EXERCICES Thermodynamique 2 Transition de phase des corps purs Th2 1 Vaporisation irréversible de l'eau dans le vide Dans une enceinte initialement vide de volume constant V 0 = 400 litres thermostatée à la température T = 373 K, on place une ampoule scellée entièrement remplie sous la pression P = 1,013.10 5 Pa d'une masse m = 100 g d'eau à l'état liquide. Par un dispositif interne, on casse l'ampoule ; déterminer : 1 ) la pression finale ; 2 ) la variation d'entropie de l'univers au cours de la transformation. On donne : chaleur latente massique de vaporisation de l'eau à 373 K : L v = 2257 kj.kg -1, pression de vapeur saturante de l'eau à 373 K : P S = 1,013.10 5 Pa. masse molaire de l'eau : M = 18.10-3 kg.mol -1 ; la vapeur sèche sera considérée comme un gaz parfait. Capacité thermique massique de l eau liquide : C l = 4,8J.kg -1.K -1 Th2 2 Mélange glace-eau On mélange, dans un calorimètre, 1kg d eau à 20 C et 500 g de glace à 0 C. Déterminer l état final du système, la variation d entropie correspondante et commenter. On donne : la capacité thermique massique de la glace c g = 2,1 kj.k -1 kg -1, celle de l'eau c l = 4,18kJ.K -1.kg -1 et la chaleur massique de fusion de la glace à 273 K L f = 335 kj.kg -1. Th2 3 Vaporisation et cristallisation simultanées. 1 kg d'eau liquide est placé dans un récipient adiabatique à θ i = 100 C. Elle s'y vaporise lentement (la vapeur étant aspirée et éliminée dès sa formation) ce qui provoque la baisse de la température du système. 1 ) Sachant que la chaleur latente de vaporisation obéit à la formule de Régnault : L v = a - bθ = 2530-2,9θ (kj.kg -1 ), établir l'équation différentielle vérifiée par la masse m de liquide restant à la température θ. Calculer cette masse m 1 lorsque la température atteint 0 C. 2 ) A 0 C, une partie m 2 de l'eau se cristallise tandis que le reste se vaporise. Calculer m 2 sachant que la chaleur latente de fusion à 0 C est L f = 335 kj kg -1. Données : chaleur massique de l'eau liquide c l = 4,8 kj.kg -1.K -1. Th2 4 Diverses vaporisations de l eau 1 ) Une masse de 1 kg d'eau liquide est contenue dans un récipient fermé par un piston, à 100 C sous 1 atm. Par déplacement infiniment lent du piston, l'ensemble étant dans un thermostat à 100 C, on réalise la vaporisation complète de l'eau. A l'état final, le volume V f est égal à 1,67 m 3. Calculer le transfert thermique et le travail échangé du point de vue de l eau, les variations d'énergie interne, d'enthalpie et d'entropie de l'eau. 2 ) On place directement 1 kg d'eau liquide, prise à 100 C dans un récipient thermostaté à 100 C, initialement vide et de volume V f. Déterminer les mêmes grandeurs qu'au 1 ) ainsi que la création d'entropie. Données : chaleur latente massique de vaporisation de l'eau à 100 C : L v = 2,25 10 6 J.kg -1. Th2 5 Condition de liquéfaction par détente Un récipient parfaitement calorifugé, muni d'un robinet, contient initialement de l'hélium, à la pression p 0 = 80 bars, à la température T 0. Par ouverture du robinet, on provoque une fuite lente de l'hélium jusqu'à atteindre la pression d'équilibre p 1 = 1 bar. Déterminer la plage de températures T 0 permettant l obtention, à l'intérieur du récipient, d un mélange He liquide - He gaz à l'équilibre? On donne : - température d'équilibre He liq <-> He gaz sous p 1 = 1 bar : T 1 = 4,22 K - chaleur de vaporisation de He à T 1 : L v = 20,8 J g - 1 - l isobare critique de l hélium est inférieure à 80 bars.
