Exercices : Probabilités et variables aléatoires discrètes Exercice 1 Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun deux sujets. On dispose donc de vingt sujets que l'on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se présentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus les sujets choisis par le premier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième. On note A 1 l'événement : " les deux sujets obtenus par le premier candidats proviennent du même examinateur" et A 2 l'événement : " les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent du même examinateur".on note l'événement complémentaire de A. 1. Montrez que la probabilité de A 1 est 1/19 a) Calculez directement la probabilité : p (A2/A 1 ) b) Montrez que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun deux sujets provenant d'un même examinateur est égale à 1/323 2. a)calculez p (A 2 / 1) b) Calculez p (A 2 ) puis montrez que p (A 1 U A 2 ) = 33/323 3. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats ayant choisi chacun deux sujets provenant d'un même examinateur. X prend donc les valeurs 0, 1 et 2. a)déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire X b) Calculez l'espérance mathématiques de X Corrigé exercice 1 1) a)le premier choisit 2 sujets parmi les 20 possibles. Il a donc C 2 20 = 190 choix possibles. Comme il a exactement 10 choix pour 2 sujets venant du même examinateur, on a bien: P (A) = b) Si le premier candidat a choisi 2 sujets venant du même examinateur, alors il reste au deuxième candidat 18 sujets. Il a alors C 2 18 = 153 choix. Il a exactement 9 choix de 2 sujets venant du même examinateur donc la probabilité qu'à le deuxième candidat de choisir 2 sujets venant du même examinateur sachant que le premier candidat a fait de même est : P(A 2 / A 1 ) =9/153=1/17 c) D'après le principe des probabilités conditionnelles, on a donc bien : P(A 1 A 2 ) = P(A 2 / A 1 )P(A 1 ) =(1/19)(1/17)=1/323 2) a) Si le premier candidat n'a pas tiré deux sujets venant du même examinateur, le second candidat a toujours C 2 18 choix pour les deux sujets, mais il n' a que 8 choix pour avoir deux sujets du même examinateur. Donc: P(A 2 / 1) =8/153 b) D'après la loi des Probabilités Totales, on a : P(A 2 ) = P(A 2 / A 1 )P(A 1 ) + P(A 2 / 1)P( 1 ) = P(A 2 / A 1 )P(A 1 ) + P(A 2 / 1)(1-P(A 1 )) D'où :. En utilisant alors la relation : P (A 1 U A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) - P (A 1 après un simple calcul : P (A 1 U A 2 ) =33/323 A 2 ), on obtient bien Remarquons que l'on peut alors former le tableau suivant qui résume les probabilités calculées et qui permet de déduire celles qui manquent:
A 1 1 A 2 2 Total 1 3) a) D'après les questions précédentes, on a : P( X= 2) = P(A 1 A 2 ) = 1/323 P(X = 1 ) = P(A 1 2) + P( 1 A 2 ) = [1-P(A 2 / A 1 )]P(A 1 ) + P(A 2 / 1)P( 1 ) = 32/323 P( X = 0) = 1 - P(X = 1) - P(X = 2 ) =290/323 b) E[X] =34/323 Exercice 2 - D'après France Métropolitaine Septembre 1999 - Bac ES Un entraîneur d'une équipe de football a étudié les statistiques de tir au but (penalty) de ses joueurs. Il a alors remarquer que sur une série de cinq tirs au but, un joueur pris au hasard dans son équipe marque - 5 buts avec une probabilité de 0,2-4 buts avec une probabilité de 0,5-3 buts avec une probabilité de 0,3. Chaque joueur, à l'entraînement, tire 2 séries de 5 ballons. On admet que les résultats d'un joueur à chacune des 2 séries sont indépendants. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirs aux buts réussis par un joueur au cours d'un entraînement. I. a. Calculez la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir tous ses tirs aux buts lors d'un entraînement. b. Précisez les valeurs possibles pour X et établir sa loi de probabilité. (On pourra s'aider d'un arbre). c. Calculez l'espérance de X. II. L'entraîneur considère que le joueur a réussi l'épreuve des tirs au but lorsque X > 8. Montrez que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d'un entraînement est égale à 0,61. III. Chaque joueur participe à 10 séances d'entraînement. On admet que les épreuves de tirs au but sont indépendantes les unes des autres. On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de succès d'un joueur à l'épreuve des tirs au but au cours des ces 10 entraînements, c'est à dire le nombre de fois où il a marqué au moins 8 buts. Si au cours d'une séance d'entraînement, il ne marque pas au moins 8 buts, on dit qu'il a eu un échec. Les résultats seront donnés par défaut, avec 3 chiffres après la virgule. Calculez pour un joueur :
