Cours de Numération A). Introduction : I ). Généralités : Le système binaire (Base 2) a été conçu au 17 ème siècle par le mathématicien LEIBNITZ. Il présente l'avantage de ne comporter que deux symboles (0 et 1) qui traduisent l'absence ou la présence d'un signal électrique. II ). Définitions : Système binaire : Digit : Il utilise exclusivement les deux symboles 0 et 1. C'est un chiffre. Bit : (de Binary Digit : Chiffre Binaire) C'est la plus petite unité d'information binaire qui vaut 0 ou 1. ex: 1011 est un nombre de 4 bits. Mot Binaire : Poids : C'est un groupe de bits : Un mot de 4 bits s'appelle un Quartet. Un mot de 8 bits s'appelle un Octet (Byte). Un mot de 16 bits s'appelle un Mot (Word). Un mot de 32 bits s'appelle un Double Mot (Dword). C'est le coefficient attaché au rang d'un chiffre dans un système de numération. En numération binaire : On parle de bit de poids faible : c'est le bit le plus à droite (L.S.B. : Least Significant Bit en anglais). On parle de bit de poids fort : c'est le bit le plus à gauche (M.S.B. : Most Significant Bit en anglais). III ). Système quelconque : Pour une base B quelconque : N C m.b m C m-1.b m-1 1 0-1... C.B C.B,C. B 1 0 Numération 1 JFA10-1 C -2. B -2...
avec B : la base du système. B m : Le poids du coefficient Cm. C m : le coefficient compris entre 0 et B-1. Exemple : en base 10 N 10 = 54 = 5.10 1 + 4.10 0 Mais dans la pratique, la base est sous-entendue, et l'on se contente de juxtaposer les coefficients C m. Lorsque l'on utilise plusieurs systèmes de numération, on le distingue en précisant la base en indice. IV ). Système décimal : N B = C m C m-1...c 1 C 0,C -1 C -2... Le système décimal que nous employons utilise la base 10 donc les symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Un nombre N s'écrit avec une succession de chiffres qui représentent les coefficients des puissances de 10. Soit N=2345 10 ; à l'aide des puissances de 10, ce nombre s'écrit alors : N = 2345 10 N = 2000 + 300 + 40 + 5 N = 2.10 3 + 3.10 2 + 4.10 1 + 5.10 0 Pour un nombre quelconque en base 10, nous aurons l'expression : N = C m *10 m + C m-1 *10 m-1 +... + C 1 *10 1 + C 0 *10 0,C -1.10-1 + C -2.10-2... avec C m coefficient compris entre 0 et 9 pour la base 10. V ). Système binaire : La base du système binaire est la base 2. On utilise les chiffres : 0 et 1. L'écriture d'un nombre binaire est en fait une décomposition du nombre décimal en puissances de 2. Le comptage en binaire s'effectue de la même façon qu'en décimal. Un chiffre est augmenté de 1 quand tous les chiffres de poids inférieur sont à 1 (à 9 en base 10). Exemple : Décimal : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Binaire : 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 Numération 2 JFA10
Pour un nombre quelconque en base 2, nous aurons l'expression : N = C m *2 m + C m-1 *2 m-1 +... + C 1 *2 1 + C 0 *2 0,C -1.2-1 + C -2.2-2... avec C m coefficient compris entre 0 et 1 pour la base 2. B). Conversions : I ). Remarques : Codage : C'est une opération qui consiste à représenter, à traduire et à transcrire des informations à l'aide d'un code. Le système décimal est en général utilisé comme système de référence. Les systèmes les plus utilisés sont : Binaire (Base 2) Octal (Base 8) Décimal (Base 10) Hexadécimal (base 16). On utilise le terme de "CODAGE" pour le fait d'écrire un nombre décimal dans un système de numération quelconque. Réécrire ce nombre en décimal, c'est "DECODER". Passer d'une base quelconque à une autre base (différente de 10), c'est "TRANSCODER". II ). Conversion : 1 ). Conversion binaire-décimal : Il suffit d'appliquer la méthode générale, et ensuite d'effectuer la somme des différents termes. Soit = 1110 N = 1.2 3 + 1.2 2 + 1.2 1 + 0.2 0 N = 8 + 4 + 2 + 0 N 10 = 14 Exemples : M 2 = 11010 M = 1*2 4 + 1.2 3 + 0.2 2 + 1.2 1 + 0.2 0 M = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 M 10 = 26 P 2 = 1100111001 Numération 3 JFA10
