Intéresser les élèves par un enseignement mathématique moins abstrait

I.U.F.M. Académie de Montpellier Site de Nîmes VELASQUEZ Fanny Intéresser les élèves par un enseignement mathématique moins abstrait Contexte du mémoire : Discipline concernée : Mathématiques Classe de Sixième Collège La Vallée Verte, Vauvert Tuteur du mémoire : Orianne FAURE Assesseur : Jean-Marc RAVIER Année universitaire 2006-2007

RESUME A travers ce mémoire, j ai essayé d expliquer comment j ai tenté de motiver mes élèves en leur expliquant que les mathématiques ne sont pas une science abstraite. Au contraire, elles sont présentes dans leur quotidien, et ils les emploient souvent inconsciemment pour résoudre des problèmes. Grâce à des exercices issus de la vie courante, je les ai incités à prendre conscience de l importance des mathématiques et de leur utilité. SUMMARY In this report, I explained how I tried to encourage my pupils to like mathematics, explaining them that it is not an abstract science. On the contrary, maths are in their every day life and they often use them unconsciously in order to solve problems. Thanks to exercises taken from every day life, I made them realize the importance of mathematics and their usefulness. MOTS CLES mathématiques abstraction motivation utilité quotidien 2

PAGE A DISPOSITION DU JURY 3

TABLE DES MATIERES INTRODUCTION 5 I. PROBLEMATIQUE 6 1. DESCRIPTION DE LA SITUATION DE CLASSE 6 2. ORIGINE DU PROBLEME 6 3. ET DANS QUELQUES ANNEES? 7 4. CE QUE JE VEUX CHANGER 9 II. APPORTS THEORIQUES 10 1. EVOLUTION DE L ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES DEPUIS 1870 10 2. L ENSEIGNEMENT AUJOURD HUI 12 A. AU PRIMAIRE 12 B. AU SECONDAIRE 13 3. VERS UN ENSEIGNEMENT CONCRET 13 4. MAIS PAS TROP! LES RISQUES D UN TEL ENSEIGNEMENT 15 III. EXPERIMENTATIONS 17 1. LE CHOIX DE MES EXPERIMENTATIONS 17 2. ACTIVITE GEOMETRIQUE 17 3. EXERCICES 20 A. DEVOIR MAISON (LA DIVISION EUCLIDIENNE) 20 B. DEVOIR MAISON (L ESCARGOT) 21 4. NARRATION DE RECHERCHE 22 CONCLUSION 24 DOCUMENTATION 25 ANNEXES 26 Annexe 1 26 Annexe 2 27 Annexe 3 28 Annexe 4 29 4

INTRODUCTION Chaque enseignant a sa propre manière de travailler, d enseigner. Il possède son identité professionnelle. Pour moi, qui débute dans l enseignement, cette identité professionnelle n est pas encore tout à fait définie. Il faut être à l écoute de ses élèves, surveiller s ils parviennent aux objectifs qu on s était fixés, et parfois on échoue. C est ce qu il m est arrivé lors d une séance en classe, les élèves n ont pas du tout compris l intérêt d une notion enseignée, et l inévitable question «à quoi servent les mathématiques?» a été posée. Sachant qu une bonne maîtrise des mathématiques est nécessaire dans le quotidien, et pour éviter d avoir encore à entendre cette question, j ai d abord cherché quelle pouvait être l origine de ce trouble en demandant aux élèves ce qu ils répondraient à cette même question. J ai ensuite étudié l évolution de l enseignement des mathématiques depuis 1970, pour comprendre si ce malaise apparaissait déjà, et comment on pourrait y remédier. Enfin, j ai testé de nouvelles idées qui me paraissaient judicieuses pour résoudre cette incompréhension générale. 5

I. Problématique 1. description de la situation de classe A la fin de la leçon sur l addition et la soustraction des nombres décimaux, j ai proposé le calcul suivant à mes élèves : 88,57 41,643. Le but était d introduire l ordre de grandeur d un résultat comme élément prédictif ou vérificateur. La réponse des élèves a été unanime : «Si on peut calculer à peu près, alors pourquoi ne pas calculer exactement?» «S il faut faire le calcul, faisons-le directement, on gagne du temps» «ça ne sert à rien» J ai eu beau leur dire que c était très utile mais le mal était fait : comment expliquer à des élèves persuadés de l inutilité de cette notion, qu ils utilisent, inconsciemment et quotidiennement, l ordre de grandeur? 2. origine du problème «Mathématique (n.f.) : science qui étudie par le moyen du raisonnement déductif les propriétés d êtres abstraits (nombres, figures géométriques, fonctions, espace etc.) ainsi que les relations qui s établissent entre eux.» Le Petit Larousse Illustré 1996 «Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel» Wikipédia «Mathématiques (n.f.) : ensemble de sciences qui ont pour objet la quantité et l ordre, l étude des êtres abstraits (nombres, figures, fonctions, etc.) ainsi que les relations qui existent entre eux.» Dictionnaire Culturel en Langue Française Le Robert Le problème majeur soulevé ici est le lien entre les maths et le concret. Or qu est-ce que le «concret» pour des élèves de 6 ème qui ont à peine 11 ans? Les seules mathématiques qu ils ont faites jusqu à présent, se limitent aux calculs numériques, à quelques tracés de figures géométriques simples 6

