Évaluation des marges de profit NIVEAU 10 Lorsqu une entreprise lance un nouveau produit sur le marché, comment peut-elle faire en sorte que son prix de vente soit assez bas pour attirer les clients, mais assez élevé pour réaliser un profit intéressant par unité? Dans la présente leçon, les élèves verront comment les mathématiques peuvent être utilisées dans le monde des affaires pour fixer des prix appropriés. Connaissances préalables : Les élèves devraient déjà connaître les composantes d une équation quadratique comme le vertex, les zéros, etc. Ils devraient également savoir comment «compléter le carré». Cours Durée Résultats d apprentissage de la littératie financière Principes de mathématiques, 10 e année, cours théorique (MPM2D) 70 minutes À la fin de cette leçon, les élèves pourront : comprendre comment une entreprise fixe le prix d un produit; décrire des facteurs ayant une incidence sur le prix d un produit. Attentes et contenus d apprentissage Mathématiques, 9 e et 10 e année (2005 révisé) Principes de mathématiques, 10 e année, cours théorique (MPM2D) Attente Fonctions du second degré Démontrer une habileté à utiliser les propriétés des fonctions et des équations du second degré dans diverses situations. Contenu d apprentissage Problèmes portant sur les fonctions du second degré Analyser, en situation, des fonctions du second degré définies par une table de valeurs, un graphique et une équation, à l aide ou non d outils technologiques. Évaluation Matériel Recueillir les feuilles de calcul des élèves. Exemplaires pour les élèves de la feuille de calcul (annexe) Calculatrices graphiques TI PAGE 1
Évaluation des marges de profit Mise en situation Poser la question suivante aux élèves : «Quand une entreprise lance un nouveau produit sur le marché, pourquoi son prix de vente est-il important?» La discussion a pour but d aider les élèves à comprendre que le prix d un produit a un effet sur la décision du consommateur de l acheter ainsi que sur le profit net de l entreprise. Expliquer aux élèves que lorsqu un commerçant sait comment utiliser les mathématiques pour fixer les prix des produits qu il vend, cela l aide à s assurer qu ils ne sont ni trop élevés ni trop bas. Réfléchir, comparer, partager Former des équipes de 2 élèves. Leur demander d examiner deux techniques d établissement des prix, qui sont utilisées par les commerçants. La première consiste à fixer des prix supérieurs à ceux du marché (élevés) et la deuxième à fixer des prix inférieurs à ceux du marché (bas). Quels sont les avantages et les inconvénients de chaque technique? Demander aux élèves d en discuter avec leur partenaire. Aider les élèves à comprendre le principe suivant : un produit dont le prix est inférieur à ceux du marché attire plus de consommateurs (part de marché plus importante), mais génère un profit par unité moins élevé, tandis qu un produit dont le prix est supérieur à ceux du marché génère un profit par unité plus élevé, mais attire moins de consommateurs (part de marché moins importante). Expliquer que les mathématiques peuvent être utilisées pour fixer un prix de vente permettant à une entreprise de couvrir ses frais et de faire un profit, tout en étant juste pour les consommateurs. Scénario Marc a une idée pour un nouveau produit : des autocollants décoratifs pour les bottes de caoutchouc. Il trouve quelqu un pour fabriquer les autocollants, mais il ne sait pas combien il devrait les vendre. Quel est le prix optimal qu il pourrait demander pour maximiser son profit? PAGE 2
Évaluation des marges de profit Action Directives Distribuer la feuille de calcul (annexe) aux élèves. Dessiner ou montrer une parabole tournée vers le bas sur laquelle le prix est représenté sur l axe des x et le profit, sur l axe des y. Demander à un volontaire d écrire au tableau l équation générale d une parabole sous forme de vertex. Demander à un autre élève de repérer le point sur la parabole qui maximise le profit et de noter les coordonnées variables de ce point en fonction de l équation générale (h, k). Demander aux élèves de discuter avec leur partenaire, dans le cadre d une activité «Réfléchir, comparer, partager», de ce que représente chaque variable (a, k, h, x, y) de la formule en ce qui concerne la courbe d une entreprise. Demander à un volontaire de lire à voix haute l introduction sur l entreprise Les CyberFutés inc. (voir l annexe). Demander aux élèves de remplir la feuille de calcul. Présenter la calculatrice graphique et ses caractéristiques. Expliquer aux élèves qu ils devront se servir d une calculatrice graphique pour remplir la dernière partie de la feuille de calcul. Leur dire de suivre les directives indiquées sur la feuille de calcul pour effectuer les opérations. Remarque : Dans cette leçon, on suppose que les élèves se sont déjà servis d une calculatrice graphique TI. Si ce n est pas le cas, des explications plus détaillées pourraient être nécessaires. Consolidation Poser les questions suivantes aux élèves : 1. Quelles sont les difficultés qu un propriétaire d entreprise peut rencontrer lorsqu il calcule le prix de vente d un produit au moyen de relations quadratiques? 