y verrez 3 résistances en série cela veut donc dire que le courant qui y circule est le même que... dans le schéma n 4 c.à.d. It. Cela nous permettra d'écrire la ligne suivante : It = Ie2 = Ie3 = I6 Cette ligne est très importante car elle va nous permettre de calculer les différentes tensions apparaissant aux bornes de ces trois résistances : Ue2 = Re2 * Ie2 Ue3 = Re3 * Ie3 U6 = R6 * I6 Ces tensions étant calculées nous allons pouvoir passer au schéma précédent c.à.d. au schéma n 2. A quoi faut-il faire attention? Entre C et D nous avons Re3 et entre A et C nous avons Re2,il faut donc choisir l'une des deux. Peu importe celle par laquelle nous commencerons, soit Re3 par exemple. La question qu'il faut se poser est la suivante : A quoi cette résistance Re3 est-elle équivalente? Pour répondre à cette question il suffit de regarder sur le schéma précédent ce qui se trouve entre les points C et D ou entre les mêmes couleurs. Nous constatons donc qu'il s'agit des résistances R4 et R5, cela veut donc dire aussi que ces deux résistances sont soumises à la même tension que Re3, d'où l'on peut écrire : Ue3 = U4 = U5 Cela étant posé on peut alors calculer sans difficulté les deux courants I 4 et I5. Il ne faut pas oublier maintenant de revenir à notre Re2 afin d'y faire le même raisonnement! Théorie chapitre 5 page 13
La question qu'il faut se reposer est la suivante : A quoi cette résistance Re2 est-elle équivalente? Pour répondre à cette question il suffit à nouveau de regarder sur le schéma précédent ce qui se trouve entre les points A et C ou entre les mêmes couleurs. Nous constatons donc qu'il s'agit des résistances R1 et Re1, cela veut donc dire aussi que ces deux résistances sont soumises à la même tension que Re2, d'où l'on peut écrire : Ue2 = U1 = Ue1 Cela étant posé on peut alors ici aussi calculer sans difficulté les deux courants I 1 et Ie1. Il ne nous reste plus maintenant qu'une question à poser : A quoi cette résistance Re1 est-elle équivalente? Pour répondre à cette question il suffit à nouveau de regarder sur le schéma précédent (il s'agit du schéma initial) ce qui se trouve entre les points A et C ou entre les mêmes couleurs. Nous constatons donc qu'il s'agit des résistances R2 et R3, cela veut donc dire que ces deux résistances sont parcourues par le même courant que Re1 (en effet elles sont en série) d'où l'on peut écrire : Ie1 = I2 = I3 Ces deux valeurs étant établies on peut enfin calculer les deux tensions apparaissant aux bornes de R2 et R3. U2 = R2 * I2 U3 = R3 * I3 Notre problème est terminé, en effet tous les courants sont connus et toutes les tensions ont été calculées. Il vous reste maintenant à faire le même problème en respectant les valeurs qui vous seront données. Bonne chance Théorie chapitre 5 page 14
Applications 1) Dans le circuit ci-dessous, sachant que R1 et R2 valent chacune 8 Ω et que R3 a pour valeur 16 Ω, calculez les valeurs suivantes : U1, U2, U3, I1, I2, I3, It et Re. 2) Dans le circuit ci-dessous, calculez les valeurs de U1, U2, U3, U4, I1, I2, I3, I4, It et Re. On donne : Ut= 12 V, R1=2 Ω, R2=8 Ω, R3=10 Ω et R4=1 Ω. 3) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur de toutes les tensions, de toutes les intensités ainsi que la valeur de Re sachant que : Ut=40 V, R1=2 Ω, R2=4/3 Ω, R3 = 15 Ω, R4=5 Ω et R5=10 Ω. Théorie chapitre 5 page 15
4) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur des éléments manquants sachant que la valeur de l'intensité I4 traversant R4 est de 10 A. On donne les valeurs suivantes : R1 = R2 = R3 = 36 Ω, R4 = 70/13 Ω, R5 = 5 Ω et R6 = 60 Ω. 5) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur de toutes les tensions, de toutes les intensités ainsi que la valeur de Re sachant que I5 = 5 A. On donne les valeurs suivantes : R1 = 3/5 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 2 Ω et R5 = 7/5 Ω. 6) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur de toutes les tensions, de toutes les intensités ainsi que la valeur de Re sachant que Ut= 100 V. On donne les valeurs suivantes : R1 = 12 Ω, R2 = 38 Ω, R3 = 10 Ω, R4 = 60 Ω, R5 = 5 Ω, R6 = 8 Ω et enfin R7 = 7 Ω. Théorie chapitre 5 page 16
7) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur de toutes les tensions, de toutes les intensités ainsi que la valeur de Re sachant que le courant total It arrivant en A a une valeur de 10 A. On donne les valeurs suivantes : R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1 Ω et R6 = R7 = R8 = R9 = 2 Ω. 8) Dans le circuit ci-dessous, calculez la valeur de toutes les tensions, de toutes les intensités ainsi que la valeur de Re sachant que la tension totale Ut est de 60 V. On donne les valeurs suivantes : R1 = 4R2 = R3 = R4 = R5 = 1 Ω. Théorie chapitre 5 page 17