Th2 6 Bilans au cours d une transition de phase Un récipient de volume V = 1,00 m 3 contient 1 kg d eau à une température de 80 C. 1. Déterminer complètement l état initial. 2. L ensemble est mis en contact avec un thermostat de température 115 C. Donner l état final et effectuer des bilans d énergie et d entropie. On donne : θ P sat (kpa) v l (m 3 ) v g (m 3 ) h l (kj.kg -1 ) h g (kj.kg -1 ) s l (kj.kg -1.K -1 ) s g (kj.kg -1.K -1 ) 80 C 47,39 1,029.10-3 3,407 334,9 2644 1,075 7,612 115 C 169,1 1,056.10-3 1,037 482,5 2699 1,473 7,183 Avec : v l : volume massique du liquide de saturation v g : volume massique de la vapeur saturante h : enthalpies massiques s : entropies massiques Th2 7 Détente de Joule-Thomson et transition de phase On fait subir à de l eau une détente de Joule-Thomson. En amont du détendeur, l eau est à 130 C sous forme d un mélange diphasé de titre massique en liquide x 1. La pression en aval est P 2 = 1,0135.10 5 Pa. 1 ) Déterminer la condition sur x 1 pour que l on obtienne, en aval du détendeur, un mélange diphasé. A.N. : x 1 = 0,1 puis x 1 = 0,015. 2 ) Calculer pour x 1 = 0,1 les transferts d énergie ainsi que la création d entropie pour 1 kg d eau subissant la détente. Données : θ P sat (θ) (bar) v l (m 3 ) v g (m 3 ) h l (kj.kg -1 ) h g (kj.kg -1 ) s l (kj.kg -1 K -1 ) s g (kj.kg -1 K -1 ) 100 1,0135 1,04.10-3 1,673 419 2676 1,307 7,355 130 2,701 1,070.10-3 0,669 546 2720 1,634 7,027 Th2 8 Etude du cycle d un fluide réfrigérant. On considère un liquéfacteur, où 1 kg de fluide réfrigérant, susceptible d exister sous deux phases, liquide et vapeur, décrit le cycle suivant : - une transformation isotherme amène l état initial (représenté par un point de la courbe de rosée T 1, P 1 ) à l autre extrémité du palier de saturation, sur la courbe d ébullition ; - le liquide obtenu est refroidi jusqu à la température T 1 à pression constante ; - une détente à enthalpie constante amène le fluide à la température T 2 (T 2 <T 1 ), où cœxistent liquide et vapeur ; - le mélange est ensuite partiellement évaporé à pression constante, jusqu à l intersection de l isotherme T 2 avec l adiabatique réversible passant par l état initial ; - on revient à l état initial le long de l adiabatique réversible. 1 ) Tracer le cycle en diagramme P,v. 2 ) On désigne par L 1 et L 2 les chaleurs latentes de vaporisation aux températures T 1 et T 2, et par c l la chaleur massique du liquide supposée constante. Calculer le transfert thermique retiré à la source froide par kg de fluide réfrigérant au cours de chaque cycle. A.N : θ 1 = 10 C ; θ 1 = 7,2 C ; θ 2 = -5 C ; L 1 = 314 kcal.kg -1 ; L 2 = 318 kcal.kg -1 ; c l = 0,164 kcal.k -1. Rép : Q = 298 kcal.kg -1
Th2 9 Pompe à chaleur On considère deux bassins d eau de masse m 1 et m 2. On suppose que m 2 =m 1 /5. On veut transformer le premier en piscine chauffée et le second en patinoire, à l aide d une pompe à chaleur. Soit c la capacité thermique massique de l eau et L f l enthalpie massique de fusion de la glace. 1) Représenter le système et les échanges énergétiques en indiquant leur signe. 2) Initialement, T 1 =T 2 =T ext =275K. T 2 baisse de 5 C. Déterminer la température finale T 1 ainsi que le travail W à fournir. On envisagera une faible variation des températures sur un cycle. 3) Dans une seconde étape, l eau du second bassin passe à l état de glace. Déterminer les nouvelles expressions T 1 et W. 4) Dans une troisième étape, la température de la glace est abaissée de 5 C. Déterminer les nouvelles expressions T 1 et W. Données : c L = capacité thermique de l eau liquide = 4,2 kj.k -1.kg -1 C g = capacité thermique de l eau glace = 2,1 kj.k -1.kg -1 L f = 334 kj.kg -1 Rép : 2 ) T 1 = 297K ; W = 46 J.kg -1 2 ) T 1 = 296K ; W = 3,5 kj.kg -1 3 ) T 1 = 296,3 K ; W = 198 J.kg -1 Th2 10 Etude d un moteur thermique (CCP) On étudie un moteur thermique au fonctionnement supposé réversible. Le fluide est de l eau et on a : P 1 = 40 bar et θ 1 = 250 C. P 2 = 0,5 bar et θ 2 = 45 C. A la sortie de la chaudière (point B), l eau est sous forme de vapeur saturante (P 1,T 1 ). Elle ressort du cylindre moteur (CM) dans un état diphasé C. Elle subit une liquéfaction partielle par le condenseur à P 2 et T 2 fixées (point D). Le compresseur adiabatique amène le fluide à l état liquide saturant A. chaudière CM compresseur condenseur La chaudière vaporise complètement l eau à P 1 et T 1 fixées (de A à B). 