Synthèse «Les Urnes de Polya»

Introduction et objectifs Synthèse «Les Urnes de Polya» Le document suivant est extrait d un ensemble de ressources plus vastes construites par un groupe de recherche INRP-IREM-IUFM-LEPS. La problématique de ce groupe est centrée sur le questionnement suivant : en quoi les problèmes de recherche et la dimension expérimentale qu ils contiennent permettent-ils des apprentissages mathématiques (et pas seulement transversaux)? Lire un résumé à l écran Télécharger la synthèse

Situation mathématique Une urne contient une boule blanche et une boule rouge. On tire une boule au hasard et on replace dans l urne la boule choisie et une autre boule de la même couleur. On s intéresse à la composition de l urne lorsque l on recommence ce tirage n fois. Si l on considère X n le nombre de boules blanches dans l urne à l étape n, et M n la proportion de boules blanches dans l urne : M n = X n n + 2 1 X n est uniformément distribuée sur {1, 2,..., n + 1} 2 M n converge presque sûrement vers une variable aléatoire uniformément distribuée sur [0, 1]

Scénarios Les deux résultats précédents montrent qu il y a au moins deux scénarios d utilisation de cette situation mathématique : 1 Un premier scénario dont l objectif serait de montrer que, à une étape donnée tous les résultats sont équiprobables : en classe de seconde, on peut, avec cette situation, présenter le concept de fluctuation des échantillonnages. La situation suivante a donc été élaborée avec l objectif de faire prendre conscience de la variabilité des résultats obtenus par des expériences limitées et de la «convergence»(dans un sens difficile à expliciter rigoureusement en seconde) des fréquences. Pour pouvoir choisir au hasard entre 7 alternatives différentes, un mathématicien procède de la manière suivante : il place une boule rouge et une boule noire dans un sac et il choisit au hasard une boule ; si cette boule est rouge, il remet deux boules rouges dans l urne si cette boule est noire, il remet deux boules noires dans l urne. Il s arrête à la sixième étape : il y a alors 8 boules dans l urne Quelles sont les 7 compositions possibles de l urne? A-t-on les mêmes chances d obtenir chacune de ces compositions? Une expérimentation «en vrai» peut être organisée de façon à montrer aux élèves les fluctuations d échantillonnage. En synthétisant les résultats dans la classe et en s appuyant sur les différents résultats des expériences, on fait apparaître la convergence des fréquences. Une simulation sur tableur peut compléter cette étude. donner et lire l énoncé. laisser réfléchir individuellement à la première question. mettre en commun les résultats et coder les résultats de la même manière pour tous. faire faire l expérience par groupe et noter les résultats sur la feuille de résultats. réponse par groupe, puis mise en commun des résultats et réponse de la classe. institutionnalisation des résultats appuyée par une simulation sur ordinateur. 2 Un deuxième scénario peut s intéresser à la composition de l urne à long terme.

Objets Potentiellement Travaillés Extrait des nouveaux programmes de Troisième de Collège La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement Objets potentiellement travaillés Fréquences Expériences

Objets Potentiellement Travaillés Extrait des programmes En classe de Seconde Simulation et fluctuation d échantillonnage : concevoir et mettre en œuvre des simulations simples à partir d échantillons de chiffres au hasard En classe de Première et Terminale ES Définition d une loi de probabilité sur un ensemble fini Utilisation de modèles définis à partir de fréquences observées Simulation, adéquation Conditionnement Objets potentiellement travaillés Échantillon Fréquence Fluctuation Loi de probabilité Simulation Fréquence Adéquation à une loi équirépartie Probabilités conditionnelles Arbres

Objets Potentiellement Travaillés En classe de Première et Terminale S Définition d une loi de probabilité sur un ensemble fini. Espérance, variance [...] Variable aléatoire, loi d une variable aléatoire Modélisation d expériences aléatoires de référence Étude d un exemple traitant de l adéquation de données expérimentales à une loi équirépartie Au delà : - lois de probabilité - adéquation - tests - simulation - expérience statistique -... Loi de probabilité Fréquence Probabilité Variable aléatoire Adéquation Test d hypothèse

