6 ALGORITHMES GLOUTONS PLAN Problèmes d'optimisation Algorithmes gloutons Arbre couvrant minimal Choix d'activités Codage de Huffman Matroïdes
6. PROBLEMES D OPTIMISATION un problème plusieurs solutions une solution une valeur problème d'optimisation: recherche d'une solution de valeur optimale (min ou max) algorithme de résolution: reconnaissance d'une solution évaluation d'une solution sélection d'une des meilleures solutions 2
problèmes d'optimisation faciles difficiles --------------------------------------------------------------- EXEMPLES E) chemin min A 3 2 B D 5 6 3 C problème facile (v=9;abecg) E F 2 G 3
E2) sac-à-dos (en nombres entiers) problème "assez" difficile aliments A B C poids unitaire 6 3 hg valeur nutritive unitaire 0 6 poids max des aliments: 7 2 solutions optimales:.a + 2.B +.C v = 0 (p=7).b v = 0 (p=6)
E3) voyageur de commerce problème difficile ici, 2 solutions optimales A 2 2 B E 2 3 D 5 3 C ACBDEA et ACEBDA v = 2 nombre de solutions: 2 (n-!) --------------------------------------------------------------- 5
problème de petite taille énumération possible problème de grande taille énumération impossible INTERDIT D'ÉNUMÉRER DANS LE COMBINATOIRE optimisation discrète optimisation continue 6
problèmes faciles algorithme de complexité polynomiale (cf cours 2) problèmes "difficiles" - tous les algorithmes connus sont de complexité exponentielle - problèmes dits NP-complets ou NPdifficiles cours VARI:problèmes "faciles" 7
6.2 ALGORITHMES GLOUTONS choix glouton = choix localement optimal optimum local optimum global x x 2 x 3 fonction concave (ou convexe) optimum local = optimum global continu entier x et x 3 : optima locaux x 2 optimum global (et local) 8
algorithme glouton: pas toujours optimal EXEMPLE un algo glouton pour le PVC: - trier les arêtes (coûts croissants) - sélectionner dans l'ordre les arêtes non "parasites" A 2 B 2 D 2 3 E 5 3 C ([A,E],[B,D],[A,B], [A,D],[B,E],[A,C], [E,D],[C,E],[C,D]) [A,B,D,C,E,A] valeur 3 (opt=2 [ACEBDA]) 9
algorithme glouton: à chaque étape choix le plus intéressant à cet instant facile à concevoir difficile de vérifier l'optimalité efficace (faible complexité) 0
6. 3 ARBRE COUVRANT MINIMAL 6.3. LE PROBLÈME relier des objets avec une longueur totale minimale des liens graphe valué associé: - sommets = objets - arête = lien possible - poids d'une arête = longueur du lien
-------------------------------------------------------------- EXEMPLE A 5 --------------------------------------------------------------- solution optimale: sans cycle et connexe ARBRE par tous les sommets COUVRANT de longueur totale min MINIMAL B D E 5 5 F 5 G 2
6.3.2 ALGORITHME DE KRUSKAL rappel: arbre m = n- arêtes entrée: G = (X,U,P) n sommets, m arêtes sortie: A arbre couvrant min de G 3
void kruskal (in G: graphe; out A: arbre): entier k=0; {arêtes} V= ; début trier les arêtes de G par ordre de poids croissant ; tant que k < n- faire fait ; parcourir la liste triée ; sélectionner la première arête qui ne forme pas de cycle avec les précédentes, w ; k = k+ ; V = V U {w} ; A = graphe (X,V) ; fin
-------------------------------------------------------------- EXEMPLE liste triée: - ah de a di 2 ei b g 3 2 3 2 hi fg h 3 ab 2 bh 2 x x x - x x x - x - - - x - - - STOP ci 2 c cd 2 bc 3 2 i ch 3 f d ef 3 3 gh 3 e ag ge n = 9 stop après 8 sélections P(A) = (+++++2+2+3) = 2 -------------------------------------------------------------- 5
implémentation peu facile (sera faite en exercices dirigés) complexité O(m logm) (TRI) 6
CArbre kruskal ( ) entier k =0; {arêtes} V= ; début trier les arêtes de G par ordre de poids croissant ; tant que k < n- faire fait ; parcourir la liste triée ; sélectionner la première arête qui ne forme pas de cycle avec les précédentes, w ; k = k+ ; V = V U {w} ; Retourner A = graphe (X,V) ; fin 7
6.3.3 PREUVE DE L OPTIMALITE G=(X,U) le graphe A=(X,V) l'arbre couvrant obtenu p(u) : poids de l'arête u propriété soit w U -V, w=[x,y] et c w : chaîne de x à y dans A; alors, p(w) max u cw p(u) x w cw y 8
A': arbre optimal de poids p(a') montrons que p(a) = p(a') soit u A'-A x x x a x b u x x x x x C C 2 x x x a x b x x v x x x u V'-V v c u A'=(X,V') A=(X,V) relie C et C 2 dans A' relie C et C 2 dans A 9
propriété p(u) p(v) et A' minimal p(v) p(u) p(u) = p(v) soit A"=A'+{v}-{u}: p(a")=p(a') A"optimal et v A" soit u' A"-A,... (idem... A''')... fin: A'' '' = A et p(a'' '') = p(a') = p(a) 20
6. CHOIX D ACTIVITES 6.. LE PROBLÈME A = {a,a 2,..,a n } activités a i [d i,f i [ d i début, f i fin de a i a i et a j compatibles si d i f j ou d j f i problème: choisir le plus grand nombre d'activités compatibles 2