1 ) Déterminer le travail récupérable par kg d eau. 2 )Donner, également pour 1,kg d eau, les énergies fournies par la chaudière et le condenseur. 3 ) Déterminer les titres vapeur aux points C et D. Données : θ P sat (θ) (bar) h l (kj.kg -1 ) h g (kj.kg -1 ) s l (kj.kg -1 K -1 ) s g (kj.kg -1 K -1 ) 45 C 0,5 188 0,627 8,15 250 C 40 1083 2796 2,8 Th2 11 Détente isochore d une vapeur d eau saturante. Un récipient fermé et indéformable, de volume V = 1,00 l contient de la vapeur d eau saturante dans l état initial I (T I = 485 K, P s (T I ) = 20 bars, x vi = 1). On le met en contact avec un thermostat à température T 0 = 373 K. Déterminer l état d équilibre final F, le transfert thermique Q du point de vue de l eau, la variation d entropie de l eau, la variation d'entropie de l'univers au cours de la transformation. On donne ci-dessous des extraits des tables thermodynamiques de l eau : Liquide juste saturé x v = 0 Vapeur saturante sèche x v = 1 T(K) P(bar) v l (m 3.kg -1 ) h l (kj.kg -1 ) s l (kj.k -1.kg -1 ) v v (m 3.kg -1 ) h v (kj.kg -1 ) s v (kj.k -1.kg -1 ) 485 20 1,18.10-3 909 2,45 0,0998 2801 6,35 373 1 1,04.10-3 418 1,30 1,7 2676 7,36 Rép : x = 0,58
Th2 12 Etude expérimentale d'équilibres avec liquide ou - et - vapeur On enferme n moles d'eau dans un cylindre horizontal de longueur L = 2 m et de section σ =2000 cm 2, initialement vide. On le sépare en deux compartiments par un piston vertical placé initialement au milieu. L'ensemble étant thermostaté à T =293 K, on déplace le piston avec une vitesse supposée infiniment faible. Pour les différentes situations d'équilibre, on mesure la composante F de la force exercée par l'opérateur sur le piston suivant l'axe (Ox) orienté vers la droite. On obtient la courbe d'allure représentée ci-dessous: 1 ) On admet que les seuls états pouvant intervenir ici sont le liquide (incompressible de masse volumique ρ = 10 3 kg.m -3 et la vapeur (gaz parfait de masse molaire M =18 g.mol -1 ). On note P s la pression de vapeur saturante de l'eau. Interpréter le graphe et en déduire : - Les états physiques observés dans chaque compartiment. - L'allure de la courbe F pour x < 0. - Les expressions théoriques de F dans les différents domaines de x. - Les valeurs numériques de n et P s 2 ) Faire un bilan énergétique et entropique pour le contenu du cylindre sur une évolution A " B " D. L'enthalpie massique de vaporisation de l'eau à la température de travail vaut L v = 2455 kj.kg -1 3 ) Quelles allures de F(x) aurait-on eu pour d'autres valeurs de L, (les autres paramètres étant inchangés)? Th2 13 Climatiseur. On s'intéresse au fonctionnement d'un appareil de climatisation, dont le but est de maintenir une température constante (T 0 = 20 C) dans un local été comme hiver. Les transferts thermiques du climatiseur se font avec 2 sources : L'intérieur de la pièce (à T 0 ). L'atmosphère extérieure (on prendra T 1 = 0 C en hiver ; T 2 = 40 C en été ). Le fluide caloporteur qui effectue des cycles dans l'appareil est l'ammoniac. Ses caractéristiques thermodynamiques sont résumées dans le diagramme entropique T(S) joint où sont représentées : les isenthalpiques (H est donné en kj/kg) ; les isobares (représentées par dans le domaine «vapeur sèche» ). On donne, par ailleurs, les pressions de vapeur saturante P s (T) aux trois températures d'étude : P s (0 C) = 4,3 bars P s (20 C) = 8,2 bars P s (40 C) = 15 bars Par un jeu de vannes adéquat, le fluide peut circuler dans un sens ou dans l autre.
