Circuits électriques dans l approximation des régimes quasi-stationnaires

Circuits électriques dans l approximation des régimes quasi-stationnaires Introduction historique...3 I Intensité du courant électrique...4 1 Définition du courant électrique...4 2 Courant électrique et porteurs de charge...4 3 Définition de l intensité du courant...5 4 Ordre de grandeur...5 5 Mesure de l intensité (voir annexe 2 et TP)...5 II Tension et potentiel...5 1 Définition...5 2 Ordre de grandeur...5 3 Masse d un circuit...6 4 Mesure d une tension (voir annexe 2 et TP)...6 III Approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS)...6 1 Définitions...6 2 Conditions d application de l ARQS...6 IV Les lois de Kirchhoff...7 1 Qu est ce qu un réseau?...7 2 Intensité dans une branche (ou dans un circuit série)...7 3 Tension aux bornes de deux dipôles en dérivation...7 4 La loi des nœuds...7 5 La loi des mailles et la loi d additivité des tensions...7 V Dipôles passifs linéaires fondamentaux...8 1 La convention récepteur...8 2 Puissance dissipée dans un récepteur...8 3 Conducteur ohmique ou résistance (ou résistor)...8 4 Le condensateur...8 5 La bobine...8 1 / 16

VI Sources de tension et de courant...9 1 La convention générateur...9 2 Puissance fournie par un générateur...9 3 Source de tension idéale et source de tension réelle...9 4 Source idéale de courant...9 5 Caractéristiques et point de fonctionnement...9 VII Quelques théorèmes utiles...9 1 Pont diviseur de tension...9 2 Pont diviseur de courant... 10 3 Loi de Pouillet dans un circuit série (hors programme)... 10 VIII Resistances d entrée et de sortie (voir TP et TD)... 11 1 Resistance d entrée... 11 2 Resistance de sortie... 11 IX Exercices... 11 1 Caractéristique... 11 2 Résistances équivalentes... 11 3 Résistances d entrée et de sortie... 12 4 Point de fonctionnement d un électrolyseur... 13 5 Exercice de rapidité... 13 ANNEXE 1 : analogie hydraulique... 14 ANNEXE 2 : le multimètre... 15 1 Le voltmètre... 15 2 L ampèremètre... 16 3 L ohmmètre... 16 L électrocinétique est l étude du déplacement des charges électriques dans les milieux matériels. L étude pratique des circuits électriques consiste à adopter des modèles simples traduisant le comportement électrique microscopiques des composants dans les circuits. 2 / 16

Introduction historique Dans l Antiquité XVI e siècle XVII e siècle XVIII e siècle XIX e siècle XX e siècle Premières observations des propriétés électriques de la matière (foudre et électrisation par frottement...) On commence à classifier les objets selon leurs propriétés électriques (conducteurs et isolants) Les premières machines capables de produire de l'électricité par frottement apparaissent Caractérisation d'un état d'électrisation par un paramètre appelé «charge électrique» q 1745 : bouteille de Leyde (condensateurs pour stocker de l électricité) Loi d'interaction de coulombienne en 1/r 2 entre deux charges. 1800 : Volta fabrique la première pile 1827 : Ampère formalise le lien entre électricité et magnétisme 1827 : loi d Ohm 1845 : lois de Kirchhoff 1883 : théorème de Thevenin développement des semi conducteurs, de l électronique, supraconductivité, nanophysique... Benjamin Franklin (1706 1790) Charles de Coulomb (1736 1806) Alessandro Volta (1745 1827) André Marie Ampère (1775 1836) Georg Simon Ohm (1789 1854) Gustav Robert Kirchoff (1824 1887) 3 / 16

