Séquence division : Compétence visée : effectuer un calcul posé, la division euclidienne de 2 entiers Niveau : CM1 La compétence visée est d apprendre à effectuer une division posée de deux nombres entiers avec un quotient et un reste entier. Depuis la maternelle les élèves ont été confrontés à la résolution de situations de partage en utilisant des procédures personnelles et plus particulièrement au CE1 où ils ont eu une première approche de la division pour les nombres inférieurs à 100 en résolvant des problèmes de groupements ou de partage. C est aussi au CE1 qu ils ont calculé les premières divisions par 2 et par 5.Au CE2, ils ont appris la technique opératoire de la division euclidienne par un diviseur à un chiffre.il s agit donc ici de poursuivre l apprentissage de la technique opératoire de cette division en l étendant aux diviseurs à deux chiffres et d amener les élèves à la mettre en œuvre dans la résolution de problèmes. Pré requis : Le sens de la division a déjà été introduit dans les classes précédentes depuis la grande section de maternelle. Ceci doit permettre d aborder l apprentissage de la technique opératoire dans le cadre de la résolution d un problème où l opération associée est la division. Une technique de la division à 1 chiffre a déjà été abordée en CE2 mais il convient d y revenir au CM1. Des pré requis dans la maîtrise du sens des opérations : Maîtrise des deux " sens " de la division : " Quelle est la valeur de chaque part? " (Diviser 2 782 par 26, revient à partager 2 782 en 26 parts égales et chercher la valeur d une part), " Combien de fois? " (Diviser 2 782 par 26, revient à chercher combien de fois 26 est contenu dans 2 782) ; Des pré requis dans le domaine de la numération : La technique opératoire va demander de savoir décomposer le dividende en centaines, dizaines et unités qui devront être partagés et de savoir déterminer un ordre de grandeur du quotient. Il est donc nécessaire que les élèves aient une bonne maîtrise du système de numération décimale. Des pré requis dans le domaine du calcul (mental automatisé et réfléchi, et posé) : Pour pouvoir effectuer les calculs présents dans cette technique, les élèves doivent aussi maitriser les répertoires multiplicatifs et la technique opératoire de la soustraction. (Ce qui englobe la recherche de " combien de fois 7 dans 59? ", qui n est pas directement dans la table de multiplication par 7) Une bonne connaissance de la notion de multiple et une bonne maîtrise du calcul mental pour les quatre opérations sont aussi requises afin de pouvoir déterminer facilement les multiple et être
capable de prévoir le nombre de chiffres du quotient, par encadrement ou par partage d une partie du dividende. Place de la séquence dans une progression L organisation de l apprentissage s articule suivant quatre objectifs : donner du sens à cette division (résolution de problèmes) mettre en place les compétences en numération requises dans cet apprentissage consolider les connaissances en calcul mental apprentissage de la technique opératoire de la division On pourra donc envisager au CM1 une progression conduisant à cet apprentissage : Séquence 1 : résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes (dans laquelle figureront des résolutions de problèmes de partage) Séquence 2 : connaître savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu au milliard Séquence 3 : consolider les connaissances en calcul mental sur les entiers. Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100,1000.Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Un temps préalable suffisant doit être consacré au calcul réfléchi de quotients et de restes. En effet, ce type de calcul donne l occasion aux élèves de mettre en œuvre, en acte, des compétences également sollicitées dans l exécution de la technique opératoire. Ainsi, diviser mentalement 1 548 par 7 incite à décomposer 1 538 en 1 400 + 148, après avoir repéré que 1 400 est divisible par 7 (200), puis 148 en 140 + 8 pour déterminer les deux autres composantes du quotient (20 et 1) et le reste (1). Le quotient s obtient par addition des quotients partiels : 200 + 20 + 1 = 221. Séquence 4 : effectuer un calcul posé : division euclidienne de deux entiers. Elaboration de la séquence : Séance 1 : réactiver les connaissances de la technique opératoire de la division à un chiffre vue en CE2 (situation de cap math) Pour commencer un retour sur la technique opératoire de la division par un nombre à un chiffre abordée au CE2 sera fait dans le cadre de la résolution d un problème impliquant une division (situation réelle de partage par exemple). Séance 2 : introduction de la division par un nombre à deux chiffres par la résolution d un problème de partage. (Situations d euromath) Ensuite on passe à la division par un nombre à deux chiffres dans un cadre similaire de situation réelle de partage. On aboutira au calcul posé de la division avec la potence en explicitant l écriture du calcul par les différentes phases du partage.