P = 1.2 9 + 1.2 8 + 0.2 7 + 0.2 6 + 1.2 5 + 1.2 4 + 1.2 3 + 0.2 2 + 0.2 1 + 1.2 0 P = 512 + 256 + 0 + 0 + 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 P 10 = 825 O 2 = 11100,101 O = 1.2 4 +1.2 3 +1.2 2 +1.2-1 +1.2-3 O = 16 + 8 + 4 + 0,5 + 0,125 O 10 = 28,625 Question : Trouver le nombre maximal binaire que l'on peut représenter avec 4 bits? Solution : N max2 = 1111 = 1.23 + 1.22 + 1.21 + 1.20 = 15. 2 ). Conversion décimal-binaire : a ). Conversion par divisions successives : On divise le nombre décimal par 2 jusqu'à 0, et on ne prend que les restes en remontant. 25 10 = 11001 2 Exemples : 25 2 1 12 2 0 6 2 0 3 2 1 1 2 1 0 45 10 = 101101 2 625 10 = 1001110001 2 4592 10 = 1000111110000 2 ATTENTION : Pour obtenir le nombre binaire, surtout ne pas oublier que l'on remonte depuis la fin en prenant les restes. Pour les nombres à virgule, on multiplie par 2 la partie fractionnaire, et on lit dans l'ordre. Exemple : 21,625 10 = 10101,101 2 Numération 4 JFA10
Remarque : Pour les nombres à virgule, on le fait en deux fois : la partie entière avec la méthode précédente et la partie fractionnaire que l'on multiplie par 2, et on ne garde que la partie entière et l'on recommence avec la partie décimale. Et on lit le nombre binaire dans l'ordre. 0,375 x 2 = 0,75 > 0 0,75 x 2 = 1,5 > 1 0,5 x 2 = 1 > 1 0,375 10 = 0,011 2 b ). Conversion par approximations successives : Soit 11 10 à convertir en binaire, cherchons la plus haute puissance de 2 contenue dans ce nombre ; puis on le soustrait de celui-ci; et on recommence avec le reste jusqu'à 0. Et on met un 1 pour les puissances que l on a soustrait, et un 0 pour les autres. 11 10 8 => 2 3 3 2 => 2 1 1 1 => 2 0 0 donc 11 10 = 2 3 + 2 1 +2 0 = 1.2 3 + 0.2 2 + 1.2 1 + 1.2 0 = 1011 2 Exemples : 302 10 = 100101110 2 4492 10 = 1000110001100 2 23,9375 10 = 10111,1111 2 Autres exemples avec la méthode de votre choix : 54 10 = 110110 2 3192 10 = 110001111000 2 31,75 10 = 11111,11 2 III ). Synthèse : Coder en binaire les nombres : 5, 19, 56, 63, 111, 153, 185, 1985. 101 2, 10011 2, 111000 2, 111111 2, 1101111 2, 10011001 2, 10111001 2, 11111000001 2. Décoder les combinaisons suivantes : Numération 5 JFA10
M 2 = 10001001 => 137 10 = 11110100101 => 1957 10 O 2 = 111101101110 => 3950 10 C). Opérations Arithmétiques en Binaire : I ). L'addition : Quand on additionne deux nombres binaires, on obtient une retenue quand la somme d'une colonne est supérieure ou égale à 2 10. Table d'addition : 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 avec une retenue de 1 Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : Exemple 4 : Exemple 5 : II ). La soustraction : 111010 100100 10101010 100111 10101010 + 100110 + 011101 + 11011011 + 100101 + 01010101 1100000 1000001 + 11101110 + 001101 + 11001100 1001110011 + 110000 + 00110011 + 111111 + 11111111 11001000 1011111101 On effectue la soustraction de la même manière qu'en décimal, si le chiffre à soustraire est plus grand, on augmente le chiffre que l'on soustrait de 10, que l'on retranchera dans la colonne suivante. Table de soustraction : 0 0 = 0 0 1 = 1 avec une retenue de 1 1 0 = 1 1 1 = 0 Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : Exemple 4 : Exemple 5 : Exemple 6 : 1101 1100 1010 01000110 10111111 11110111 0101 0101 0111 00111001 00001011 00110101 1000 0111 0011 00001101 10010101 00110001 00011111 10010001 III ). La multiplication : Elle s'effectue de la même façon qu'en décimal. Table de multiplication : Numération 6 JFA10