a. la probabilité de n'avoir aucun échec lors des 10 séances. b. la probabilité d'avoir exactement 6 succès. c. la probabilité d'avoir au moins 1 succès. IIII.Calculez le nombre minimal d'entraînement auxquels doit participer n joueur pour que la probabilité d'avoir au moins un succès soit supérieur à 0,99 Corrigé exercice 2 Avant de commencer cet exercice, il faut mieux faire un arbre qui résume la situation. Un joueur tire donc deux séries de 5 ballons. Pour chaque série, le joueur marque 3 ou 4 ou 5 buts avec des probabilités respectives de 0,2 ou 0,5 ou 0,3. Ceci conduit alors à l'arbre suivant. Les probabilité calculées tiennent compte du fait que les résultats des tirs sont indépendants les uns des autres. I. X est la variable aléatoire égale au nombre de buts réussis par un joueur au cours d'un entraînement. Les valeurs que peut prendre X sont donc: 6 ou 7 ou 8 ou 9 ou 10 a: Le joueur réussit tous ses tirs au but s'il marque 5 buts à chaque série. Comme la probabilité de marquer 5 buts durant une série est 0,2 et que les résultat des séries de tirs sont indépendants, on a donc: Probabilité de marqués 5 buts à chaque série = (0,2)² = 0,04. b: On a vu que les valeurs que peut prendre X sont 6-7 - 8-9 - 10. D'après l'arbre construit, on obtient alors : P(X=6) = 0,3*0,3 = 0,09 P(X=7) = 0,3*0,5 + 0,5*0,3 = 0,30 P(X=8) = 0,3*0,2 + 0,5*0,5 + 0,2*0,3 = 0,37 P(X=9) = 0,5*0,2 + 0,2*0,5 = 0,20 P(X=10)=0,2*0,2 = 0,04. On présente alors ces résultats sous forme de tableau: Tableau : Loi de Probabilité de X X = k 6 7 8 9 10 P(X=k) 0,09 0,30 0,37 0,20 0,04
c: On vérifie que l'espérance de X est : E[X] = Σ P(X=k).k = 7,8 II. L'entraînement est réussi si le joueur marque au moins 8 buts durent deux séries. On veut P( X > 8) = P( X = 8 ) + P( X = 9 ) + P( X = 10 ). D'après le tableau précèdent, on a donc: P( X > 8 ) = 0,37 + 0,20 + 0,04 = 0,61. C'est bien la valeur demandée. III. Y est la variable aléatoire égale au nombre de séances d'entraînement réussies ou succès en 10 séances d'entraînement. Comme pour chaque séance, la probabilité que la séance soit un succès est p = 0,61 et que les résultats des séances sont supposés indépendants les une des autres, on voit alors que Y suit une loi Binomiale de paramètre (n = 10, p = 0,61). a: La probabilité que le joueur n'ait aucun échec lors des 10 séances est alors: b: La probabilité d'avoir exactement 6 succès est : c: La probabilité d'avoir au moins un succès est : III. Pour n séances d'entraînement de suite, la probabilité que le joueur n'ait aucune succès est (0,39) n. Donc la probabilité que le joueur ait au moins un succès est : 1 - (0,39) n On veut donc déterminer la plus petite valeur de n telle cette probabilité soit > 0,99.
Exercice 3- France-Métropolitaine juin 98 Dans cet exercice, A et B étant deux événements, p (A) désigne la probabilité de A; p (B/A) la probabilité de B sachant que A est réalisé. 1: Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité: p i = p( X = i ) et p 0 = 0,1 ; p 1 = 0,5 ; p 2 = 0,4 a: Définir et représentez graphiquement la fonction de répartition de X. b: Calculez l'espérance mathématique de X 2: Dans cette station service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est 0,7; celle qu'il achète du gazole est 0,3. Son choix est indépendant des autres clients. On considère les événements suivants: C1 :" En cinq minutes, un seul client se présente" ; C2 :" En cinq minutes, deux clients se présentent"; E :" En cinq minutes, un seul client achète de l'essence". a: Calculer p( C1 et E ). b: Montrer que p(e / C2) = 0,42 et calculez p(c2 et E). c: En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'essence. 3: Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes. Déterminer la loi de Y Correction 1: a:la fonction de répartition F de X est définie par : F(x) =p(x X ). D'où : F(x) = 0 pour x<0 ; F(x) = 0,1 pour x dans [0; 1[ ; F(x) = 0,6 pour x dans [1; 2[ ; F(x) = 1 pour x supérieur ou égal à 2. b: L'espérance de X est E[X] = 1,3 2: a: p (C1 et E) = p(e / C1).p(C1) = 0,7.0,5 = 0,35
b: p(e / C2) = 0,7.0,3 + 0,3.0,7 = 0,42 car si 2 clients se présentent, soit le premier achète de l'essence et le second du gazole, soit le premier achète du gazole et le second de l'essence, et les choix des deux clients sont indépendants. A partir de là, comme p (C2 et E) = p(e / C2)x p (C2), on a: P (C2 et E) = 0,42x 0,4 = 0,168 c: D'après la loi des probabilités totales, on a, en appelant C0 l'événement " En cinq minutes, 0 client se présente": p(e) = p(e et C0) + p(e et C1) + p(e et C2) = 0 + 0,35 + 0,168 = 0,518. 3: Y peut prendre les valeurs 0, 1 et 2. D'après la loi des probabilités totales, on a: p(y=0) = p(y=0 / C0).p(C0) + p(y=0 / C1).p(C1) + p(y=0 / C2).p(C2) = 0,1 + 0,3.0,5 + (0,3)².0,4 = 0,286 p(y=1) = p(e) = 0,518 p(y=2) = p(y=2 / C0).p(C0) + p(y=2 / C1).p(C1) + p(y=2 / C2).p(C2) = 0 + 0 + (0,7)².0,4 = 0,196. On peut éviter le dernier calcul en remarquant que p(y=2) = 1 - p(y=0) - p(y=1).