Synthèse : Multiplications et divisions a) Sujet 1 : Dans une classe de CE2 où la technique de la division euclidienne n a pas encore été abordée, l enseignant donne à ses élèves le problème suivant : On doit déménager une bibliothèque. Elle a sept étages. Sur chaque étagère, il y a vingt-deux livres. Dans un carton, il rentre onze livres. Combien faudra-t-il de cartons? Les élèves travaillent par groupes de deux. On trouvera dans l annexe les traces écrites du travail de trois groupes appelés A, B et C, ainsi que la transcription des dialogues à l intérieur de ces groupes. 1. Décrire cinq procédures de résolution de résolution en les distinguant par les connaissances mathématiques utilisées. Indiquer celles que l enseignant peut s attendre à voir apparaître dans cette classe. 2. A partir des traces écrites et des dialogues des trois groupes A, B et C caractériser les procédures de résolution des élèves 3. Analyser l interaction des élèves dans chacun des groupes A, B et C 4. caractériser la difficulté rencontrée par les groupes B et C pour conclure. b) Sujet 2 : Calcul réfléchi dans le champ multiplicatif. Un enseignant propose à des élèves du cycle 3 de calculer mentalement 24 x 4 et d écrire sur une feuille ce qu ils ont fait dans leur «tête». Voici quelques unes des réponses obtenues : A : j ai fait 4 fois 20, quatre-vingts et 4 fois 4, seize. B : 24 et 24 font 48, 48 et 48 font 96 C : j ai fait 100-4 D : j ai fait 4 fois 4 ; 16 ; 6 et 1 de retenue ; puis j ai fait 4 fois 2 ; 8 E : j ai fait 4 fois 12 ; 48 ; 48 et 48 font 96 F : j ai fait 4 fois 8 ; 32 ; puis 3 fois 32 ; 96 1. pour chacune des réponses, indiquez la décomposition des nombres utilisée par l élève et la (ou les) propriétés implicitement mises en œuvre. 2. parmi les objectifs suivants, quels sont ceux qui sont à votre avis visés par le maître (justifiez chacun des 4 choix) a) montrer aux élèves qu il y a une stratégie meilleure qu une autre pour le calcul mental de 24 x 4 b) montrer aux élèves la variété des stratégies utilisables pour calculer mentalement un produit. c) faire utiliser par les élèves les propriétés de la multiplication. d) passer à la technique opératoire écrite de la multiplication. 3. les stratégies utilisées par les élèves A et D sont-elles équivalentes? 4. Vous voulez, au cours des séances suivantes, organiser un apprentissage systématique de la stratégie de calcul réfléchi de l élève A. Donnez trois produits qui favorisent l apprentissage de cette stratégie au détriment des autres. Justifiez. 5. Comment peut-on faire comprendre, à l école élémentaire, la propriété sous-jacente à la stratégie A? 6. Parmi les 6 procédés de calcul des élèves, y en a-t-il qui conduisent à la technique opératoire de la multiplication? Justifiez. ANNEXE du sujet 1
Dialogues transcrits Groupe A (élève A1 et A2) A1- il faut 2 cartons, il faut 2 cartons A2- oui, mais il y a 7 étagères. Il faut faire 22 fois 7 pour avoir les livres Ca fait 154, 154 livres. A1- écris : 2 cartons pour une étagère. Ecrisle! A2- oui, attends. Après je fais 154 moins 11, moins 11, moins 11. encore, encore et puis c est fini. Il faut faire la phrase, il faut faire la phrase. A1-14 cartons. Ecris : il faut 2 cartons pour une étagère. A2- oui il y a 154 livres en tout. Attends, je refais 154 moins 11, moins 11 encore, encore.. A1- on y arrive pas, on y arrive pas. A2- non, on y arrive pas. Groupe B (élèves B1 et B2) B1- le nombre de livres, le nombre de livres en tout c est 22 et 22 plus 22 et 22, et 22 et 22. Attends : 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7, c est ça. Ca fait 154, 154 livres. B2- oui, il y a 22 fois 7, c est 22 fois 7. ecris-le. B1- après, attends. Les cartons, ils ont 11 livres, 11 livres. C est une multiplication à trou. Pour trouver 154. B1- c est quoi ça? B2- il faut faire 11 et 11 et 11 et 11 jusqu à 154. Attends, je fais voilà : 1,2,3,4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14. 