0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : Exemple 4 : Exemple 5 : 1011 11011 10010111 10110111 1001,011 * 1101 * 01001 * 11111111 * 01100110 * 10100,11 1011 11011 10010111 10110111. 1001011 1011.. 11011... 10010111. 10110111.. 1001011. 1011... 11110011 10010111.. 10110111... 1001011... 10001111 10010111... 10110111... 1001011... 10010111... 100100011101010 11000010,10001 10010111... 10010111... 10010111... 10010111... 1001011001101001 Cas des multiples de 2 : Il suffit de mettre autant de 0 à droite du nombre que le poids de l'exposant du multiplicateur. IV ). La division : 10011 * 100 = 1001100 Elle s'effectue de la même façon qu'en décimal. Table de division : 0 0 =? Indéterminé 0 1 = 0 1 0 =? Indéterminé 1 1 = 1 Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : Exemple 4 : 100011 111 1110101 1101 101100111 1100 100011,10 101,01 111 101 1101 1001 1100 11101 10101 110,11 000111 0001101 010100 0011101 111 1101 1100 10101 0 0 010001 0100000 1100 10101 0010111 010110 1100 10101 01011 01 Cas des multiples de 2 : Il suffit de décaler autant de fois à gauche la virgule du nombre, que le poids de l'exposant du diviseur. 10011 / 100 = 100,11 Numération 7 JFA10
V ). Synthèse : Addition binaire : 1011 0111 + 1101 1111 1100 1011 + 1001 0110 0110 1111 + 1110 1110 Soustraction binaire : 1010 1101 1001 1111 1010 0100 0100 1001 1101 1011 0111 1111 Multiplication binaire : 1001 0110 * 1111 1011 Division binaire : 1011 1101 1110 0101 1010 1101 Numération 8 JFA10
VI ). Correction de la Synthèse : Addition binaire : 1011 0111 + 1101 1111 11001 0110 11001011 + 10010110 101100001 01101111 + 11101110 101011101 Soustraction binaire : 1010 1101 1001 1111 0000 1110 10100100 01001001 1011011 11011011 01111111 1011100 Multiplication binaire : 1001 0110 * 1111 1011 10010110 10010110. 10010110... 10010110... 10010110... 10010110... 10010110... 1001001100010010 Division binaire : 1011 1101 1110 0101 1010 1101 1010 1101 100011001 0001 0000 1110 1010 1101 1100001 0 1010 1101 10101 101 1010 1101 0 Numération 9 JFA10
VII ). Nombres signés : Il existe plusieurs représentations des nombres signés, c'est pourquoi il faut préciser quelle méthode on utilise. 1 ). Représentation module plus signe : C'est la méthode la plus simple, on ajoute un élément binaire au nombre pour la représentation du signe. On utilise la convention de signe suivante : 0 +, 1 et Le signe est placé à gauche du nombre. Exemple : 23 10 = 00010111 2 23 10 = 10010111 2 On remarque donc qu'il faut préciser le nombre de bits sur lequel on travaille pour pouvoir interpréter le nombre. Si on travaille sur n+1 bits, alors on pourra représenter un nombre N tel que : (2 n 1) <= N <= 2 n 1 Exemple : si n=3 alors 7 <= N <= 7 Inconvénient : 7 0111 7 1111 6 0110 6 1110 5 0101 5 1101 4 0100 4 1100 3 0011 3 1011 2 0010 2 1010 1 0001 1 1001 0 0000 0 1000 Signe Nombre Signe Nombre Il existe 2 représentations différentes du nombre 0. 2 ). Représentation en complément à 2 : C'est la représentation la plus courante car c'est celle que les microprocesseurs utilisent. a ). Complément à 1 : Pour obtenir le complément à 1, il suffit de changer les 0 en 1,et inversement les 1 en 0. N10 14 10 alors en base 2 00001110 11110001 N 00001110 2 Numération 10 JFA10