2. Quelles sont les variables qui peuvent avoir un effet sur le «vertex» d un graphique montrant le prix d un produit par rapport au profit qu il génère au fil du temps? 3. Évaluez le processus servant à déterminer le profit en fonction de la vente d un produit. Quelles questions pourrait-on se poser si un graphique ne passait pas par l origine? 4. S il veut savoir quel prix demander pour un produit afin de réaliser un profit, un propriétaire d entreprise doit faire des calculs. Quels sont les facteurs dont un consommateur pourrait tenir compte pour décider si le prix d un produit est «raisonnable»? PAGE 3
ANNEXE Évaluation des marges de profit Feuille de calcul «Les CyberFutés inc.» Introduction Vous êtes président-directeur général de l entreprise Les CyberFutés inc. Vous venez de mettre au point le premier produit de l entreprise. Il s agit d un dispositif ingénieux appelé L éliminex. Lorsqu on le branche dans un diffuseur de médias portatif, L éliminex supprime tous les fichiers inutiles et les logiciels malveillants, et redistribue les données de façon à libérer de l espace pour accueillir de nouveaux fichiers! Afin de commercialiser L éliminex à grande échelle, vous devez participer à des salons professionnels pour convaincre des détaillants à succursales multiples d accepter de le vendre. La réussite de votre entreprise dépend non seulement du nombre d unités vendues, mais également du prix demandé pour le produit. Utilisez l information fournie et vos connaissances en algèbre quadratique pour déterminer : le prix auquel vous devriez vendre L éliminex pour réaliser le profit le plus élevé possible; si le prix de vente fixé serait acceptable pour les consommateurs (et perçu comme étant juste). Remarque : N oubliez pas que si le prix est trop haut, vous ferez un profit plus élevé par unité, mais vendrez moins d unités, tandis que si le prix est trop bas, vous vendrez plus d unités, mais ferez un profit moins élevé par unité. Marche à suivre 1. Dessinez un graphique du prix par unité (x) par rapport au profit (y), et identifiez vos axes : 2. Écrivez l équation générale pour une fonction quadratique sous forme de vertex : PAGE 4
ANNEXE Évaluation des marges de profit Feuille de calcul «Les CyberFutés inc.» (suite) 3. Vous retenez les services d une société spécialisée dans les études de marché. Elle analyse les données pertinentes et détermine que l équation de votre courbe est y = 2x 2 + 60x. Pour obtenir plus d information, il faudrait que vous payiez des frais supplémentaires. Cependant, vous estimez que vous avez toute l information dont vous avez besoin. Transformez l équation sous forme de vertex (si vous avez oublié comment le faire, reportez-vous à vos notes de cours portant sur ce sujet). 4. Que représentent les variables suivantes sur la courbe de votre entreprise? a : h : k : y : x : 5. Vous pouvez maintenant déterminer le prix idéal par unité ainsi que le profit que vous réaliserez. Quelles sont ces valeurs et comment l équation vous a-t-elle aidé à les trouver? 6. Combien d unités vendrez-vous si votre prix et votre profit sont à leur niveau idéal? PAGE 5
ANNEXE Évaluation des marges de profit Feuille de calcul «Les CyberFutés inc.» (suite) Opérations à effectuer avec votre calculatrice TI À l aide de votre calculatrice TI, faites le graphique de l équation en utilisant le bouton y=. Appuyez sur WINDOW et réglez les paramètres de la façon suivante. Appuyez sur GRAPH pour afficher votre graphique. Appuyez sur 2 nd et TRACE pour répondre aux deux questions qui suivent. 7. Le vertex du graphique correspond-il à ce que vous avez déterminé avec votre équation? 8. Quel prix serait inacceptable pour les consommateurs? 9. Si vous aviez fixé le prix à 25 $ l unité, quel profit auriez-vous réalisé et combien d unités auriez-vous vendues? 10. Pourquoi une entreprise pourrait-elle choisir de fixer un prix de vente différent de celui qui maximise son profit? PAGE 6