I Intensité du courant électrique 1 Définition du courant électrique Un courant électrique est un déplacement ordonné de particules chargées. Arbitrairement, le sens conventionnel du courant a été choisi de la borne + du générateur vers sa borne (à l extérieur du générateur) : il représente le sens de déplacement des charges positives. Qu est ce qu une charge électrique? Charge électrique = notion abstraite, comparable à celle de la masse, qui permet d'expliquer certains comportements. Contrairement à la masse, la charge électrique peut prendre deux formes appelées + et. Deux charges de même nature se repoussent, alors que deux charges de nature opposée s'attirent. Charge électrique = propriété fondamentale de la matière qui lui permet d'interagir par le biais de champs électromagnétiques. L'interaction électromagnétique est l'une des quatre interactions fondamentales. La charge électrique q peut être directement mesurée avec un électromètre. Son unité est le coulomb (C). Les particules observées possèdent des charges qui sont des multiples entiers de la charge élémentaire e = 1,60 x 10-19 C qui est une constante physique fondamentale. La nature discrète de la charge électrique a été mise en évidence dans l'expérience de Millikan. Durant une expérience, la charge électrique est toujours conservée. Par exemple : - conservation de la charge électrique en chimie : CH 3 COOH + HO - CH 3 COO - + H 2 O 14 13 0 - conservation de la charge lors des transformations nucléaires : 6 C 7N 1e - conservation de la charge lors de la décharge d'un condensateur : 2 Courant électrique et porteurs de charge Dans les métaux : les porteurs de charge sont les électrons libres : chaque atome du métal libère un ou deux électrons qui peuvent se propager librement dans le métal. C est ce qui se passe dans tous les fils électriques. La vitesse d agitation thermique d un électron est de l ordre de 100 km.s -1 ; la vitesse de déplacement d un électron le long d un fil est de l ordre de 0,1 mm.s -1 ; mais la vitesse de propagation d un signal électrique le long d un fil (par exemple l information de début de l'instauration du courant, de la modification de ce courant,) est de l ordre de c = 3.10 5 km.s -1. Dans les liquides : les porteurs de charge sont les cations (ions +) et les anions (ions -). Dans les gaz : il peut y avoir ionisation d une partie du gaz dans certaines conditions (plasma : étoiles, ionosphère, éclairs, lampe à vapeur de Na, tube au néon). Les porteurs de charge sont les ions. Dans les semi-conducteurs : les porteurs de charge sont les électrons libres (charge -) et les trous (charge +). C est ce qui se passe dans tous les composants électroniques des processeurs (ordinateurs, téléphones portables, etc.). 4 / 16

3 Définition de l intensité du courant 4 Ordre de grandeur en électronique (ordinateurs, téléphones portables) : 10 ma en TP : 100 ma dans une maison : 50 A dans le moteur d un TGV 500 A dans un éclair : 50 ka (mais très bref) 5 Mesure de l intensité (voir annexe 2 et TP) L intensité du courant électrique se mesure avec un ampèremètre branchée en série. L intensité i est une grandeur algébrique (les circuits électriques sont orientés). L intensité i mesurée est celle qui sort par la borne COM de l ampèremètre. L intensité qui rentre par la borne COM est - i. La résistance d un ampèremètre est quasiment nulle mais nous nuancerons cela en TP et en TD. II Tension et potentiel 1 Définition Le mouvement des charges qui constitue le courant électrique est provoqué par un déséquilibre de nature électrique. On définit en tout point du circuit un potentiel électrique V(M) qui caractérise l état électrique en ce point M. 2 Ordre de grandeur en électronique (ordinateurs, téléphones portables) : qq V en TP : qq V ; dans une maison : 230 V dans un éclair : 500 MV. 5 / 16