b ). Complément à 2 : Pour obtenir le complément à 2, il suffit d'ajouter 1 au complément à 1. N10 14 10 alors en base 2 00001110 11110001 1 11110010 On peut donc utiliser cette méthode pour obtenir des nombres signés. Le M.S.B. est toujours représentatif du signe. Si on travaille sur n+1 bits, alors on pourra représenter un nombre N tel que : 2 n <= N <= 2 n 1 Exemple : si n=3 alors 8 <= N <= 7 Remarque : 0 0000 1 0001 1 1111 2 0010 2 1110 3 0011 3 1101 4 0100 4 1100 5 0101 5 1011 6 0110 6 1010 7 0111 7 1001 Signe Nombre 8 1000 Signe Nombre On a ainsi supprimé la double représentation du 0; mais le nombre 2 n n'a pas de complément. On remarque que l on doit travailler sur un nombre de bits fixes. On travaillera alors pour la suite avec des nombres de 8 Bits (7 Bits + 1 Bit de signe). c ). Opérations : Additions : ATTENTION : 01101100 108 + 00001111 + 15 01111011 123 01101100 108 + 11010011 +( 45) 100111111 63 Il faut enlever le bit de poids fort pour obtenir le résultat, si il dépasse le nombre de bits donné. Numération 11 JFA10
01101100 108 + 00101101 +( 45) 10011001 153 Par contre si l'on fait la somme de 2 nombres positifs, le résultat doit être positif. Donc si le 8 ème bit est à 1, on a un dépassement et le bit de gauche est une retenue, ce n est pas le bit de signe. Soustractions : 01101100 108 00001111 15 01011101 93 D). Codes : 01101100 108 00101101 (45) 00111111 63 Par contre si l'on fait la soustraction d un nombre négatif et d un nombre positif, et que le résultat est positif, alors qu il devrait être négatif, alors on a un dépassement. 10010100 108 00101101 (+ 45) 01100111 153 En fait le 0 qui est à gauche du nombre correspond à 1+1, soit un 8 éme bit à 1 (donc une retenue qui vaut 128 10 ), plus le bit de signe négatif à 1. Pour des besoins de transmissions, de visualisation ou pour résoudre des problèmes d'aléas, on est amené à créer un nombre important de codes. I ). Code binaire naturel (base 2) ou code 1248 : C'est le binaire Pur. Numération 12 JFA10
Décimal º Binaireº 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 16 10000 II ). Code binaire réfléchi ou code GRAY : Si on utilise le binaire pur pour effectuer un comptage, on risque d'avoir des problèmes de comptage dus au nombre de chiffres qui changent en même temps. 7 (0111) > 8 (1000) 0111 > 0110 > 0100 > 0000 > 1000 On a donc crée le code GRAY où un seul chiffre change à chaque fois. On le construit par blocs miroirs. On pose 0 1, on met un miroir (barre rouge), on recopie les chiffres placés avant le mirroir, après le mirroir, puis on met des 0 à gauche des nombres avant le miroir et des 1 à gauche des nombres après le miroir, et ainsi de suite Numération 13 JFA10
Construction Décimal º Grayº 000 0 0 001 1 1 011 2 11 010 3 10 110 4 110 111 5 111 101 6 101 100 7 100 8 1100 9 1101 10 1111 11 1110 12 1010 13 1011 14 1001 15 1000 16 11000 III ). Code B.C.D. (Binary coded decimal) ou D.C.B. (Décimal codé binaire) C'est la traduction en binaire de chaque chiffre décimal. Chaque chiffre est exprimé séparément par un demi-octet (quartet - 4 bits). L'utilisation de ce code est d'un usage important, car chaque fois que l'on veut visualiser un nombre sur des afficheurs, il suffit d'écrire ce nombre en D.C.B. et de le relier sur les afficheurs. Ce code est donc utilisé dans tous les systèmes d'affichage de chiffres décimaux (Multimètres, Fréquencemètres Horloges...). Décimal º B.C.D 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 10 0001 0000 11 0001 0001 12 0001 0010 13 0001 0011 14 0001 0100 15 0001 0101 16 0001 0110 Numération 14 JFA10
