LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe par récurrece (chaque terme déped du précédet). O souhaterat obter ue formule permettat de calculer explctemet u e focto de. À premère vue, cette formule e saute pas aux yeux. Das ue telle stuato, le calcul des premers termes est souvet téressat pour se fare ue "dée". Ic, ous avos : u u 0 u u u u 7 u u 5 u 5 u Stop, ous remarquos que la sute (u ) semble obér à ue lo toute smple : e aoutat à chaque terme, o obtet les pussaces successves de. Nous pouvos doc émettre la coecture suvate : pour tout, u Atteto, ue coecture 'est pas ue preuve ( ue affrmato forcémet vrae, certaes coectures se révèlet parfos fausses...). Ce 'est que l'éocé d'ue proprété résultat d'u certa ombre d'observatos. Alors commet cofrmer, par ue démostrato, la proprété coecturée c-dessus? Notos la proprété, défe pour, par : () : u Supposos u stat, que pour u certa eter, o at effectvemet la proprété () : u. Alors, o aurat : u u ( ) Ce qu est ( ). Autremet dt, s la proprété est vrae à u certa rag alors elle l'est égalemet au rag suvat. O dt que la proprété est hérédtare. Fasos u bla. O a vérfé que la proprété état vrae au rag 0,,,, et 5 (O dt que la proprété est talsée). Mas comme elle est hérédtare, elle sera vrae ecore au rag, pus au rag 7 etc... S be que otre proprété est falemet vrae à tout rag. Nous veos de fare u rasoemet par récurrece : Sot ue proprété défe sur (ou u tervalle I de ) S : La proprété est INITIALISÉE à u certa rag 0 (C'est-à-dre : ( 0 ) est vrae) La proprété est HÉRÉDITAIRE à partr du rag 0 (C'est-à-dre : pour tout 0, () ( )) Alors : La proprété est vrae à tout rag plus grad que 0. Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI http://bacamaths.et/

. Premers exemples rédgés ) O cosdère la sute (u ) défe pour par : (Somme des premers ombres mpars) u ( ) Démotrer que : u Remarque : ce résultat se démotre égalemet à l'ade de la formule S ) Démotrer que : ( )( ) et N( P D) ( ) ) Démotrer que : x ], [,, ( x) x (égalté de Beroull) ) Démotrer que : 5) Démotrer que pour tout : pp ( ) p cos () (x) cos x π et s() (x) s x π ) Démotrer que pour tout u : s(u) s u La otato ƒ () désge c la dérvée ème de la focto ƒ. 7) Soet et ƒ la focto, défe pour x, par : ƒ (x) Démotrer que ƒ est dérvable et que pour tout réel x : ƒ (x) 8) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : x x u 5u u u0 u Démotrer que pour tout : u 9) Démotrer que : a a < Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI http://bacamaths.et/

Solutos : ) O cosdère la proprété, défe pour *, par : O a () pusque ( ). () : ( ) Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : ( ) O a : ( ) ( ) ( ) ( ) Et d'après () : ( ) D'où : ( ) ( ) Ce qu est ( ). O a doc be motré que pour tout, () ( ) Bla : o a () et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : ( ) pour tout * ) O cosdère la proprété, défe pour tout *, par : O a () pusque. () : ( )( ) Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : O a : Et d'après () : E factorsat par ( ) : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( )( ( ) ( ) Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI http://bacamaths.et/

( )( 7 ) ( )( )( ) Ce qu est ( ) O a doc be motré que pour tout, () ( ) Bla : o a () et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : ( )( ) O cosdère la proprété, défe pour tout *, par : () : ( ) O a () pusque Motros que, pour tout : () ( ). Sot. Supposos () : O a : Et d'après () : ( ) ( ) ( ) ( ) E factorsat par ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) Ce qu est ( ) O a doc be motré que pour tout, () ( ) Bla : o a () et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : ( ) Et comme, o sat que : O a falemet : ( ) ( ) Autre méthode, sas récurrece : o cosdère u carré C de côté O déft A par l'are d'u carré de côté Pus, pour tout, A par l'are de "l'équerre de largeur " ( ) (vor fgure) Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI http://bacamaths.et/