3 Masse d un circuit Masse signal : référence des potentiels d un circuit (souvent considérée comme nulle). Symbole : «Terre» : c est un point de potentiel constant. La carcasse métallique d un appareil électrique ayant vocation à être reliée à la terre par l intermédiaire de la prise de terre et la Terre étant conventionnellement au potentiel nul, la carcasse électrique peut servir de référence des potentiels. Symbole : 4 Mesure d une tension (voir annexe 2 et TP) Une tension électrique se mesure avec un voltmètre branché en dérivation. La tension est une grandeur algébrique. Le voltmètre mesure la tension U = V + - V COM. La résistance d un voltmètre est quasiment infinie mais nous nuancerons cela en TP et en TD. III Approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) 1 Définitions On parle de régime continu (ou stationnaire ou permanent) lorsque les grandeurs (intensité, courant, charge) sont indépendantes du temps. On note de telles grandeurs par des majuscules : I, U AB, Q Un réseau électrique fonctionne en régime variable (régime sinusoïdal, régime transitoire) lorsque les grandeurs qui lui sont associées varient au cours du temps (i(t), u(t), q(t)). 2 Conditions d application de l ARQS Soit le circuit ci-contre. Le condensateur C est initialement déchargé. Après la fermeture de l interrupteur K, les ampèremètres vont-ils indiquer, à chaque instant, la même valeur de l intensité? En toute rigueur non. Car l expérience montre que l intensité i (la tension u, et toutes leurs manifestations) sont des grandeurs qui se propagent avec une vitesse énorme certes (v c = 3 10 8 m.s 1 ) mais une vitesse finie. Ainsi, en toute rigueur, i N (t) est en retard sur l intensité i M (t) : i N (t) = i M (t τ ), où τ est la durée de propagation du signal électrique de M à N. Pourtant, en régime variable (sinusoïdal le plus souvent) nous considérerons que l intensité est la même en tous points d une même branche, sous certaines conditions D où la question : à quelle condition peut-on parler de l intensité i dans une branche d un circuit, c està-dire, à quelle condition a-t-on : i M (t) i N (t)? Réponse : Une étude complète nécessite le cadre de l électromagnétisme et sera abordée en Math. Spé. Mais nous pouvons retenir que cela nécessite que la durée de propagation τ = MN / c soit négligeable devant les durées caractéristiques du régime étudié (temps de relaxation lorsque le signal est transitoire, ou période lorsque le signal est périodique). L approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) revient à négliger tous les effets liés à la propagation des signaux électromagnétiques sous forme de tension ou de courant. Alors, l intensité est la même en tous les points d une branche d un circuit : i M (t) = i N (t) = i(t) 6 / 16

Conditions de l ARQS pour un signal sinusoïdal : Conclusion : IV Les lois de Kirchhoff Ce sont les lois fondamentales de l électrocinétique traduisant la conservation de la charge et l existence du potentiel électrique. On les utilise après avoir orienté arbitrairement les tensions (algébriques) et les intensités (algébriques) du réseau. 1 Qu est ce qu un réseau? On appelle dipôle un élément de circuit électrique communiquant avec le reste du circuit par deux bornes ou pôles. Le comportement d'un dipôle peut être décrit par une courbe caractéristique I = f(u) ou U = f(i). On distingue les dipôles actifs et les dipôles passifs. On appelle réseau un ensemble de dipôles reliés entre eux par des fils conducteurs de résistance négligeable. On appelle branche d'un réseau un ensemble de dipôles reliés en série. On appelle nœud d'un réseau un point commun à au moins trois branches. On appelle maille d'un réseau un ensemble de branches formant un circuit fermé dans lequel chaque nœud n'est rencontré qu'une fois. 2 Intensité dans une branche (ou dans un circuit série) 3 Tension aux bornes de deux dipôles en dérivation 4 La loi des nœuds 5 La loi des mailles et la loi d additivité des tensions 7 / 16

V Dipôles passifs linéaires fondamentaux 1 La convention récepteur 2 Puissance dissipée dans un récepteur 3 Conducteur ohmique ou résistance (ou résistor) 4 Le condensateur Qu est ce qu un condensateur? Ordre de grandeur : «Loi d Ohm» pour le condensateur : Énergie stockée dans un condensateur : 5 La bobine Qu est ce qu une bobine? Ordre de grandeur : «Loi d Ohm» pour la bobine : Énergie stockée dans une bobine : 8 / 16