1 ). Additions : 18 0001 1000 + 5 + 0000 0101 23 0001 1101 + 0110 0010 0011 2 3 Pour obtenir un résultat correct, il faut ajouter 6 si le quartet (4 bits) est supérieur à 9, et/ou si on a eu une retenue vers le bloc de 4 bits de gauche et ainsi de suite. a ). Exemples : 265 0010 0110 0101 + 975 + 1001 0111 0101 1240 1011 1101 1010 + 0110 1110 0000 + 0110 1100 0100 + 0110 1 0010 0001 0010 0100 0000 1 2 4 0 999 1001 1001 1001 + 299 + 0010 1001 1001 1298 10010 + 0110 1 1000 10011 + 0110 1 1001 1100 + 0110 1 0010 0001 0010 1001 1000 1 2 9 8 999 1001 1001 1001 + 199 + 0001 1001 1001 + 999 + 1001 1001 1001 2197 1 1011 + 0110 1 0001 1 1101 + 0110 + 0110 0111 1 0011 0101 + 0110 + 0110 1001 1 1011 + 0110 1 0010 0001 0010 0001 1001 0111 2 1 9 7 Numération 15 JFA10
IV ). Code avec parité : 897 1000 1001 0111 + 924 + 1001 0010 0100 + 333 + 0011 0011 0011 + 227 + 0010 0010 0111 2381 1 0101 + 0110 1011 + 0110 1 0001 1 0010 1 0111 + 0110 + 0110 1000 1101 + 0110 1 0011 0010 0010 0011 1000 0001 2 3 8 1 C est un code binaire pur auquel on rajoute un bit de parité pour savoir si la transmission s est bien éffectuée sans erreur. On a deux possibilités de parité : La parité paire : Dans le cas de la parité paire, on compte le nombre de 1 contenu dans le nombre y compris le bit de parité, et ce nombre doit être pair. Sur 8 bits : 108 10 = 01101100 2 = 001101100 2PP 100 10 = 01100100 2 = 101100100 2PP La parité impaire : Dans le cas de la parité impaire, on compte le nombre de 1 contenu dans le nombre y compris le bit de parité, et ce nombre doit être impair. Sur 8 bits : 108 10 = 01101100 2 = 101101100 2PI 100 10 = 01100100 2 = 001100100 2PI V ). Code hexadécimal (base 16) : En base 16 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. C'est le code utilisé pour représenter les instructions d'un microprocesseur. Numération 16 JFA10
1 ). Conversions : Décimal Hexadécimal 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F 16 10 Passage de la base 16 à la base 10 : On utilise la formule générale. Exemple : BF 16 = 11.16 1 + 15.16 0 = 11*16 + 15 = 176 + 15 = 191 10 Passage de la base 10 à la base 16 : On utilise les mêmes méthodes que pour la base 2. Exemple : 250 10 250 16 A 10 15 16 F 15 0 250 10 = FA 16 2 ). Addition : 1F 19 3DE + AC + B9 + 4AC CB D2 88A 1BD FE10A 6CA8D + 789 + 9FA10 + 12A0D + DEF + 1FCDF + ABCDF 1735 1BD7F9 + F28DD 21DA56 Numération 17 JFA10
3 ). Soustraction : 87 ABC EDF AE7F 3A 9AD DF3 1F4C 4D 10F 0EC 3D64 51CF 4 ). Multiplication : Table de multiplication : U\D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 5 0 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 6 0 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 9 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 B 0 B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1 2A 2A A3F A9B1 FAB1 * 1F * 1E * E68 * F310 * BC2F 276 24C 51F8 0000 EB05F 2A. 2A. 3D7A. A9B1. 1F562. 516 4EC 8F72.. 1FD13.. BC04C.. 939B98 9F15F... AC59B... A11D9E10 B848027F Numération 18 JFA10
Table de multiplication : U\D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Table de multiplication : U\D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 5 0 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 6 0 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 9 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 B 0 B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1 Numération 19 JFA10
