Comportement thermoélastique et endommagement d un composite à ibres longues L objecti du problème est d établir la loi de comportement macroscopique d un composite à ibres longues parallèles distribuées dans une matrice. Plusieurs aspects caractéristiques du comportement des composites seront pris en compte : la diérence de comportement thermoélastique entre la ibre et la matrice, quelques conséquences du procédé d élaboration de ces matériaux et, inalement, les mécanismes d endommagement que sont la issuration de la matrice et la décohésion entre les ibres et la matrice. Les matériaux constitutis de la ibre et de la matrice présentent un comportement thermoélastique linéaire et isotrope caractérisé, respectivement, par les modules de Young E et E m, les coeicients de Poisson, ν et ν m, et les coeicients de dilatation thermique α et α m. Dans la pratique industrielle, la rigidité élastique des ibres est supérieure à celle de la matrice. Les géométries considérées sont axisymétriques et on utilisera une base cylindrique (e r, e θ, e z d origine O et d axe (Oz. L ensemble du problème est traité dans des conditions d équilibre statique en l absence d eorts de volume, et dans le contexte ininitésimal. Dans les parties 1 et 2, l état initial des ibres et de la matrice est supposé naturel. Les parties du problème ne sont pas indépendantes. Les résultats non acquis peuvent être admis dans la suite. 1 Préliminaires Le problème commence par l établissement des solutions de deux problèmes auxiliaires élémentaires en élasticité linéarisée isotrope et isotherme. Ces problèmes ayant été étudiés en exercice, on ne demande pas de retranscrire toutes les étapes de leur résolution. 1.1 Fibre isolée soumise à une orce de traction et à une contrainte radiale externe Une ibre cylindrique de longueur L et de section circulaire de rayon R est soumise à un eort axial suracique uniormément réparti de résultante F = F e z en z = L et à l eort opposé en z = 0. On note S = πr 2 la section de la ibre. La surace latérale r = R est soumise à la densité suracique uniorme d eorts donnés t d = σrr(r e r. La géométrie de la ibre et les conditions aux limites sont illustrées sur la igure 1. La ibre est constituée d un matériau homogène élastique linéaire isotrope caractérisé par E et ν. Donner le champ des déormations et des contraintes au sein de la ibre dans ces conditions. On note ( L l allongement relati de la ibre, et ( R la variation relative du rayon de L R la ibre, consécutis à ce chargement. Etablir les relations entre ces grandeurs et les eorts appliqués et montrer qu elles se mettent sous la orme matricielle suivante : ( L [ ] [ ] L ( R F = M, avec [M P ] = 1 1 ν E S 1 ν (1 R ν 2 1
où l eort P = 2σ rr(r S est introduit de açon à obtenir une matrice [M ] symétrique. Montrer enin que l énergie élastique stockée dans la ibre par unité de longueur de ibre s écrit sous la orme matricielle suivante : E elas = 1 2 [F P ] [M ] [F P ] T (2 z z F L R σ rr(r O O F Figure 1 Géométrie de ibre à section circulaire (vue en perspective à gauche ; la ibre est soumise à la orce résultante F sur sa ace supérieure, à la orce opposée sur la ace inérieure et à une densité suracique de orces sur sa surace latérale (section longitudinale de la ibre, à droite. 1.2 Tube soumis à un eort axial et à une contrainte radiale interne Un tube de longueur L m, de rayon interne R m et de rayon externe R ext est soumis à une orce suracique axiale uniorme, de résultante F m, à son extrémité z = L m et à la orce opposée à l autre extrémité. La surace latérale interne r = R m est soumise à la densité suracique uniorme d eorts donnés t d = σrr(r m e r. La géométrie du tube et les conditions aux limites sont illustrées sur la igure 2. La surace latérale extérieure r = R ext est libre de tout eort. Le tube est constitué d un matériau homogène élastique linéaire isotrope caractérisé par E m et ν m. Donner le champ des contraintes au sein du tube dans ces conditions. On note ( L l allongement relati du tube, et ( R la variation relative du rayon interne L m R m du tube, consécutis à ce chargement. Etablir les relations entre ces grandeurs et les eorts appliqués et montrer qu elles se mettent sous la orme matricielle suivante : ( L L m ( R R m = [ M m ] [ Fm P m ] avec [M m ] 2 = 1 E m S m 1 ν m 1 ν m + 1 + ν m 2 2 ν m (3