(Dfférece etre les ares des carrés de côté ( ) et celu de côté ( ) ) O calcule l'are de C de deux faços. D'ue part, c'est. D'autre par, c'est Or, pour : A (Les équerres parttoet C) A l l l l ( ) ( ) D'où : ( ) A A...... A A 0 ( ) ( ) ( ) ) Sot x ], [. O cosdère la proprété la proprété, défe pour tout, par : () : ( x) x Il s'agt de l'égalté de Beroull. O a (0) pusque ( x) 0 0x pour tout x. Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : ( x) x Or, x > 0, doc e multplat l'égalté c-dessus par ( x), o obtet : ( ) x ( x)( x) Or : ( x)( x) x x x ( )x x Prcpe du rasoemet par récurrece Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.et/

Comme x 0, o a : ( x)( x) ( )x D'où : ( ) Ce qu est ( ). x ( )x Bla : o a (0) et (, () ( )) doc o a : (), : ( x) x Remarque : lorsque x, cette égalté se démotre égalemet avec la formule du bôme de Newto () : ( x) x 0 Or, la somme e cotet que des termes postfs (pusque x > 0). Doc : ( x) 0 x Et comme 0 x0 et x x, o a : ( x) x ) O cosdère la proprété, défe pour tout *, par : () : pp ( ) p O a (). Motros que, pour tout * : () ( ) Sot *. Supposos () : pp ( ) p Alors : pp ( ) p pp ( ) p ( )( ) Et d'après () : pp ( ) p ( )( ) E rédusat au même déomateur : pp ( ) p ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Ce qu est ( ). Bla : o a () et (pour tout *, () ( )) doc o a : (), pour tout * : pp ( ) p () Cette remarque peut être sautée e premère lecture, la formule du bôme de Newto sera démotrée ultereuremet. Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI http://bacamaths.et/

Autre méthode : e remarquat que p( p ), o obtet, par télescopage : p p p pp ( ) p p p 5) O cosdère la proprété, défe pour tout, par : () : cos () (x) cos x π et s() (x) s x π O a claremet (0). Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : cos () (x) cos x π et s() (x) s x π O a alors : cos () (x) s x π et s() (x) cos x π Or, s(a) cos A π et cos(a) s A π Doc : cos () (x) cos π x ( ) et s() (x) s π x ( ) Ce qu est ( ). Bla : o a (0) et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : cos () (x) cos x π et s() (x) s x π ) Fxos u. O cosdère la proprété, défe pour tout, par : () : s (u) s u O a claremet (0) et (). Motros que pour tout : () ( ) Sot. Supposos (). Comme s[( )u] s(u)cos u s(u)cos(u) s[( )u] s(u) s(u) Et d'après () : D'où : s[( )u] s u s(u) s[( )u] ( ) s(u) Ce qu est ( ). Bla :o a (0) et (pour tout, () ( ) ) doc o a : (), pour tout : s (u) s u Prcpe du rasoemet par récurrece Page 7 G. COSTANTINI http://bacamaths.et/