VI Sources de tension et de courant 1 La convention générateur 2 Puissance fournie par un générateur 3 Source de tension idéale et source de tension réelle 4 Source idéale de courant 5 Caractéristiques et point de fonctionnement Quand un générateur débite dans une charge, leurs bornes sont communes et ils sont traversés par le même courant. Ils ont donc le même point de fonctionnement : même tension aux bornes et même intensité. Les coordonnées (U M ; I M )) du point de fonctionnement sont celles de l'intersection M des caractéristiques du générateur et de la charge. Voir exercice 4. VII Quelques théorèmes utiles 1 Pont diviseur de tension 9 / 16

Démonstration : 2 Pont diviseur de courant Démonstration : 3 Loi de Pouillet dans un circuit série (hors programme) Démonstration : 10 / 16

VIII Resistances d entrée et de sortie (voir TP et TD) 1 Resistance d entrée Considérons un dispositif électrique quelconque qui reçoit un signal électrique. i E (t) u E (t) Entrée Dispositif On peut définir sa résistance d entrée par : (noter que le dispositif est en convention récepteur). u E RE. C est la résistance équivalente vue de l extérieur. ie On verra en TD et en TP que, pour un oscilloscope ou un multimètre, cette résistance d entrée modifie légèrement le signal qu il est censé mesurer (pour un oscillosope : Re 1 M). 2 Resistance de sortie Considérons un dispositif électrique quelconque qui produit un signal électrique. i S (t) Dispositif Sortie u S (t) On peut définir sa résistance de sortie par : u RS i (noter que le dispositif est en convention récepteur). S S. C est la résistance équivalente vue de l extérieur On verra en TD et en TP que, pour un générateur, cette résistance de sortie modifie légèrement le signal qu il est censé produire par sa source de tension idéale (pour un générateur de TP : Rs 50 ). IX Exercices 1 Caractéristique 1- A quel dipôle la caractéristique I = f (U) ci-contre correspond-elle? Justifier. 2- Déterminer la valeur de la résistance R du dipôle. 3- Sur le même graphe, tracer la caractéristique d'un dipôle de résistance R = 10 Ω. 2 Résistances équivalentes Calculer les résistances équivalentes entre les points A et B des regroupements de résistances cidessous. 11 / 16

3 Résistances d entrée et de sortie 1. Étudions le circuit dans lequel un générateur idéal (assimilé à une source de tension idéale E = 15 V) alimente une résistance d utilisation R u (figure 1) : i 0 Figure 1 R u R u 1 Figure 2 E u 0 u E r i 1 Déterminer littéralement la tension u 0 aux bornes de la résistance R u et l intensité i 0 qui la traverse. Applications numériques : - pour R u = 100, on calcule i 0 = 0,15 A - pour R u = 5,0 k on calcule i 0 = 0,0030 A = 3,0 ma 2- En réalité, le générateur réel est constitué d une source de tension idéale E = 15V et d une résistance interne (dite «résistance de sortie») r = 50. Ce générateur réel alimente la résistance R u (figure 2). Déterminer littéralement l intensité i 1 qui traverse R u. Applications numériques : - pour R u = 100, on calcule i 1 = 0,10 A - pour R u = 5,0 k on calcule i 1 = 2,97 ma 3- Pour mesurer l intensité i 1, on branche un multimètre (de résistance d entrée R a = 10 sur l entrée ampèremètre) en série sur la résistance (figure 3). ampèremètre Figure 3 E r R a i 2 R u u 2 Déterminer littéralement l intensité i 2 qui traverse R u. Applications numériques : - pour R u = 100, on calcule i 2 = 0,094 A - pour R u = 5,0 k on calcule i 2 = 2,96 ma Calculer Δi / i 1 = (i 2 - i 1 ) / i 1 pour les deux valeurs de R u afin de comparer les valeurs de l intensité i 2 mesurées par l ampèremètre à celles de la véritable valeur i 1. Dans quel cas la résistance d entrée (aussi appelée résistance interne) de l ampèremètre peut-elle être négligée? Justifier. 4- On considère de nouveau un générateur idéal (constitué seulement d une source de tension idéale E) qui alimente deux résistances d utilisation R u en série (figure 4). E i 3 R u R u u 3 E i 4 R u R u u 4 R e voltmètre Figure 4 Figure 5 12 / 16

