Musique : Gamme de Zarlino

Musique : Gamme de Zarlino 1 - Notes musicales vues comme des fréquences On peut considérer les notes de la gamme comme étant la fréquence d un son : Quand on analyse le son d une note jouée sur un instrument, il apparaît des sons «purs» de fréquence F (harmonique fondamentale), 2F (2 ème harmonique), 3F (3 ème harmonique) etc. Les amplitudes de ces harmoniques sont, en général, de plus en plus faibles. On peut réduire une note à sa fréquence de sa fondamentale F. Ainsi une note est un point d un axe de fréquence. Une gamme est un ensemble fini de notes. L écart entre 2 notes est un intervalle. 2 - Trois intervalles fondamentaux : l octave, la quinte et la tierce Puisque un son de fondamentale F contient aussi les harmonique 2F, 3F, 4F, 5F les intervalles entre la fondamentale et la 2 ème harmonique [F ; 2F], entre la 2 ème harmonique et la 3 ème harmonique [2F ; 3F], entre la 3 ème harmonique et la 4 ème harmonique [3F ; 4F] et entre la 4 ème harmonique et la 5 ème harmonique [4F ; 5F] portent des noms particuliers : [F ; 2F] est l octave ; [2F ; 3F] est la quinte ; [3F ; 4F] est la quarte ces intervalles sont dans la gamme de Pythagore. Ce seront les mêmes dans la gamme de Zarlino : Octave Quarte Quinte Quarte Gamme de Pythagore Le quatrième intervalle est la tierce (juste) : [4F ; 5F]. Cet intervalle (qui correspond à [DO ; MI]) n est pas le même que dans Pythagore : [DO ; MI] dans Pythagore a pour coefficient multiplicateur 81/64. [DO ; MI] dans Zarlino a pour coefficient multiplicateur 5/4 = 80/64. L accord (DO,MI,SOL) «sonne» beaucoup mieux dans Zarlino : on l appelle accord «parfait» majeur. 3 - Définition de la gamme diatonique de Zarlinos (7 notes entières) On considère la note DO0 de fréquence D par définition. On a toujours, comme dans la gamme de Pythagore, DO1 de fréquence 2D, DO2 de fréquence 4D etc. Si la fondamentale est DO0, la 2ème harmonique est donc DO1 de fréquence 2D et la 4ème harmonique est DO2 de fréquence 4D. Par définition : La 3ème harmonique est un SOL (comme dans Pythagore) et la 5ème harmonique est un MI : DO0 (D) DO1 (2D) SOL (3D) DO2 (4D) MI (5D) DO3 (8D) On peut voir que le SOL est dans l octave 1 (entre DO1 et DO2) : c est SOL1. et que le MI est dans l octave 2 (entre DO2 et DO3) : c est MI2. On peut facilement démontrer que les fréquence de SOL0 et MI0 sont (3/2)D et (5/4)D : DO0 (D) SOL0 ((3/2)D) MI0 ((5/4)D) DO1 (2D) DO et SOL sont les mêmes que dans Pythagore. MI est différent MI Zarlino = 5/4.D = 80/64.D, MI Pythagore = 81/64.D Le coef multiplicateur de l intervalle entre les 2 MI est 81/80 : c est le comma syntonique

On définit ainsi 3 nouveaux intervalles: L'intervalle DO - SOL = Quinte (idem Pythagore) de coefficient multiplicateur 3/2 L'intervalle DO - MI = Tierce majeure de coefficient multiplicateur 5/4 L'intervalle MI - SOL = Tierce mineure de coefficient multiplicateur 6/5. L Accord Parfait Majeur (APM) est l accord DO-MI-SOL. Un accord est un APM si les fréquences des 3 notes sont proportionnelles à (1,5/4,3/2). Les autres accords majeurs (par définition): FA LA DO : définit les notes FA et LA. Fréquences de FA0 et LA0 : (x,y,2d) prop (1,5/4,3/2) donc Fréquence de FA0 est (4/3)D (même FA que Pythagore) Fréquence de LA0 est (5/3)D SOL SI RE : définit les notes SI et RE. Fréquences de SI0 et RE1 : ((3/2)D,y,z) prop (1,5/4,3/2) donc Fréquence de SI0 est (15/8)D Fréquence de RE1 est (9/4)D donc Fréquence de RE0 est (9/8)D (même RE que Pythagore) On a donc les fréquences des 7 notes de la gamme diatonique : DO0 (D) - RE0 ((9/8)D) - MI0 ((5/4)D) - FA0 ((4/3)D) - SOL0 ((3/2)D) - LA0 ((5/3)D) - SI0 ((15/8)D) Intervalle DO-RE a pour coefficient multiplicateur 9/8 = 1,125 Intervalle RE-MI a pour coefficient multiplicateur 5/4*8/9 = 10/9 1,11 Intervalle MI-FA a pour coefficient multiplicateur 4/3*4/5 = 16/15 1,07 Intervalle FA-SOL a pour coefficient multiplicateur 3/2*3/4 = 9/8 = 1,125 Intervalle SOL-LA a pour coefficient multiplicateur 5/3*2/3 = 10/9 1,11 Intervalle LA-SI a pour coefficient multiplicateur 15/8*3/5 = 9/8 = 1,125 Intervalle SI-DO a pour coefficient multiplicateur 2*8/15 = 16/15 1,07 Il y a 2 sortes de ton : TON MAJEUR (DO-RE, FA-SOL et LA-SI) : coefficient multiplicateur = 9/8 TON MINEUR (RE-MI et SOL-LA) : coefficient multiplicateur = 10/9 L intervalle MI-FA (et SI-DO) est le DEMI TON MAJEUR coefficient multiplicateur = 16/15