où l eort P m = 2σrr(R m m S est introduit de açon à obtenir une matrice [M m ] symétrique. On désigne par S m = π(rext 2 Rm 2 la surace annulaire de la section du tube, et S = πrm. 2 On a également introduit le rapport S = (4 S + S m Montrer enin que l énergie élastique stockée dans la ibre par unité de longueur de ibre s écrit sous orme matricielle de la manière suivante E elas m = 1 2 [F m P m ] [M m ] [F m P m ] T (5 Pour établir de manière simple ce résultat, on utilisera la propriété suivante que l on prouvera et commentera : σ : ε dv = t u ds (6 Ω en l absence d eorts de volume, et où Ω désigne le corps étudié, Ω son bord, et t, le vecteur contrainte. z Ω z F m R m L m R ext σ m rr(r m O O F m Figure 2 Géométrie de tube (vue en perspective à gauche ; le tube est soumis à la orce résultante F m sur sa ace supérieure, à la orce F m sur sa ace inérieure et à une densité suracique de orces sur sa surace latérale intérieure uniquement (section longitudinale du tube, à droite. 3
2 Comportement global d un assemblage ibre matrice sain Les composites à ibres longues sont largement utilisés dans l industrie par exemple pour renorcer les réservoirs sous pression ainsi que dans l industrie aéronautique. Ces pièces sont souvent constituées de plis, un pli étant ormé d un grand nombre de ibres parallèles baignées dans une matrice, comme sur la igure 3. Les plis de ibres d orientations diérentes peuvent être empilés de açon à obtenir une rigidité importante dans plusieurs directions. Une estimation du comportement d un composite à ibres longues parallèles est ournie par l analyse d un assemblage ibre matrice constitué d une ibre de rayon R entourée d une matrice cylindrique de rayon interne R m = R et de rayon externe R ext, de longueur L m = L, comme l illustre la igure 3 à droite. Le rayon R de la ibre correspond au rayon moyen des ibres dans le composite réel tandis que le rayon externe se déduit de la connaissance de la raction volumique de ibres dans le composite donnée par la déinition (4. On suppose dans cette partie que l interace entre la matrice et la ibre est paraite, c est à dire qu il y a une cohésion paraite sans issure ni glissement entre la ibre et la matrice. 2.1 Eorts dans la ibre et la matrice L assemblage élémentaire de la igure 3 est soumis à un eort axial global F = F m + F qui se décompose en une orce F m agissant sur la matrice et une orce F s exerçant sur la ibre. Seule la charge totale F est connue a priori. La surace latérale r = R ext est libre de tout eort. Utiliser les solutions des problèmes auxiliaires traités en préliminaire pour exprimer la orce à l interace ibre matrice P = P en onction de l eort appliqué F et des caractéristiques géométriques et élastiques des matériaux de l assemblage. Discuter le signe de P et donc la açon dont la matrice agit sur la ibre. Pour cela, on commencera par indiquer les relations qui doivent exister entre ( L L, ( L, ( R, ( R, P L m R R m et P m dans l assemblage sain considéré. On remarquera en particulier que les contraintes et les déormations sont homogènes au sein de la ibre mais pas dans la matrice. On introduira dans les calculs les notations suivantes : 1 ES = 1 + 1, E S E m S m ν ES = ν E S + ν m E m S m (7 Ces relations déinissent les coeicients d élasticité ictis, E et ν, correspondants à des moyennes des propriétés des constituants. Faire l application numérique dans les cas d une ibre de carbone dans une résine d époxyde, puis d une ibre de carbure de silicium (SiC dans une matrice en titane, les paramètres correspondants étant donnés dans la table 1, pour une raction volumique de ibre de 0.3 dans les deux cas. Commenter. 2.2 Module de Young eecti du composite Les calculs précédents permettent de déterminer le module de Young eecti du composite, E, qui relie la contrainte de traction/compression globale appliquée à l assemblage ibre matrice à l allongement relati global du composite : F = E L S + S m L 4 (8