E). Passage de la base 2m vers la base 2n: I ). Passage de la base 2 vers la base 8 (23) : Comme 8 = 23 il suffit de regrouper le nombre en base 2 par paquets de 3 en partant des unités, et de coder chaque paquet en base 8. = 010111110101 = 010 111 110 101 N 8 = 2 7 6 5 N 8 = 2765 II ). Passage de la base 8 vers la base 2 : Il suffit de décomposer chaque chiffre en base 2 sur 3 bits. N 8 = 2456 = 010 100 101 110 = 010100101110 III ). Passage de la base 2 vers la base 16 (2 4 ): Comme 16 = 2 4 il suffit de regrouper le nombre en base 2 par paquets de 4 en partant des unités, et de coder chaque paquet en base 16. = 01011111010101101000 = 0101 1111 0101 0110 1000 N 16 = 5 F 5 6 8 N 16 = 5F568 IV ). Passage de la base 16 vers la base 2 : Il suffit de décomposer chaque chiffre en base 2 sur 4 bits. N 16 = FA830 = 1111 1010 1000 0011 0000 = 11111010100000110000 Numération 20 JFA10
V ). Passage de la base i vers la base j : 1 ). i et j ne sont pas des puissances de 2 : Alors on se servira de la base 10 comme base intermédiaire. On passe de la base i à la base 10. Ce nouveau résultat est ensuite converti en base j. Exemple : 25 7 en base 4 25 7 = 2*7 1 + 5*7 0 = 14 + 5 = 19 10 19 10 = 16 + 3 = 1*4 2 + 3*4 0 = 103 4 2 ). i et j sont des puissances de 2 : On se servira alors de la base 2 comme base intermédiaire. On passe de la base i en base 2, puis de la base 2 en base j. Exemple : 19 16 en base 4 19 16 = 00011001 2 00011001 2 = 0121 4 Numération 21 JFA10
Exercices de Synthèse 1 ). Conversion Binaire-Décimale : 11101110 2 111011110010 2 11011,11001 2 11011001,11011001 2 2 ). Conversion Décimale-Binaire : 125 10 1024 10 5632 10 65005,375 10 999,3828125 10 3 ). Opérations : 11011001,1001 10010011,1110 + 11001101,0010 + 01111101,1001 11000101,0110 10010001-10111001,1111-01110110 10010011,1011 10011100 * 11111,111 * 1000 10001111 101 11110101 100 4 ). Opérations en nombres signés sur 8 bits en complément à 2 : 00110101 01111010 + 01001011 + 10001011 01101100 11110001-10011010 - 10001000 Numération 22 JFA10
10010110 * 00010110 01110010 00001010 5 ). Opérations en B.C.D. : 312 10 7895 10 234 10 + 522 10 + 1592 10 + 987 10 + 798 10 + 899 10 6 ). Opérations en Hexadécimal : FEDCBA 123ABD + 012345-0F1D2C FED ABCDE * ABC * 12345 7 ). Conversions : Convertir les nombres hexadécimaux suivants : FDEB; 1234; 55AA; 789A En base 2, 4, 8. Numération 23 JFA10
CORRECTION DE LA SYNTHESE 1 ). Conversion Binaire-Décimale : 11101110 2 111011110010 2 11011,11001 2 11011001,11011001 2 2 ). Conversion Décimale-Binaire : 238 10 3826 10 27,78125 10 217,84765625 10 125 10 1024 10 5632 10 65005,375 10 999,3828125 10 1111101 2 10000000000 2 1011000000000 2 1111110111101101,011 2 1111100111,0110001 2 3 ). Opérations : 11011001,1001 10010011,1110 10010001 + 11001101,0010 + 01111101,1001-01110110 110100110,1011 100010001,0111 00011011 11000101,0110 10011100 10010011,1011-10111001,1111 * 1000 * 11111,111 00001011,0111 10011100000 1001001100011,1000101 10001111/101 11110101/100 = 11100 = 111101,01 4 ). Opérations en nombres signés sur 8 bits en complément à 2 : 00110101 01111010 01101100 11110001 + 01001011 + 10001011-10011010 - 10001000 100000000 100000101 Impossible Impossible 5 ). Opérations en B.C.D. : 10010110*10010110 01110010/10000010 impossible impossible 312 10 0011 0001 0010 7895 10 0111 1000 1001 0101 234 10 + 522 10 + 0101 0010 0010 + 1592 10 + 0001 0101 1001 0010 + 987 10 834 10 1000 0011 0100 9487 10 + 798 10 + 899 10 2918 10 Numération 24 JFA10
234 10 0010 0011 0100 + 987 10 + 1001 1000 0111 + 798 10 + 0111 1001 1000 + 899 10 + 1000 1001 1001 2918 10 0010 1001 0001 1000 6 ). Opérations en Hexadécimal : FEDCBA 123ABD FED ABCDE + 012345-0F1D2C * ABC * 12345 FFFFFF 31D91 AAF40C C379541D6 7 ). Conversions : Convertir les nombres hexadécimaux suivants en base 2,4,8 FDEB; 1234; 55AA; 789A FDEB 16 1111110111101011 2 33313223 4 176753 8 1234 16 1001000110100 2 1020310 4 11064 8 55AA 16 101010110101010 2 11112222 4 52652 8 789A 16 111100010011010 2 13202122 4 74232 8 Numération 25 JFA10