4 - Définition de la gamme chromatique de Zarlino (7 notes entières + notes altérées) Accords majeurs déjà vus : DO MI SOL, FA LA DO, SOL SI RE Voyons d autres accords majeurs : MI0 - SOL # 0 - SI0 : définit la note SOL #. Fréquence de SOL # 0: (2-2.3 0.5 1.D, x, 2-2.3 1.5 1.D) prop ( 1, 5/4, 3/2 ) donc x = 2-2.3 0.5 1.D * 5/4 = 2-4.3 0.5 2.D Fréquence de SOL # 0 est 2-4.3 0.5 2.D LA0 - DO # 1 MI1 : définit la note DO #. Fréquence de DO # 1: (2 0.3-1.5 1.D, x, 2-1.3 0.5 1.D) prop ( 1, 5/4, 3/2 ) donc x = 2 0.3-1.5 1.D * 5/4 = 2-2.3-1.5 2.D (DO # 1) Fréquence de DO # 0 est 2-3.3-1.5 2.D SI0 - RE # 1 - FA # 1 : définit les notes RE # et FA # Fréquence de RE # 1 et FA # 1 (2-3.3 1.5 1.D, x, y) prop ( 1, 5/4, 3/2 ) donc x = 2-3.3 1.5 1.D * 5/4 = 2-5.3 1.5 2.D (RE # 1) Fréquence de RE # 0 est 2-6.3 1.5 2.D donc y = 2-3.3 1.5 1.D * 3/2 = 2-4.3 2.5 1.D (FA # 1) Fréquence de FA # 0 est 2-5.3 2.5 1.D DO # 0 - MI # 0 - SOL # 0 : définit la note MI #. Fréquence de MI # 0: (2-3.3-1.5 2.D, x, 2-4.3 0.5 2.D) prop ( 1, 5/4, 3/2 ) donc x = 2-3.3-1.5 2.D * 5/4 = 2-5.3-1.5 3.D Fréquence de MI # 0 est 2-5.3-1.5 3.D SOL # 0 - SI # 0 - RE # 1 : définit la note SI #. Fréquence de SOL # 0: (2-4.3 0.5 2.D, x, 2-5.3 1.5 2.D) prop ( 1, 5/4, 3/2 ) donc x = 2-4.3 0.5 2.D * 5/4 = 2-6.3 0.5 3.D Fréquence de SI # 0 est 2-6.3 0.5 3.D Les intervalles [DO-DO # ], [RE-RE # ], [MI-MI # ], [SOL-SOL # ], [SI-SI # ] ont la même grandeur : leur coefficient multiplicateur est 25/24 ( 2-3.3-1.5 2 1,042 ).