z Figure 3 Vue au microscope électronique à balayage d un groupe de ibres verticales dans un composite à matrice céramique pour l aéronautique (à gauche, photo d après (Coradi, 2014. Des issures dans la matrice sont visibles sur la igure. Les ibres, gainées de matrice, sont intactes mais ne sont pas visibles en raison de la aible ouverture des issures. A droite, assemblage élementaire ibre matrice, la ibre étant en grisé sur la igure. Exprimer E en onction des propriétés élastiques de la ibre et de la matrice, ainsi que de la raction volumique de ibre,. Indiquer comment le résultat se simpliie dans le cas particulier où ν = ν m. Commenter. 3 Prise en compte des contraintes résiduelles Les calculs précédents ont été réalisés en considérant l état naturel de la ibre et de la matrice comme état de réérence. En réalité, à l issue du procédé d élaboration de ces composites, il existe des contraintes résiduelles au sein des constituants qui doivent être prises en compte pour l utilisation ultérieure. Les ibres sont imprégnées de matrice à chaud. Le reroidissement jusqu à température ambiante, consécuti à la solidiication ou à la polymérisation de la matrice, s accompagne alors du développement de contraintes internes en raison du diérentiel de propriété ibre de carbone résine d époxyde SiC titane E (GPa 300 3.5 450 110 ν 0.4 0.3 0.17 0.34 α (K 1 1 10 6 5 10 5 2.8 10 6 8.6 10 6 Table 1 Propriétés élastiques de diérents matériaux utilisés dans les composites industriels. 5
dilatation thermique entre les deux matériaux. L objecti de cette section est de déterminer ces contraintes résiduelles et de leur superposer la charge d utilisation du composite. Les coeicients de dilatation thermique, supposée isotrope, de la ibre et de la matrice sont respectivement notés α et α m. On considère que les propriétés thermoélastiques des matériaux varient très peu en onction de la température sur la plage considérée. Dans toute cette partie, la cohésion de l interace ibre matrice est supposée paraite. 3.1 Calcul des contraintes résiduelles L assemblage ibre matrice de la igure 3 (à droite est reroidi depuis sa température d élaboration jusqu à la température ambiante, ce qui correspond à la variation de température T < 0. On suppose que l interace reste paraite tout au long du reroidissement. A la température initiale d élaboration, la matrice et la ibre sont dans leur état naturel. Aucun eort extérieur n est appliqué pendant le reroidissement. Montrer qu à l issue du reroidissement, la ibre est soumise à la orce axiale F 0 et à l eort radial P 0 = 2S σrr(r, solutions du système où [ ] [ F M 0 P 0 [ ] M = 1 ES 1 ν 1 ν ν 2 ] = (α α m T + β [ 1 1 ] avec β = 1 + ν m 2 (9 ES E m S m (10 Exprimer P 0 et F 0 et discuter de leur signe respecti. Faire l application numérique dans le cas des composites carbone époxyde et SiC titane ( = 0.3 en considérant T = 100 K pour le premier et T = 1000 K pour le second. Comparer en particulier les valeurs des contraintes résiduelles obtenues dans la matrice à la limite d élasticité de la résine d époxyde, σ Y = 50 MPa, et du titane, typiquement σ Y = 500 MPa. 3.2 Superposition d un chargement extérieur L assemblage composite ainsi produit, siège des contraintes résiduelles F 0 et P 0 précédentes, est maintenant soumis à une orce de traction axiale extérieure F. Les eorts F 0, P 0 et F sont supposées suisamment aibles pour que la limite d élasticité ne soit pas atteinte dans les constituants. Justiier que l allongement relati et la variation relative de rayon de la ibre au total se calculent de la manière suivante ( L ( L [ ] [ ] L L = 0 F + M 1 (11 P 1 ( R R ( R R où ( L et ( R sont l allongement relati et la variation relative de rayon résiduels issus de L 0 R 0 l élaboration. Justiier également que les eorts dans la matrice et la ibre sont de la orme 0 F = F 0 + F 1, P = P 0 + P 1, F m = F 0 + F 1 m, P m = P 0 + P 1, F = F 1 + F 1 m (12 6