w et q représentent le travail et le transfert thermique utiles reçus par kilogramme de fluide traversant la partie active. Le fluide subit des échanges de chaleur isobares (sans recevoir de travail utile) dans les échangeurs E l et E 2 avec les 2 sources de chaleur (local et atmosphère extérieure). Un système de ventilation permet d'améliorer les échanges thermiques : la température du fluide est celle de la source d'échange à la sortie de chacun d'entre eux. Le compresseur comprime de manière adiabatique réversible le fluide à l'état gazeux de la plus faible à la plus forte pression. L'unité de masse de fluide traité y reçoit le travail utile w. Le fluide subit une détente adiabatique, sans échange de travail utile, dans le détendeur 1. Généralités 1-1- Comment réalise-t-on un détendeur (détente isenthalpique d'un fluide)? Quel autre nom porte une telle détente? 1-2- Le premier principe de thermodynamique est bien vérifié dans une partie active ; c'est pourtant Δh (et non Δu) qui est égal à (w + q)... Expliquer qualitativement (sans entrer dans le détail d'une démonstration) cette différence. 1-3- En supposant que l'ammoniac, à l'état gazeux dans le compresseur, est assimilable à un gaz parfait de coefficient adiabatique γ constant, exprimer le rapport T s /T e (des températures absolues de sortie et d'entrée dans le compresseur) en fonction de γ et P s /P e (rapport des pressions de sortie et d'entrée du compresseur). 1-4- Par lecture du graphe, déduire les chaleurs latentes massiques de vaporisation de l'ammoniac à 0 C, 20 C et 40 C. 2. Fonctionnement hivernal du climatiseur (chauffage) Dans ce cas : l'échangeur E l est un condenseur : l'ammoniac y entre en B sous forme de vapeur sèche ; il en ressort sous forme de liquide saturant en C, à la température T 0 du local ; l'échangeur E 2 est un évaporateur : le mélange liquide vapeur qui entre en D se vaporise totalement pour ressortir sous forme de vapeur saturante en A à la température de l'atmosphère extérieure T 1 = 0 C. 2-1- Tracer le cycle (en l'orientant) de l'ammoniac sur le diagramme entropique. Trouver graphiquement sa température T B à la sortie du compresseur. 2-2- Faire un bilan énergétique du cycle pour 1kg d'ammoniac traité. 2-3- Définir et calculer le coefficient de performance η du climatiseur. Quel intérêt présente une telle installation par rapport à un chauffage par chaudière? Quel serait le coefficient de performance si le fluide effectuait des cycles de Carnot en effectuant les échanges thermiques avec les mêmes sources de chaleur? En quoi le cycle effectué diffère-t-il d'un cycle de Carnot? 2-4- Quelle est la fraction massique de vapeur X D à la sortie du détendeur? 2-5- En utilisant le résultat de la question 1-3-, évaluer γ du gaz ammoniac. 3. Fonctionnement estival du climatiseur (rafraîchissement) Les rôles des 2 échangeurs sont inversés : E l est un évaporateur ; E 2 un condenseur. Tracer le cycle (orienté) de l'ammoniac sur le diagramme entropique. En déduire sa température T' A à la sortie du compresseur. Définir et calculer le nouveau coefficient de performance η' du climatiseur.