7) O cosdère la proprété, défe pour *, par : () : ƒ est dérvable et pour tout réel x : ƒ (x) x O a, pour tout réel x, ƒ (x) x et ƒ (x) x0 d'où (). Motros que pour tout * : () ( ) La dérvée d'ue focto affe x ax b est la focto costate x a égale au coeffcet drecteur. Sot *. Supposos (). Écrvos ƒ (x) x x xƒ (x) O a sat que l'applcato x x est dérvable (de dérvée la costate égale à ). De plus, par hypothèse, ƒ est dérvable. La formule de dérvato d'u produt ous doe alors : Ce qu est ( ). ƒ (x) ƒ (x) x ƒ (x) x x x ( ) x Bla :o a (0) et (pour tout, () ( ) ) doc o a : (), pour tout : ƒ est dérvable et pour tout réel x : ƒ (x) x 8) O cosdère la proprété, défe pour, par : () : pour tout eter m, u m m Comme u 0 et u, o a (). Motros que, pour tout : () ( ) Lorsqu'o chost ce type de proprété, o dt parfos que l'o fat ue récurrece "forte". Sot. Supposos () : pour tout eter m, u m m Alors : u 5 0 D'où ( ). Bla :o a () et (pour tout, () ( ) ) doc o a : (), pour tout d'où : pour tout eter m, u m m 9) O cosdère la proprété, défe pour *, par : () : a a < O a () (c'est l'égalté trvale a a ) et () (c'est la célèbre detté : (a a ) a a a a ) Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : a a < O a : a a a a a a a Prcpe du rasoemet par récurrece Page 8 G. COSTANTINI http://bacamaths.et/

Prcpe du rasoemet par récurrece Page 9 G. COSTANTINI http://bacamaths.et/ D'après () : a a < a a a Teat compte des codtos : ; et ; a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a < Ce qu est ( ) O a doc be motré que :, () ( ) Bla : o a (), () et (, () ( )) doc o a : (), : a a < Exemple : ( ) (a a a ) a a a (a a a a a a ) m, désge l'esemble des eters comprs etre m et.

. Deux modèles de rédacto Das les deux modèles c-dessous, vous pouvez recoper "texto" ce qu est écrt e caractère or (ou ormal) et adapter ce qu est écrt e caractère rouge (ou talque). U premer modèle, formel et mathématquemet correct : Sot la proprété défe pour Esemble par : () : Eocez_c_la_proprété_à_démotrer Comme calculs élémetares, o a (rag). Motros que pour tout rag o a : () ( ) Sot rag. Supposos (). Alors : Etablssez_c_ ( ) Souvet, Esemble est ou * Souvet, rag est 0 ou. Ce qu est ( ). O a prouvé : (rag) et pour tout rag, () ( ) Du prcpe de rasoemet par récurrece, o dédut : pour tout rag, () C'est-à-dre : pour tout rag, Eocez_c_la_proprété_démotrée U secod modèle plus lttérare : Sot la proprété défe pour Esemble par : () : Eocez_c_la_proprété_à_démotrer Motros que la proprété est talsée au rag rag Comme calculs élémetares, o a (rag). Motros que la proprété est hérédtare à partr du rag rag Sot rag. Supposos (). Alors : Etablssez_c_ ( ) Ce qu est ( ). O a prouvé que la proprété est talsée au rag rag et hérédtare à partr du rag rag. Du prcpe de rasoemet par récurrece, o dédut : pour tout rag, () C'est-à-dre : pour tout rag, Eocez_c_la_proprété_démotrée Prcpe du rasoemet par récurrece Page 0 G. COSTANTINI http://bacamaths.et/

. Démostrato mathématque du prcpe de rasoemet par récurrece (Hors programme) Éocé : Sot I u tervalle de et ue proprété défe sur I. S : U tervalle de est u esemble du type a, b ou a, où a et b. 0 I : ( 0 ) (talsato) I 0,, () ( ) (hérédté) Alors : Le symbole sgfe "l exste" et le symbole sgfe "quelque sot". I 0,, () Démostrato Cosdéros l'esemble : E { I 0, tels que o ()} E est l'esemble des eters pour lesquels la proprété 'est pas vrae. Rasoos par l'absurde : supposos E o vde. Comme E est o vde et moré (par 0 ), l admet u plus pett élémet m avec m 0. Ce plus pett élémet m est élémet de E. O a doc o (m). S m 0, alors o ( 0 ), ce qu cotredt l'hypothèse d'talsato. S m > 0, alors o a : (m ) et o (m) ce qu cotredt l'hypothèse d'hérédté. Doc E est vde, autremet dt : pour tout 0, () Toute parte o vde et morée de admet u plus pett élémet. La égato de A B est : A et o B Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI http://bacamaths.et/