14 cartons. Allez on va l écrire 154 livres. B1- l opération, c est 22 multiplié par 7 égale 154. B2- il faut 14 cartons pour déménager B1- c est quoi l opération. C est pas 22 multiplié c est 154 multiplié par non B2-14 multiplié par 11, ça fait 154. L opération c est 14 multiplié par 11 égale 154 Traces écrites des élèves 22 154 Il y a 154 livres x 7 en tout 154 143 Il faut 2 cartons 132 154 121 132 121 110 109 98 87 10 11 22 11 Il y a 154 livres 22 11 en tout 22 11 22x7= 154 22 11 Il faut 14 cartons 22 11 pour déménager + 22 11 14x11= 154 22 11 11 12 154 11 110 121 11 11 11 110 121 132 13 14 132 143 11 11 143 154 Groupe C (élèves C1 et C2) C1- il faut faire 22 multiplié par 7, Attends 154. il y a 154 livres C2 et 11, 22. 2 cartons, 2 cartons pour l étagère. Il faut 14 cartons en tout. 2 fois 7, 14. il faut 14 cartons pour la bibliothèque. Ecris-le. C1- oui, mais c est quoi l opération? c est quoi? C2- c est 2 fois 7. c est dans la tête. C1- oui, mais on met quoi pour l opération? C2- je sais pas, tant pis, on sait pas? 22 11 + 11 = 22 x 7 154 Il faut 14 cartons pour déménager. Il y a 154 livres
Correction a) sujet 1 1. on demande ici une analyse à priori des procédures possibles pour des élèves de première année du cycle 3 ; lorsque vous bloquez sur ce type d exercices, pensez à regarder les procédures des élèves proposées dans des annexes. Cela peut vous donner des pistes et vous permettre de compléter vos suggestions. Ici on peut distinguer trois grands types de résolution. Procédure D : représentation schématique du problème et résolution par regroupement. On pourra dire qu elle est primitive mais encore fort présente pour beaucoup d enfants en début de cycle 3. Procédure P : calcul du nombre total de livres, puis calcul du nombre de cartons Procédure Q : calcul du nombre de cartons par étagère, puis calcul du nombre de cartons. Ensuite, en fonction des compétences en calcul des élèves, les procédures P et Q peuvent être subdivisées en plusieurs procédures. Dans la procédure P : Pour calculer le nombre total de livres : P1 > addition réitérée P2 > multiplication Pour en déduire le nombre de cartons : P3 > division par additions et soustractions successives P4 > division par procédure multiplicative Pour la procédure Q : Le nombre de cartons par étagère étant déterminé : Pour calculer le nombre de cartons : Q1 > addition réitérée Q2 > multiplication On obtient alors pour la résolution totale de ce problème des compositions possibles de l ensemble de ces procédures. Par exemple P1 + P3 ou P1 + P4 ou Toutes ces procédures peuvent apparaître dans une classe de CE2. 2. Attention à bien répondre à la caractérisation des procédures élèves au regard de la question1 et de bien garder pour la question 3 l analyse des interactions des élèves. Le groupe A suit à l écrit les procédures P2 et P3 (multiplication puis soustractions successives) qui est la trace orale de l élève A2. La trace orale fait apparaître que l élève A1 suit la procédure Q2. Le groupe B suit à l écrit les procédures P1 et P3 bien que la trace orale permette de voir exprimer les procédures P2 et P4. Le groupe C à l écrit comme à l oral suit les procédures P2 et Q2. Seule la procédure Q2 aboutit au résultat demandé. 3. Dans le groupe A, les interactions sont conflictuelles, l élève A2 suit sa procédure sans prendre en charge celle de A1 (qui est juste). La trace écrite est le reflet de l imposition par A2 de l unique réflexion de celui-ci. Dans le groupe B, les deux élèves collaborent autour d une même procédure même si les compétences de calculs ne sont pas identiques pour les deux élèves ; elles apparaissent ici comme complémentaires. Dans le groupe C, les deux élèves n ont pas la même démarche initiale. Par sa proposition C2 arrête la démarche de C1 qui alors essaie de comprendre celle de C2.