Th214 Liquéfaction de l azote. La figure ci-dessous représente le schéma de principe du procédé Linde-Hampson utilisé pour produire de l azote liquide (5). L azote sous forme vapeur, entre dans le compresseur dans l état 1 (P 1 = 1 bar ; T 1 = 290 K). Il y subit une compression isotherme réversible jusqu à l état 2 (P 2 = 200 bars). Il entre ensuite dans l échangeur où il est refroidi à pression constante (état 3) avant d être détendu jusqu à la pression atmosphérique (P 4 = P 5 = P 6 = 1 bar) dans le détendeur (état 4). Compresseur 1 Echangeur 2 3 Détendeur 6 4 Séparateur 5
L azote liquide est extrait du séparateur (état 5) tandis que la vapeur saturée sèche d azote (6) est utilisée pour refroidir l azote dans l échangeur. On admettra que cette vapeur est ramenée à l état 1 à la sortie de l échangeur. L étude de ce procédé de liquéfaction sera effectuée en utilisant les propriétés thermodynamiques réelles de l azote, lue sur le diagramme entropique joint. Ce diagramme représente des réseaux d isobares et d isenthalpes de l azote en portant en ordonnée, la température T (en K) et en abscisse l entropie massique s (en kj.kg -1.K -1 ). Dans tout l exercice, on négligera les variations d énergie cinétique et d énergie potentille de pesanteur du fluide. A - Question préliminaire Un fluide circulant en régime stationnaire dans une canalisation indéformable et adiabatique traverse un dispositif D avec lequel P e P s il peut échanger du travail et de l énergie thermique. D peut T e D T s représenter, par exemple, un compresseur qui fonctionne en v e v s plusieurs étapes (admission, compression, refoulement). On note T e, P e et v e la température, la pression et le volume massique du fluide à l entrée du dispositif. Les grandeurs de sortie sont notées T s, P s et v s. En appliquant le premier principe à un système que l on définira avec soin, montrer que : h s - h e = w + q où w et q représentent respectivement le travail et le transfert thermique massiques échangés par le fluide avec le dispositif D, et où h s et h e désignent respectivement l enthalpie massique du fluide à l entrée et à la sortie du dispositif. B - Etude de la compression Le compresseur est refroidi uniquement par l intermédiaire d un circuit d eau dans lequel celle-ci subit une augmentation de température de 15 C. La chaleur massique de l eau liquide est égale à 4,18.kJ.kg -1.K -1. 1 ) Placer les points 1 et 2 sur le diagramme entropique de l azote et lire les enthalpies et entropies massiques en ces points. 2 ) L azote peut-il être considéré comme un gaz parfait durant cette évolution? 3 ) Déterminer le transfert thermique que doit évacuer l eau de refroidissement par kilogramme d azote comprimé. En déduire le rapport du débit massique d azote comprimé (D 1 ) sur le débit massique d eau de refroidissement (D 2 ). 4 ) Déterminer le travail échangé par l unité de masse d azote entre l entrée et la sortie du compresseur. C - Etude de la liquéfaction Le détendeur ne fournit aucun travail à la masse de fluide qui le traverse. Le détendeur, le séparateur, l échangeur et tous les circuits de liaison sont supposés parfaitement calorifugés. 1 ) Déterminer la nature de la transformation dans le détendeur. 2 ) Tracer, sur le diagramme entropique de l azote, l isobare 1 bar dans le domaine liquide-vapeur. Placer les points 5 et 6 et lire leur entropie et enthalpie massiques. Vérifier la cohérence des lectures en calculant les différences d enthalpie et d entropie entre ces deux points. 3 ) Si on suppose qu on refroidit l azote jusqu à 140 K dans l échangeur, quelle est la proportion d azote liquide du mélange arrivant dans le séparateur?