a- Déterminer littéralement la tension u 3 et calculer la valeur de u 3. b- Pour mesurer la tension u 3, on branche un multimètre (de résistance d entrée R e = 1,0 M sur l entrée voltmètre) en parallèle sur la résistance (figure 5). Déterminer littéralement la tension u 4 (penser aux résistances équivalentes). Applications numériques : - pour R u = 100 k, on calcule u 4 = 7,14 V - pour R u = 5,0 k on calcule u 4 = 7,48 V c- Dans quel cas la résistance d entrée (appelée aussi résistance interne) du voltmètre peut-elle être négligée? Justifier. 4 Point de fonctionnement d un électrolyseur Déterminer l intensité qui traverse l électrolyseur (dont on donne la caractéristique statique ci-dessous, avec V E = 1,0 V et R E = 10 Ω, et la tension à ses bornes lorsqu on le relie à une pile E = 5 V et r = 5 Ω : - par une méthode graphique sur du papier quadrillé ; - de façon littérale, puis numérique, en supposant (et en vérifiant à la fin) que le point de fonctionnement se situe dans la partie de droite de la caractéristique : u > V E ). 5 Exercice de rapidité Pour chacun des circuits ci-dessous, déterminer la grandeur demandée par la méthode la plus rapide. Données : E = 9,0 V ; η = 5,0 A ; R = 100 Ω Réponses (avec 2 chiffres significatifs) : a) I = 75 ma ; b) U = 6,0 V ; c) U = 1,0 x 10 3 V ; d) I 41 ma ; e) I = 10 ma ; f) I = 1,0 A ; g) I = 1,6(5) x 10 2 ma ; h) U 2,7 x 10 2 V 13 / 16

ANNEXE 1 : analogie hydraulique Attirons l attention sur le fait qu il est capital de ne pas confondre les deux notions radicalement différentes que sont l intensité et la tension. L analogie avec la rivière est à retenir car elle permet de bien voir la différence : le débit d un fleuve est complètement différent du dénivelé. L intensité est analogue au débit de la rivière, le potentiel électrique à la hauteur et la tension à la différence de hauteur (dénivelé). Remarquons qu il vaut mieux comparer un circuit électrique (qui est fermé) avec une rivière artificielle de kayak qui utilise une pompe afin de remonter l eau (rôle jouer par le générateur qui «remonte» le potentiel électrique qui sinon ne fait que décroitre à l extérieur du générateur). La composition des tensions apparaît de façon assez évidente sur le graphe ci-dessus. Et comme le montre l analogie hydraulique, il faut définir une référence (arbitraire) des potentiels (de la même façon que l on peut définir une référence arbitraire des altitudes) ; c est la masse du circuit. On voit aussi que les grandeurs i et u sont des grandeurs algébriques. L intensité identique en tout point d un circuit série et la loi des nœuds (cas d une dérivation) se comprennent aussi avec l analogie hydraulique. Malheureusement cette analogie n est pas parfaite et ne permet notamment pas de comprendre le comportement des condensateurs, bobines, diodes, etc. Elle est donc à utiliser uniquement pour appréhender les notions d intensité et de tension mais ne doit pas être mentionnée dans une copie. 14 / 16