On proposera deux types de problème un problème de partage avec recherche de la part et un problème avec la recherche du nombre de parts Séance 3 : recherche du quotient dans la division euclidienne (hors contexte).élaboration d un algorithme de recherche La séance suivante proposera le calcul d une division par un nombre à deux chiffres en proposant la recherche des multiples du diviseur et la recherche du quotient par essais et encadrement après avoir déterminer le nombre de chiffres du quotient. Séance 4 : mise en application de la technique opératoire lors de la résolution de problèmes La dernière séance proposera la résolution de problèmes (simples puis plus complexes) en ayant recours à la technique opératoire de la division. Les choix pédagogiques : Le choix délibéré d introduire cet apprentissage dans le cadre de la résolution de problèmes en abordant d abord un problème de recherche de la part pour donner du sens à la division et réintroduire la technique avec un diviseur à un chiffre. Puis de proposer un problème de partage pour aborder la division avec un diviseur à deux chiffres. Ensuite il est nécessaire de faire travailler les élèves sur la recherche d une estimation du quotient et de mettre en place l algorithme. Enfin, on se replace dans la résolution de problèmes afin de mettre en œuvre l utilisation de la technique et de faire comprendre aux élèves son utilité. Au début des séances, des séquences brèves de calcul mental(type La Martinière) seront proposés pour réactiver les connaissances du répertoire multiplicatif et les multiples. La technique choisie sera celle utilisant la potence avec recherche du nombre de chiffre du quotient et écriture des soustractions intermédiaires Les supports : Les manuels et livres du maître de Cap math et Euromath. Cap math seul est insuffisant car il ne permet pas d étendre la technique au cas du diviseur à 2 chiffres. Euromath a l inconvénient de ne pas réactiver les connaissances du CE2. Matériel : Séance 1 : Des allumettes réparties comme pour les séances de numération en allumettes seules, paquets de dix et sachets de cent allumettes en paquets de dix.les allumettes seront réservés aux élèves ayant des difficultés en référence au matériel de numération. Des points seuls, en plaques de dix et de cent. Prévoir le matériel pour que des échanges soient possibles.
Pour cette séance, il s agit de réactiver les connaissances en redonnant du sens à l opération par le biais de la résolution de problème ; le matériel va aider à expliquer les différentes étapes de la technique opératoire. Le diviseur proposé permet de ne pas introduire de calculs trop laborieux à effectuer mentalement. Pour la deuxième séance une représentation des pièces réparties dans des coffres contenant dix sachets de dix pièces, des sachets de dix pièces et des pièces seules. Le matériel «buchettes» toujours disponible pour les élèves en difficulté). Les problèmes choisis : Séance 1 : Partage de 572 points ou d allumettes entre 4 élèves. On choisit un multiple de 4 pour qu il n y ait pas de reste. On proposera dans un deuxième temps une division avec reste. Séance 2 : Partage de 662 pièces d or entre 25 pirates.on cherche le nombre de pièces distribuées équitablement à chacun. Séance 3 : Division de 952 par 28 puis de 7053 par 34. Séance 4 : Différents problèmes pris dans les deux manuels. Les éléments de synthèse et les traces écrites : La séance 1 aura pour trace écrite la potence de la division de 572 par 4 avec les étapes de partage des pièces La séance 2 aboutira à la production d une affiche avec la division de 662 par 25 et l algorithme décrit La séance 3 aboutira à l affichage des étapes de la recherche du nombre de chiffres du quotient et des calculs réfléchis ayant conduit à sa détermination : 952 par 28 : 28 x 10 = 280 et 28 x100 = 2800 donc le quotient est entre 10 et 99 c est donc un nombre à deux chiffres. 28x20 = 560 ; 28 x 30 = 840 et 28 x 40 = 1120 donc le quotient est compris entre 30 et 40 donc son chiffre des dizaines est 3. Essais : 952 840 =112 et 28 x4 = 112 donc le quotient est 34 et le reste est 0.
7053 par 34 : 34 X 100 = 3400 e34 x1000 = 34000 donc le quotient est un nombre compris entre 100 et 1000, c est un nombre de 3 chiffres et plus proche de 100. 34 x 200=6800 et 34 x300 = 10200 donc le chiffre des centaines est 2. 7053 6800 = 253 et 34 x 7 = 238 et 34x8 = 272 donc le chiffre des dizaines est 2 253 238= 15 donc le chiffre des unités est 0 le quotient est 220 et le reste est 15 Séance 4 : pas de d institutionnalisation Evaluation : l observation des procédures pour les trois premières séances et des exercices d entraînement. Une évaluation sommative comportant des calculs posés de division et des problèmes à résoudre. Les difficultés prévisibles : La non maîtrise par certains élèves du répertoire multiplicatif (mettre à disposition les affiches sur les répertoires multiplicatif, autoriser la pose des calculs intermédiaires et encourager la pose effective des soustractions) L absence d identification de l opération dans la résolution de problème (aide avec du matériel) Des difficultés à identifier le nombre de chiffre du quotient Des difficultés à organiser les essais