4. Les deux groupes concluent bien à l écrit mais leur difficulté est de trouver l opération qui donne les résultats de 14 cartons. Dans le groupe B, ils pensent à une opération à trou alors que dans le groupe C ils ne savent pas (l opération 2x7 étant faite mentalement par C2) b) Sujet 2 1. Décomposition du calcul et propriétés mises en œuvre : L élève A utilise la décomposition : 4 x (20 + 4) = (4 x 20) + ( 4 x 4 ) = 80 + 16 Il utilise de manière implicite la distributivité de la multiplication par rapport à l addition. L élève B effectue (24+24) + (24+24) = 48 + 48 Il utilise le fait qu une multiplication est une addition réitérée. L élève C transforme 24 x 4 = (25 1) x 4 = 25 x 4 1 x 4 = 100 4 Il utilise la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction L élève D utilise la décomposition (4 + 20) x 4 = (4 x 4) + (20 + 4). Sa technique est la technique écrite usuelle de la multiplication. Il utilise de manière implicite la distributivité de la multiplication par rapport à l addition. L élève E passe par une décomposition additive de 24 en 12 + 12. 4x24 = 4 x (12+12) = (4x12)+(4x12) = 48 + 48 = 96 Il utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l addition après avoir fait une décomposition additive de 24 en 12+121 L élève F décompose 24x4 = (3x8)x4 = 3x (8x4) = 3 x 32 = 96 Il utilise l associativité de la multiplication. 2. En faisant apparaître les diverses productions des élèves, le maître semble privilégier l objectif b (montrer aux élèves la variété des stratégies utilisables pour calculer mentalement). Il peut aussi mettre en évidence une stratégie meilleure que les autres (objectif a), mais laquelle doit-il choisir entre celle de C la plus rapide mais la moindre reproductible, celle de A la plus standard ou celle de D qui est proche de la technique écrite? Pour atteindre les objectifs c (utiliser les propriétés de la multiplication) et d (passer à la technique opératoire écrite), le maître doit prévoir d autres consignes (rappel et explication des propriétés, calcul écrit ) pour relier le calcul de 24 x 4 à son objectif principal. 3. les deux stratégies utilisent la même propriété de la multiplication (distributivité) et la même décomposition du produit et en ce sens elles sont équivalentes. Par contre, l explicitation de chacun des élèves ne fait pas référence aux mêmes compétences (décomposition dans un cas, technique écrite usuelle dans l autre). 4. Pour éviter les décompositions d un nombre non standard (E et F), il faut choisir des nombres qui ne se factorisent pas facilement ou qui ne sont pas des sommes de nombres bien connus. On peut choisir des nombres premiers (17 x 13). Pour éviter le recours à l addition réitérée, on peut prendre des nombres plus importants que 4 qui rendent fastidieux le calcul (par exemple 24 x13). Enfin pour éviter la stratégie de l élève C, il faut choisir des nombres éloignés des multiples de 5 (par exemple 27 x13) Variable didactique!! 5. A l école primaire, pour faire comprendre la distributivité, on peut faire travailler les élèves dans divers cadres : * Un cadre numérique comme celui proposé ici en faisant comparer divers calculs aux élèves. * Un cadre géométrique en faisant décomposer des grilles aux élèves. Par exemple 24 x 4 peut se représenter par : 20 4
4 20x4 4x4 *Un cadre usuel avec résolution de problèmes utilisant la distributivité grâce à la présence de deux populations disjointes (filles et garçons,..) 6. Dans ces six productions, celles qui conduisent à la technique opératoire e la multiplication sont celles qui s appuient sur la distributivité en utilisant la décomposition canonique d un nombre (productions de A et D).