ANNEXE 2 : le multimètre En régime continu (utilisation d une alimentation stabilisée), il faut choisir le mode DC (ou ) afin de mesurer la grandeur continue U ou I. En régime sinusoïdal (utilisation d un GBF), il faut choisir le mode AC afin de mesurer la grandeur dite efficace U eff ou I eff (voir plus tard dans l année). curseur permettant de choisir le mode AC ou DC, le type d utilisation (voltmètre, ampèremètre ou ohmmètre) ainsi que le calibre. La précision de la mesure dépend du calibre choisi. L unité de la mesure est celle du calibre sélectionné. bornes de branchement (V,Ω et COM pour le voltmètre ; ma et COM pour l ampèremètre s il mesure des courants de l ordre du ma ; A et COM pour l ampèremètre s il mesure des courants de l ordre de l A ; V,Ω et COM pour l ohmmètre). 1 Le voltmètre Une tension électrique se mesure avec un voltmètre branché en dérivation. La tension est une grandeur algébrique. Le voltmètre mesure la tension entre sa borne appelée + et sa borne appelée COM : U mesurée = V + - V COM. + - U U mesurée = U Cas où la tension mesurée est COM Afin de mesurer une tension positive, la borne COM du voltmètre doit se situer du côté de la borne du générateur. Lorsqu on peut considérer le voltmètre comme idéal, le voltmètre a une résistance d entrée quasiment infinie : il est équivalent à un interrupteur ouvert (le courant qui le traverse à une intensité nulle). Un voltmètre n est en réalité pas idéal et on ne peut pas toujours négliger le courant qui le traverse. Il possède donc une résistance d entrée R e aussi appelée impédance d entrée (qui dépend du calibre). Pour des voltmètres de basse qualité, la résistance d entrée est de l ordre de R e = 1 MΩ. Pour des voltmètres de très bonne qualité, on peut avoir des résistances d entrée de l ordre de R e =1 GΩ. Dans la plupart des utilisations, la résistance R e du voltmètre sera très grande devant celles du circuit électrique étudié et on pourra alors considérer R e comme infinie. Nous avons vu cependant dans l exercice 1 que la résistance d entrée R e du voltmètre ne peut pas être considérée comme infinie lorsque les résistances du circuit sont importantes (de l ordre de la résistance d entrée du voltmètre). 15 / 16

2 L ampèremètre L intensité du courant électrique se mesure avec un ampèremètre branchée en série. L intensité i est une grandeur algébrique (les circuits électriques sont orientés). L intensité i mesurée est celle qui sort par la borne COM de l ampèremètre. L intensité qui rentre par la borne COM est - i. Par convention, l intensité positive est celle qui sort par la borne + du générateur (sens conventionnel du courant). COM Cas où l intensité mesurée est Pour une mesure de sécurité, il faut placer l ampèremètre sur le sélecteur de plus grand calibre avant de l insérer dans le circuit. On peut alors diminuer le calibre si et seulement si la valeur lue est plus petite que le calibre juste inférieur. Le choix du calibre adapté le plus petit possible permet d augmenter la précision de la valeur lue. Pour le voltmètre ASYC II l incertitude sur la mesure est égale à ΔI = Lorsqu on peut considérer l ampèremètre comme idéal, l ampèremètre a une résistance d entrée quasiment nulle : il est équivalent à un interrupteur fermé (il laisse passer le courant en ayant une tension nulle à ses bornes). Un ampèremètre réel possède une résistance d entrée R e faible mais non nulle (et qui dépend du calibre). Nous avons vu dans l exercice 1 que la résistance d entrée R e de l ampèremètre ne peut pas être négligée lorsque les résistances du circuit sont faibles (de l ordre de la résistance d entrée de l ampèremètre). 3 L ohmmètre Un multimètre branché en Ohmmètre permet de mesurer une résistance. Pour mesurer la valeur d une résistance, celle-ci doit impérativement être «retirée» du circuit électrique ; la mesure se fait alors en connectant directement l ohmmètre aux bornes de la résistance. Principe de fonctionnement de l Ohmmètre : l ohmmètre produit un courant d intensité constante I et mesure la tension U aux bornes de la résistance ; il calcule ensuite le rapport R = U / I 16 / 16