Compte Rendu en Classe La classe de seconde a été séparée en 7 groupes (6 groupes de 4 et un groupe de deux) J ai commencé par expliquer l expérience de Polya aux élèves, puis expliquer que pour choisir entre deux alternatives, le lancer d une pièce de monnaie était un procédé qui donnait à chaque choix la même chance d apparaître. J ai ensuite demandé comment ils feraient pour choisir entre 6 personnes et un élève a proposé le dé. J ai alors demandé si le procédé décrit (les urnes de Polya) pouvait permettre de choisir entre 7 personnes et comment il le pourrait. Distribution des sujets, puis réflexion individuelle sur ces premières questions. Les élèves ont cherché individuellement pendant cinq minutes, puis j ai repris la main pour demander les réponses aux questions posées. S en est suivi un dialogue avec la classe qui a permis de dégager les 7 résultats possibles et le codage que l on allait adopter ; en fait, compter les boules rouges présentes dans l urne à l issue des 6 étapes de l expérience. On a décidé ensemble que choisir entre 7 personnes revenait à attribuer à chacun un nombre de boules rouges et que celui qui serait choisi serait celui qui porterait le numéro correspondant au nombre de boules rouges. J ai posé la question à la classe : est-ce que tous les résultats ont la même chance d apparaître. Le sentiment général était que oui (confer remarques). J ai alors dit que pour en décider, chaque groupe allait faire l expérience 20 fois et noter les résultats dans la feuille distribuée. Expérimentation... En circulant dans la classe, de groupe en groupe, je demandais si les élèves avaient une idée de la réponse à la question ; beaucoup de non réponses ou d essai d interprétation longitudinale. J ai noté la réflexion d un élève : «dès qu on a tiré une boule, il y a des résultats qui sont impossibles, donc au début c est important». Fin de la première séance : les élèves sont repartis avec les résultats globaux de la classe.

Compte Rendu en Classe Deuxième séance : Comparaison des résultats individuels et cumulés recopiés au tableau. Devant la question «est ce que tous les résultats ont la même chance d apparaître?» les élèves semblent dubitatifs et n apportent pas de réponses ; je demande quel serait la fréquence théorique si tous avait la même chance : réponse 20/140 = 0,14 je propose alors de multiplier les expériences en faisant une simulation sur ordinateur ce qui ne réveille pas de curiosité particulière ni de demande d explications sur le pourquoi de la multiplication des expériences. Je montre d abord que l ordinateur simule les six étapes et affiche les résultats d une expérience. Puis je montre les deux graphiques : fréquence d un échantillon, fréquence cumulée. Enfin, je lance les simulations ; chaque appui sur le bouton lance une centaine d expériences. Les résultats sont donc comparables à ceux réalisés dans la classe. En cumulant ces expériences, on fait apparaître une «convergence» des fréquences vers la valeur théorique. On note les résultats dans le cahier. Remarques La question de savoir si les résultats sont équiprobables n est pas judicieuse et peut renforcer l idée, très fortement présente, que s il y a 7 résultats, il y a une chance sur 7 que chacun apparaisse. Peut-être, pour utiliser une telle situation en seconde, faudrait-il la faire précéder par d autres de même type mais plus proche des élèves et dont le résultat peut surprendre de prime abord. Je pense à la classique somme des deux dés qui soulève plus de questions et d interrogations de type probabiliste, ou bien la situation des punaises qui montre la nécessité de modéliser la probabilité en dehors de toute possibilité de raisonnement physique ou géométrique.

Références Feller, W. (1950) An Introduction to Probability Theory and its Applications 2 vol., John Wiley & Sons, 3e éd.(1968), 4e éd.(1971), New York. Pemantle, (2007) Survey of random processes with reenforcement Probability Surveys, 4, 1-79 (electronic) Voir Polya, G. (1930) Sur quelques points de la théorie des probabilités Annales de l IHP, tome 1, n 2, pp 117-161 Voir Vignes, A. (2002) Quoi de neuf du côté des marchés Les marchés financiers sont-ils rationnels? Journée grand public de l action COGNITIQUE du Ministère de la Recherche Voir