3.3 Energie élastique stockée totale Le champ de contraintes qui règne dans l assemblage ibre matrice soumis à la orce extérieure F précédente se décompose en un champ de contraintes résiduelles, σ 0 (X qui se déduit des résultats du paragraphe 3.1, et un champ de contraintes induites par le chargement extérieur, σ 1 (X qui se déduit des résultats de la question précédente : σ (X = σ 0 (X + σ 1 (X, X Ω (13 où Ω désigne l assemblage ibre matrice de la igure 3 (à droite. On ne demande pas d exprimer ces champs dans la matrice et dans la ibre. Montrer de açon générale que l énergie élastique stockée dans le composite déormé est la somme de l énergie due aux contraintes résiduelles et de celle engendrée par l eort appliqué, autrement dit : 1 2 Ω(σ 0 + σ 1 : S : (σ 0 + σ 1 dv = 1 2 Ω σ 0 : S : σ 0 dv + 1 2 Ω σ 1 : S : σ 1 dv (14 où S = Λ 1 est le tenseur des souplesses, inverse du tenseur des modules d élasticité. Noter que les valeurs de S sont diérentes dans la matrice et dans la ibre mais il n est pas nécessaire d expliciter ce ait pour établir le résultat précédent. En déduire l expression de l énergie stockée par unité de longueur en onction de F 0, P 0, F 1, P 1, Fm 1 et des matrices M et M m. 4 Décohésion ibre matrice A la suite de l apparition d une issure horizontale au sein de la matrice, une décohésion entre la ibre et la matrice s est produite sur une longueur L, comme l indique la igure 4. Noter la nouvelle position de l origine du repère sur cette igure. L ensemble est alors soumis à la orce de traction F. On suppose que la ibre et la matrice restent en contact dans la zone de décohésion en raison de l eort P de compression induit essentiellement par l état de précontrainte P 0 < 0. Par contre un glissement est possible entre la ibre et la matrice : c est le déplacement axial relati u z u m z 0 pour les points de la zone de décohésion. On se demande ici quelle est la nouvelle répartition des eorts axiaux et radiaux entre la ibre et la matrice en présence de décohésion. En particulier, ces eorts dépendent désormais de la cote z dans la zone de décohésion puisque la contrainte axiale σ zz (R m r R ext, z = 0 doit s annuler sur les lèvres de la issure située en z = 0 sur la igure 4. Les lèvres de la issure sont en eet libres de tout eort appliqué, au contraire des suraces z = L /2 et z = L /2. Une solution analytique explicite de ce problème n est pas disponible. On propose donc d étudier une solution approchée basée sur l hypothèse des tranches planes. L hypothèse consiste à supposer que chaque tranche de matrice et chaque tranche de ibre constituant une tranche d épaisseur ininitésimale l de l assemblage composite, initialement planes, représentées sur la igure 4, restent planes après déormation. Leurs épaisseurs respectives inales peuvent cependant diérer. Les eorts axiaux relaxés au niveau de la issure dans la matrice sont repris sous orme d une contrainte de cisaillement τ(z = σ rz (r = R, z le long de la zone endommagée en contact. Les eets de ces contraites de cisaillement à l intérieur de la ibre et de la matrice sont touteois négligés dans l analyse de cette partie. 7
F m F z L O L l F m F Figure 4 Assemblage ibre matrice présentant une issure centrale au sein de la matrice et une décohésion de longueur L entre la ibre et la matrice (lignes pointillées. L ensemble est soumis à la orce F = F m + F susceptible de conduire à une ouverture de la issure centrale (ouverture très exagérée pour l illustration. Une tranche plane d épaisseur l à la cote L/2 z L/2 est également représentée. La igure représente une coupe longitudinale de l assemblage qui présente une symétrie de révolution. La justiication ultime des approximations consenties est ournie par la conrontation à des résultats de calculs par éléments inis non présentés ici et ayant ait l objet du travail de thèse de doctorat (Coradi, 2014. 4.1 Etude d une tranche plane On étudie le comportement de la tranche plane de cote z de la igure 4. La tranche de ibre et la tranche de matrice correspondantes sont supposées rester planes après déormation. Le changement relati d épaisseur de ces tranches est noté ( ( l l l l Ce glissement relati peut être non nul dans la zone de décohésion L/2 < z < L/2. Il s annule en dehors. 8 m
