I.P.S.A. 5 / 9 rue Maurice Grandcoing 94200 Ivry Sur Seine Tél. : 01.56.20.60.71 Classe : Date de l'epreuve : 28 mars 2015 AERO.2- C, D et E Corrigé PARTIEL THERMODYNAMIQUE Professeur : BOUGUECHAL Durée : 1h30 2 h 00 3 h 00 Avec (1) Notes de Cours Sans (1) sans (1) (1) Rayer la mention inutile NOM : Prénom : Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 /2.5 /5 /5 /8 /3.0 Calculatrice NON programmable / 20 N de Table : PARTIEL DE THERMODYNAMIQUE : Inscrivez vos nom, prénom et classe. Justifiez vos affirmations si nécessaire. Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. Le barème est donné à titre indicatif. Si au cours de l épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l examen en proposant une solution. Rédigez directement sur la copie. NOM : NUMERO : :: PRENOM : : CLASSE : Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 1/13
Exercice 1 : Entropie et propriétés ( 2.5 points ) A. La relation qui lie la variation de l entropie est : 1. 2. 3. 4. 5. aucune réponse ne convient B. La relation qui lie l entropie et les autres variables d état est : 1. 2. 3. 4. 5. aucune réponse ne convient C. La relation qui lie l entropie et les autres variables d état est : 1. 2. 3. 4. 5. aucune réponse ne convient D. La relation qui lie l entropie et les autres variables d état est : 1. 2. 3. 4. 5. aucune réponse ne convient E. La relation qui lie l entropie et les autres variables d état est : 1. 2. 3. 4. 5. aucune réponse ne convient Cochez la (ou les ) bonne(s) case(s). EXERCICE 1B 1 2 3 4 5 A X 0. 5 B X 0. 5 C X 0. 5 D X 0. 5 E X 0. 5 Si aucune case n est cochée note = 0. Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 2/13
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Exercice 2: Cycle d une machine thermodynamique. ( 5 points ) Une mole de gaz parfait effectue un cycle supposé réversible dont la représentation graphique est une ellipse de grand axe V 0 et de petit axe P 0 dans le diagramme P-V. Soit R la constante des gaz parfaits et γ la constante adiabatique du gaz. On rappelle que l aire d une ellipse est donnée par A = πab où a et b sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe. P B (3/2)P 0 P 0 A P 0 C (1/2)P 0 V 0 D V V 0 (3/2)V 0 2V 0 a) Quel est le signe du travail échangé lors de la transformation de A B C. Justifiez. b) Quel est le signe du travail échangé lors de la transformation de C D A. Justifiez. c) Le cycle A B C D A est il moteur ou récepteur? Justifiez. d) Etablir l expression du travail échangé lors du cycle en fonction des données. e) En déduire l expression de la chaleur échangée lors du cycle en fonction des données. f) Déterminer les températures aux points A, B, C et D en fonction de P 0 et V 0. g) Déterminer la variation d énergie interne entre A et C en fonction de P 0 et V 0. h) Déterminer le travail échangé entre A et C en passant B en fonction de P 0 et V 0. i) En déduire la quantité de chaleur entre A et C en passant par B en fonction de P 0 et V 0. j) Déterminer la variation d entropie entre A et C en fonction de P 0 et V 0.. Solution : a) b) c) Aire sous la courbe. d) e) Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 4/13
f) 2* g) h) i) j) Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 5/13
Exercice 3: Détermination de γ par la méthode de Rüchardt. (5 points) Un grand récipient de volume V est surmonté d un tube cylindrique de section S et de volume très petit devant le récipient. Un cylindre métallique de masse m et de même section S que le tube glisse sans frottement à l intérieur de celui-ci, en assurant une étanchéité parfaite. Le cylindre est initialement au repos au point O. La pression atmosphérique est P 0. Le récipient contient un gaz parfait de constante adiabatique γ légèrement comprimé par le cylindre.. x(t) x S O m V a) Exprimer la pression P du gaz dans le récipient en fonction des données. b) On écarte légèrement le cylindre de sa position d équilibre, on note x(t) son abscisse à l instant t. faire le bilan des forces que subit le cylindre. On notera P(x) la pression du gaz lorsque le cylindre est en x. c) On suppose que le cylindre oscille assez rapidement pour le gaz n ait pas le temps d échanger de la chaleur avec l extérieur, la transformation est alors adiabatique. Etablir la relation qui lie dp à dv. d) Montrer que le mouvement du cylindre est régi par une équation différentielle du second ordre qui s écrit : e) En déduire la pulsation propre du système et la période propre. f) Montrer qu il est alors possible de déterminer la constante adiabatique connaissant la période et les autres constantes du système. Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 6/13
a) La pression P le gaz est égale à la pression atmosphérique + la pression exercée par la masse sur le gaz. b) P 0 S x(t) 0 P(x) S c) La transformation est adiabatique : On différencie : d) e) Pulsation et période : f) D où la formule de la constante adiabatique : Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 7/13