Bien évidemment, ils ont alors, à ce moment-là, conscience que les mathématiques interviennent dans de nombreux domaines. Leurs connaissances limitées sur cette science leur permettent d affirmer que «oui les mathématiques sont présentes dans notre quotidien». J ai d ailleurs régulièrement interrogé mes élèves sur l utilité des mathématiques. A la question : «Quand, en dehors des 4h hebdomadaires de votre emploi du temps, pouvez-vous dire que vous faites des mathématiques?», les réponses les plus fréquentes étaient les suivantes: - Au supermarché - Calculer ses impôts - Lire l heure - Dans les jeux vidéos (pour acheter des objets) - Fabrication de monnaie (diamètre des pièces) - A la banque (combien d argent sur le compte) - Construction de maison (lors de la réalisation des plans), acheter une maison - A la pompe à essence - En histoire pour lire les graphiques population/superficie - En sport pour calculer la vitesse - Pour calculer sa moyenne trimestrielle - Lecture d une carte routière (échelle) - Faire la cuisine (tiers, quarts, demis et conversions dans les recettes) - Pour la météo : les températures positives et négatives La moitié des réponses présentent un intérêt économique. Pourtant les mathématiques ne sont pas seulement présentes lorsqu on utilise de l argent. Dans la suite de ce mémoire, on verra pourquoi des élèves de sixième pensent seulement à l économie. 3. et dans quelques années? Les élèves de sixième sont persuadés de l importance des mathématiques en dehors de l école. Pourtant, qui n a jamais entendu (ou même dit) : «Les maths, ça ne sert à rien!» dans la bouche d un adolescent ou d un adulte? Que s est-il passé? A quel moment y a-t-il eu une coupure? Pour essayer de comprendre, j ai effectué un sondage auprès de 341 élèves de mon collège. Voici les résultats : 7

Pensez-vous que les mathématiques sont présentes dans votre vie quotidienne? 6 e 5 e 4 e 3 e Pas du tout 3% 5% 13% 1% Un peu 3% 15% 31% 48% Beaucoup 51% 47% 53% 41% Enormément 43% 33% 3% 10% On peut observer en analysant ces résultats qu il y a un renversement de situations très significatif. Alors que 94% (!) des élèves de 6 e pensent que les mathématiques sont beaucoup ou énormément présentes dans leur vie quotidienne, trois ans plus tard, en 3 e, 48% (soit près de la moitié), sont convaincus que les mathématiques sont un peu présentes. Ce questionnaire ayant été posé par un professeur de mathématiques, on peut aussi imaginer que les partisans du «un peu» n ont pas voulu offenser et blesser le professeur en répondant «pas du tout» Je n ai malheureusement pas demandé la même chose à des élèves de 2 de. Cela aurait été intéressant de connaître leur opinion. Vu l évolution rapide des réponses, je ne dois pas beaucoup me tromper en affirmant que «un peu» et «pas du tout» se seraient vus attribués 70% des suffrages malgré les futures orientations en 1 ère S. La coupure a donc lieu au collège. Qu y a-t-il dans le programme du collège qui provoque un désintérêt progressif de cette science? Qu y a-t-il dans l enseignement des mathématiques qui provoque un éloignement de cette matière? Quelle pédagogie faut-il développer pour ne pas provoquer une certaine amertume? Et pourtant le problème a déjà été soulevé. Lorsqu on lit les documents d accompagnement aux programmes du cycle central des collèges (5 ème 4 ème ), il apparaît que «pour beaucoup d élèves, les occasions d apprendre ne suffisent pas, ils ont besoin en plus d avoir des raisons d apprendre» (en gras dans le texte). La question sous-entendue ici est celle, bien évidemment, de la motivation. De nouvelles questions me viennent à l esprit : comment, à mon niveau, puis-je redonner (ou entretenir) le goût d apprendre? Comment persuader ces élèves, en quelques mois, qu ils apprennent les mathématiques pour de bonnes raisons? 8