L intervalle [FA-FA # ] est différent : 2-5.3 2.5 1 *3/4 = 2-7.3 3.5 1 = 135/128 1,055 Il ne reste plus que l accord majeur de RE : RE0 - FA # 0 LA c 0 : définit la note LA c (qui n est pas LA # ). Fréquence de LA p 0: (2-3.3 2.5 0.D, 2-5.3 2.5 1.D,x) prop ( 1, 5/4, 3/2 ) donc x = 2-3.3 2.5 0.D * 3/2 = 2-4.3 3.5 0.D Fréquence de LA c 0 est 2-4.3 3.5 0.D (c est le LA de Pythagore) L intervalle [LA-LA c ] a pour coefficient multiplicateur 2-4.3 3.5 0 *3/5 = 2-4.3 4.5-1 = 81/80 1,012 C est le comma syntonique déjà vu. Pour l instant, les APM sont : DO MI SOL RE0 FA # 0 LA p 0 MI0 SOL # 0 SI0 FA LA DO SOL SI RE LA0 DO # 1 MI1 SI0 RE # 1 FA # 1 DO # 0 MI # 0 SOL # 0 SOL # 0 SI # 0 RE # 1 Un accord est un Accord Parfait mineur si les fréquences des 3 notes sont proportionnelles à (1,6/5,3/2) : Exemples : MI SOL SI LA DO MI SI RE FA # De nouveaux A.P. mineurs : DO0 MI b 0 SOL0 Il définit la note MI b Fréquence de MI b 0: (2 0.3 0.5 0.D, x, 2-1.3 1.5 0.D) prop. ( 1, 6/5, 3/2 ) x = 2 0.3 0.5 0.D * 6/5 = 2 1.3 1.5-1.D Fréquence de MI b 0 est 2 1.3 1.5-1.D FA0 LA b 0 DO1 Il définit la note LA b Fréquence de LA b 0: (2 2.3-1.5 0.D, x, 2 1.3 0.5 0.D) prop. ( 1, 6/5, 3/2 ) x = 2 2.3-1.5 0.D * 6/5 = 2 3.3 0.5-1.D Fréquence de LA b 0 est 2 3.3 0.5-1.D SOL0 SI b 0 RE1 Il définit la note SI b Fréquence de SI b 0: (2-1.3 1.5 0.D, x, 2-2.3 2.5 0.D) prop. ( 1, 6/5, 3/2 ) x = 2-1.3 1.5 0.D * 6/5 = 2 0.3 2.5-1.D Fréquence de SI b 0 est 2 0.3 2.5-1.D MI b 0 SOL b 0 SI b 0 Il définit la note SOL b Fréquence de SOL b 0: (2 1.3 1.5-1.D, x, 2 0.3 2.5-1.D) prop. ( 1, 6/5, 3/2 ) x = 2 1.3 1.5-1.D * 6/5 = 2 2.3 2.5-2.D Fréquence de SOL b 0 est 2 2.3 2.5-2.D RE0 FA c 0 LA c 0 Il définit la note FA c (ce n est pas FA # ) Fréquence de FA c 0: (2-3.3 2.5 0.D, x, 2-4.3 3.5 0.D) prop. ( 1, 6/5, 3/2 ) x = 2-3.3 2.5 0.D * 6/5 = 2-2.3 3.5-1.D Fréquence de FA c 0 est 2-2.3 3.5-1.D L intervalle [FA- FA c ] est un comma syntonique (81/80) comme [LA- LA c ]

RE # 0 FA # 0 LA # 0 Il définit la note LA # Fréquence de FA # 0: (2-6.3 1.5 2.D, 2-5.3 2.5 1.D, x) prop. ( 1, 6/5, 3/2 ) x = 2-6.3 1.5 2.D * 3/2 = 2-7.3 2.5 2.D Fréquence de LA # 0 est 2-7.3 2.5 2.D Les intervalles [MI b MI], [LA b LA], [SI b SI], [SOL b SOL] ont le même coef multiplicateur 25/24 C est le même intervalle que [DO-DO # ], [RE-RE # ], [MI-MI # ], [SOL-SOL # ], [SI-SI # ]. L intervalle [LA- LA # ] a pour coefficient 135/128. C est le même intervalle que [FA-FA # ] Ces 2 intervalles [LA- LA # ] (angle jaune + angle rouge 27 ) et [DO- DO # ] (angle jaune 21 ) diffèrent du comma syntonique (angle rouge 6 ): 135/128 = 25/24 * 81/80 Pour des raisons évidentes de symétrie sur la figure ci-contre, il importe de couper l intervalle [DO # - RE] en trois intervalles : un intervalle [RE b -RE] de coef 25/24 (angle jaune 21 ), un intervalle [RE bc - RE b ] de coef 81/80 (comma syntonique - angle rouge 6 ) et un intervalle [DO # -RE bc ] de coef 81/80 (angle bleu 12 ). Les intervalles [DO # -RE bc ], [RE # -MI b ], [MI # -FA], [FA # -SOL b ], [SOL # -LA b ], [LA # -SI b ] et [SI # -DO] (angles bleus sur la figure) ont tous le même coefficient multiplicateur 128/125 Les intervalles [DO-DO # ], [RE b -RE], [RE-RE # ], [MI b -MI], [MI-MI # ], [FA c -FA # ], [SOL b -SOL], [SOL-SOL # ], [LA b -LA], [LA c -LA # ], [SI b -SI] et [SI-SI # ] (angles jaunes sur la figure) ont tous le même coefficient multiplicateur 25/24. Cet intervalle sera appelé «dièse» ou «demi-ton mineur». Le «demi-ton majeur» est l intervalle [RE-MI b ] (angle jaune + angle bleu) ou encore [MI-FA] Le coefficient multiplicateur du demi-ton majeur est 16/15. Les intervalles [RE bc -RE b ], [FA-FA c ] et [LA-LA c ] (angle rouge) ont tous le même coefficient multiplicateur 81/80. C est le comma syntonique. Le comma syntonique est la différence entre un ton mineur et un ton majeur : Ton majeur = [DO-RE] = [FA-SOL] = [LA-SI] ( 2 angles jaunes + 1 angle bleu + 1angle rouge) coefficient multiplicateur = 9/8 Ton mineur = [RE-MI] = [SOL-LA] ( 2 angles jaunes + 1 angle bleu) coefficient multiplicateur = 10/9 Tableau des fréquences de la gamme de Zarlino :