L eort résultant appliqué à la tranche de ibre vaut F (z = F 0 + F 1 + F (z L eort résultant appliqué à la tranche de matrice vaut F m (z = F 0 + F 1 m F (z L interace continue de transmettre la charge entre la ibre et la matrice : P (z = P 0 + P 1 + P (z Les eorts de précontraintes F 0 et P 0 et les eorts F 1, P 1 induits par la charge appliquée F sont les mêmes que dans la partie 3. La décohésion induit les perturbations F (z et P (z qui, contrairement aux contributions précédentes, dépendent de la cote z. En conséquence de l hypothèse de tranche plane, ces perturbations sont nulles pour z < L/2 et z > L/2, c est à dire en dehors de la zone de décohésion. En appliquant les raisonnements utilisés dans la partie 3 à cette tranche élémentaire à la cote z, montrer que les perturbations des eorts sont liées par le système d équations suivantes : ( l l ( l l 0 m = [ ] M F P (15 où M est la matrice donnée par l expression (10. Ce résultat permet de calculer le glissement relati ibre matrice lorsque l on connaît F (z dont la détermination ait l objet de la suite de cette partie. Extraire également de (15 la relation entre P (z et F (z. 4.2 Proil de orce axiale en onction de z On examine les eorts s exerçant sur la tranche de ibre d épaisseur l = dz de la igure 4. Elle est soumise à l eort axial F 0 + F 1 + F (z + dz sur la ace z + dz et à F 0 F 1 F (z sur la ace z. La orce de cohésion P (z et la contrainte de cisaillement τ(z s exercent sur la surace r = R d épaisseur dz de la tranche de ibre. En aisant le bilan de ces eorts sur cette tranche de ibre, donner l équation diérentielle régissant F (z. Résoudre cette équation dans le cas où le contact ibre matrice dans la zone de décohésion donne lieu à du rottement statique de Coulomb de la orme τ(z = ησ rr (R, z (16 où η est le coeicient de rottement. En introduisant la notation T = 2πR τ, la loi de rottement s écrit également T (z = η R P (z (17 Résoudre alors l équation diérentielle pour trouver le proil F m (z. Utiliser une condition à la limite adéquate pour déterminer complètement ce proil. 9
4.3 Energie de surace et rupture On étudie l événement élémentaire que constitue un accroissement de longeur ininitésimale l de la zone de décohésion. Pour cela on s intéresse à la transormation que subit la tranche de cote z = L/2 qui comporte initialement une interace saine et dont l interace d épaisseur l est rompue à un instant ultérieur. L événement se produit sous la charge imposée F et on suppose que le contact reste établi entre la ibre et la matrice. Cette tranche passe donc de l état caractérisé par les eorts F 0 + F 1, P 0 + P 1 dans la ibre et F 0 + Fm, 1 P 0 + P 1 dans la matrice à l état inal caractérisé par F 0 + F 1 + F γ, P 0 + P 1 + P γ et F 0 +Fm F 1 γ, P 0 +P 1 + P γ. L objecti de cette question est de déterminer l incrément de orce F γ, et l incrément P γ associé. La décohésion de l interace s accompagne d un incrément de glissement relati entre ibre et matrice, caractérisé par le déplacement relati δu z = u z (z = 0, r = R u m z (z = 0, r = R. Un bilan d énergie global va permettre de déterminer la variation F γ qui correspond à un saut de F (z en z = l. Le travail extérieur ourni au système, δw, donne lieu à trois contributions au sein de l assemblage ibre matrice : la variation d énergie élastique stockée au sein de la matrice et de la ibre, δw elas ; une énergie ournie pour la décohésion de la ibre et de la matrice, δw sur = γ2πr l où γ est l énergie de surace de l interace ibre matrice. Cette énergie correspond à la rupture des liaisons atomiques dans l interace ; le travail des orces de rottement dans la zone de décohésion, δw rot = (F 1 m F 0 F γ δu z Justiier que δw = F δu z. A l aide des résultats acquis dans l ensemble du problème, exprimer δw elas. Justiier l expression donnée de δw rot. Déduire du bilan d énergie l expression de F γ. Vériier qu elle ne dépend pas de F appliquée. Calculer numériquement la valeur de F γ pour les composites carbone époxyde et SiC titane en prenant la valeur suivante, typique, d énergie de surace : γ = 1 J.m 2. 4.4 Calcul de la longueur de la zone de décohésion Le résultat précédent permet de raccorder le proil F m (z déterminé de manière unique dans la question 4.2 à la valeur constante de F m dans la zone saine du composite. Tracer le proil de F m (z qui présente donc le saut F γ en z = L/2. La condition de raccord ournit l équation donnant la longueur de décohésion L en onction de la charge F appliquée. Donner explicitement cette expression qui correspond à la loi d endommagement de décohésion du composite. Réérences Coradi A. (2014. Approche multiéchelle en vue du composite numérique. Thèse de doctorat, Université de Bordeaux. 10