6..2 ALGORITHME CHOIX_ACTIVITÉ choix glouton : maximiser le temps restant après l'activité choisie Algorithme choix_activité indice j ; début (in A: liste initiale d'activités; out A*: liste d'activités choisies): trier et numéroter les a i dans l'ordre croissant des f i ; f f 2 f n A* = {a } ; j = ; j représente la dernière activité sélectionnée pour i = à n faire si d i f j alors A* = A*U{a i } ; j = i ; finsi; fait ; fin 22
complexité: O(nlogn)+O(n) tri boucle O(nlogn) -------------------------------------------------------------- EXEMPLE d i date de début de l'activité a i f i date de fin de l'activité a i activités triées selon les f i i 2 3 5 6 7 8 9 0 di 3 0 5 3 5 6 8 8 2 2 fi 5 6 7 8 9 0 2 3 23
2 2 3 5 6 7 8 8 8 8 8 9 0 0 2 3 5 6 7 8 9 0 2 3 tem p s 8 8
6..3 OPTIMALITE Soit B solution optimale B A* card B card A* B ordonné selon les f i : a k,a k2,..,a kn avec f k f k2... f kn si a k a, soit B':= B-{a k }+{a } -f f k f k2... f kn B' admissible - cardb' = cardb B' optimal sinon B':= B il existe une solution optimale commençant par un choix glouton 25
problème restant = problème initial avec A' = {a i A t.q. d i f } choix glouton suivant de B': a 2... fin: B'' '' = A* et card B'' '' = card B = card A* 26
6. 5 CODAGE DE HUFFMAN compression de données gain de place de 20 à 90% C = {caractères} c i C chaîne binaire unique -------------------------------------------------------------- EXEMPLE C = alphabet d-0 f-0 m-00... dfd = 000 MAIS mf = 000 (= dfd!) -------------------------------------------------------------- 27
codage préfixe : aucun mot de code n'est préfixe d'un autre mot décodage facile -------------------------------------------------------------- EXEMPLE caractère a b c d e f code 000 00 00 0 00 0 -------------------------------------------------------------- face 00000000 face concevoir le codage et décoder efficacement 28
arbre associé A (binaire et complet) 0 0 0 0 0 0 a 000 b c d e f 00 00 0 00 0 décodage: 00000000 f a c e 29
arbre associé A (binaire et complet) 0 0 0 0 0 0 a 000 b c d e f 00 00 0 00 0 décodage: 00000000 f ace autre possibilité 0 A 0 a 0 0 c b d e 0 face = 0000000 f 30
choix d'un arbre tableau des fréquences d'apparition des caractères dans le fichier (c f(c)) h A (c): hauteur de la branche c = nombre de bits pour c nombre de bits requis pour encoder un fichier selon l'arbre A B(A) = C f(c) h A (c) c 3
---------------------------------------------------------------- EXEMPLE a b c d e f fréq. 5 3 2 6 9 5 code A' 000 00 00 0 00 0 code A'' 0000 000 00 0 0 code H 0 0 00 0 00 B(A') = 300 (5+3+2+6+9+5)*3 B(A")= 328 (5*+3*+2*3+6*2+9*2+5*2) B(H) = 22 (5*+3*3+2*3+6*3+9*+5*) ---------------------------------------------------------------- 32
code de Huffman caractères fréquents mots courts nombre de feuilles = card(c) feuille c C "val"= f(c) "val" d'un = somme des nœud interne "val" des 2 fils 33
Algorithme HUFFMAN (in C: liste de caractères; in f: C N; out A: arbre de Huffman): avec void construire(z,x,y) qui crée un nœud z ayant pour fils gauche x et pour fils droit y liste_ordonnée L ; entier n; début n = card(c) ; L = C; tri de L selon les f(c) croissants; fin pour i = à n- faire fait ; x = L.min; L.supprimer_min; y := L.min; L.supprimer_min; construire (z,x,y); f(z) = f(x) + f(y); L.insérer (z); complexité: O(nlogn) 3
6. 5 MATROIDES 6.5. DÉFINITION complément facultatif du cours E = {e,e 2,..,e n } I P(E) matroïde: couple M = (E,I) t.q. F I et F' F F' I S E, [F I et F' I et F, F' sous-ensembles maximaux de S] card F = card F I famille de sous-ensembles «indépendants» I et i, {e i } I 35
Contre-exemple: E= ensemble des sommets d un graphe I = ensemble des ensembles stables a b S=Ensemble Stable=sous-ensemble de sommets du graphe tel que deux sommets de S ne sont pas voisins. Tout ensemble inclus dans S est donc stable. S est maximal si l ajout d un sommet quelconque le rend non stable. c d e {a,c,e}, {a,d} et {b} Sont des stables maximaux qui n ont pas le même cardinal. 36
---------------------------------------------------------------- EXEMPLE graphe G=(X G,E G ) M G matroïde graphique M G = (E G,I G ) I G ={F E G t.q. G'=(X G,F) sans cycle} sous-ensembles maximaux = arbres couvrants même cardinal: n- arêtes ---------------------------------------------------------------- 37
6.5.2 MATROIDES PONDERES M = (E,I,w) e E w e = poids de e F E w(f) = w e e F = poids de F problème: trouver F I t.q. w(f) minimal (ou maximal) 38
algorithme glouton_min (in M = (E,I,w): matroïde; out F: élément de I): début F = ; trier et numéroter les éléments de E par ordre de poids croissant; pour i = à n faire si FU{e i } I alors F = FU{e i }; fin fait ; finsi 39
théorème M matroïde pondéré : l'algorithme glouton donne toujours l'optimum complexité si test en O(f(n)) O(nlogn) + O(nf(n)) tri boucle pour (dépend de f(n)) 0