Exercice 4: Cycle d une machine à vapeur. Cycle de Rankine. ( 8 points ) Le fonctionnement d'une machine à vapeur peut être modélisé par un cycle de Rankine. Un fluide subit des transformations dont certaines consistent à réaliser des échanges thermiques avec deux sources de chaleur, chaque source étant à température constante. Ces échanges peuvent provoquer des transitions de phase liquide vapeur et vapeurliquide. Le fluide utilisé est de l'eau qui décrit le cycle suivant : D --> A : échauffement isobare de l eau de 35 C à 310 C à P 1 = 100 bars dans le réchauffeur. A --> B : vaporisation totale à 310 C dans le générateur de vapeur (bouilleur). B--> C : détente isentropique de la vapeur saturante en entrée turbine de P 1 = 100 bars à P 2 = 0,05 bar. C --> M : fin de condensation à P 2 = 0,05 bar. M --> D : compression isentropique du liquide dans la pompe. En régime permanent, les pertes de charges, pertes thermiques, variations d énergie cinétique et d énergie potentielle de pesanteur sont négligeables. Le diagramme T-s permet de visualiser l'évolution de l'eau au cours du cycle. a) Indiquer sur le diagramme la courbe de rosée, la courbe d'ébullition ainsi que le point critique. b) Compléter le tableau suivant : pression (bar) entropie massique kj kg -1 K -1 enthalpie massique kj kg -1 liquide saturant vapeur saturante liquide saturant vapeur saturante 100 3.4 5.6 1400 2700 0.05 0.4 8.4 100 2500 Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 8/13
c) En observant les courbes isobares du diagramme T-s, expliquer pourquoi on peut admettre que le point M est pratiquement confondu avec le point D sur ce diagramme. d) On veut calculer la différence de température entre le point M et D de cette compression isentropique. Donner l expression de l entropie élémentaire ds en fonction de dt, dp et des dérivées partielles de l entropie. Montrer que ds peut se mettre sous la forme (relations de Maxwell). : Sachant que la compression est isentropique et que le coefficient de dilatation isobare est donné par En déduire que : Application numérique : Données pour l eau liquide Calculer. Conclusion e) Calculer le travail massique de la pompe lors de la compression isentropique. Le travail est donné par : V étant le volume massique de l eau, constant car l eau est incompressible. f) Dessiner précisément le cycle de Rankine sur le diagramme fourni. g) Par lecture graphique, compléter le tableau suivant : état A B C M D P (bar) 100 100 0.05 0.05 100 T( C) 310 310 35 35 35 h( kj kg -1 ) 1400 2700 1700 100 100 s (kj K -1 kg -1 ) 3.4 5.6 5.6 0.4 0.4 Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 9/13
h) On rappelle l'expression du premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement permanent entre une entrée et une sortie de machine sans variation d'énergie cinétique ni variation d'énergie potentielle : h=h sortie -h entrée =W+Q (h, W, Q grandeurs massiques ; W : travail utile fourni par la machine) 1. Calculer l'énergie thermique (ou quantité de chaleur) Q DB reçue par kilogramme de vapeur d'eau, au cours du transfert thermique avec la source chaude. 2. Calculer le travail W BC dans la turbine calorifugée. Commenter son signe. 3. Calculer l'énergie thermique Q f reçue par kilogramme d'eau lors du transfert thermique avec la source froide. 4. Calculer le rendement de ce cycle moteur. a) Voir diagramme thermodynamique. b) Voir tableau. c) Les points M et D ont des pressions différentes, ils sont à l état liquide. Le liquide étant incompressible, les isobares sont pratiquement confondus. d) on sait que : Attention : on ne peut pas utiliser la formule suivante car on est à l état liquide. valable uniquement pour un gaz parfait. Comme la compression est isentropique : On en déduit : Application numérique : Le passage de bar à 100 bars ne fait augmenter la température que de C pour le liquide. e) On calcule : Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 10/13
f) Voir cycle sur le diagramme thermodynamique. g) Voir tableau. h) On utilise la formule : h=h sortie -h entrée =W+Q h, W, Q grandeurs massiques ; W : travail utile fourni par la machine 1. Calcul de la quantité de chaleur échangée Q DB Il n y a pas de travail échangé. 2. Calcul du travail dans la turbine : Il n y a pas de chaleur échangée. 3. Calcul de l énergie thermique dans la source froide. Il n y a pas de travail échangé. 4. Rendement : *4 Remarque importante : On aurait pu faire l exercice en utilisant que le tableau 1 de la question b). Le seul point qui ne figure pas sur la courbe de saturation est le point C. On peut le déterminer. Les calculs sur l état liquide se font avec les formules de calorimétrie. Question h) 1. changement d état. : eau liquide. : chaleur latente de Question h) 2. H B se trouve sur la courbe de saturation : c est une donnée. H C n est pas sur la courbe de saturation. Il peut être calculé. Il faut déterminer le titre en vapeur au point C en utilisant l entropie. (Règle des moments). entropie sur la courbe de saturation (tableau 1). sont sur une isentrope. Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 11/13
A C B Nom : Exercice 4 Numéro : Cycle de : Rankine : Partiel du 28/3/2015 Vapeur Courbe de rosée Point critique LIQUIDE Courbe d ébullition D M Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 12/13
Exercice 5: Principes et transformations élémentaires réversibles ( 3.0 points ) On considère une mole de gaz parfait subissant une transformation élémentaire réversible. Donner la relation de Meyer qui le C P au C V pour un gaz parfait, la définition du γ et en déduire la relation entre C p et Cv en fonction de γ et R. ( tableau 1). Donner l expression de du, δw, δq, dh, ds, df et dg en fonction des variations élémentaires dt, dp, dv de la température, de la pression, du volume et des coefficients caractéristiques du gaz parfait : constante des gaz parfaits R et constante adiabatique γ qu on supposera constants. (tableau 2). Bien lire l énoncé avant de remplir les tableaux. Expressions générales Relation de Mayer Définition du γ C p C V Energie interne Travail du δw Expressions générales Chaleur δq Enthalpie dh Entropie ds Energie libre Enthalpie libre df dg 0 Partiel de THERMODYNAMIQUE du 28 mars 2015 13/13