4. ce que je veux changer Les réponses données par mes élèves se recentrent sur le thème de l économie. Je ne peux pas les blâmer pour cela. Pourtant leur éducation mathématique ne va pas se limiter à des calculs d ordre monétaire. Les résultats du sondage présentent un réel désintérêt de la matière à la sortie du collège. Et pourtant, quotidiennement, ils seront (ou sont) confrontés à des situations faisant intervenir l arithmétique, l algèbre ou la géométrie. Ce que je vais essayer de changer dans mon enseignement, c est ce côté abstrait qu ont les mathématiques. Je voudrais attirer l attention des élèves sur des aspects a priori théoriques mais tellement pratiques de cette science que leur envie d apprendre ne s envolera pas avec le temps. Dans l esprit populaire, les «maths» sont une science abstraite voire imaginaire, sauf le calcul mental qui prend effet directement dans le porte-monnaie. Mais que sont vraiment l algèbre, l analyse? A quoi servent vraiment les écritures avec une inconnue x, la division euclidienne ou décimale? Quel enseignement dois-je alors entreprendre pour que les nouvelles notions que nous verrons au cours de cette année, ne soient pas directement rangées dans la catégorie «inutile»? Comment puis-je enseigner cette matière sans perdre de vue que les mathématiques permettent de répondre à des problèmes complexes? Comment faire comprendre aux élèves que je ne suis pas là pour leur apprendre des théorèmes ennuyeux? Comment les motiver? Comment les intéresser à travers un enseignement moins théorique? 9

II. Apports théoriques 1. évolution de l enseignement des mathématiques depuis 1870 L enseignement mathématique a connu une profonde mutation depuis la fin du XXe siècle. Sous la III e république, il y avait «deux» écoles : - l école du peuple, gratuite, qui scolarisait rarement les enfants au-dessus de 13 ans. - l école des notables, payante (jusqu en 1920), qui maintenait les élèves jusqu en Terminale. Mais la gratuité de l école dès les années 1930 n augmente guère les effectifs des classes de collège et lycée. En effet, selon Renaud d Enfert : «l école primaire débouche a priori sur la vie active tandis que l enseignement secondaire vise le baccalauréat puis l enseignement supérieur. Aussi l enseignement primaire est-il essentiellement pratique, voire «utilitaire», quand le secondaire se veut théorique et «désintéressé»». Les parents d enfants scolarisés attendent seulement que l école les forme rapidement pour leur vie professionnelle. Ceci est souligné, lors des Instructions du 20 juin 1923, à propos de l enseignement primaire : «Nous n oublions pas que la plupart de nos élèves devront, dès qu ils nous auront quittés, gagner leur vie par leur travail, et nous voulons les munir de connaissances pratiques qui, dès demain, leur serviront dans leur métier». Ce caractère utile et concret de l enseignement se retrouve bien évidemment dans les Sciences Mathématiques. D après R. D Enfert : «l inspecteur général de l enseignement primaire rappelle ainsi que l écolier doit avant tout savoir calculer sûrement et rapidement, et résoudre toutes les questions pratiques qu il peut être amené à rencontrer sur sa route pendant sa vie». Dans La revue pédagogique, F. Vintejoux tient le même discours et explique aux instituteurs qu ils sont là pour former les enfants en des êtres manipulant aussi sûrement qu intelligemment, les calculs pouvant se présenter à eux quotidiennement. La résolution de problèmes usuels est un aspect essentiel de l apprentissage au primaire. Ces problèmes doivent relater des situations de la vie courante. Les sujets doivent être d actualité et les données numériques doivent être pertinentes (l ordre de grandeur fait alors figure de bon sens). Il devient fréquent de trouver un Recueil de problèmes sur les engrais et l alimentation du bétail (1899), de résoudre un problème sur l épargne au certificat d études, ou d utiliser les mathématiques pour finaliser une étude sur les ravages de l alcoolisme (fin XIXe s.). 10

L avantage de cette approche est que l élève expérimente sans cesse. En campagne, les figures géométriques planes (ou spatiales) et les nombres prennent tout leur sens lors du calcul de la superficie d un terrain. L élève est un véritable acteur de son apprentissage. Les instructions de 1905 précisent que le côté abstrait de la géométrie au collège, doit être remplacé par un enseignement expérimental (ce qui poursuit ce qui est fait au primaire). L enseignement théorique dispensé dans le secondaire jusqu à lors est ainsi remis en cause. Cette nouvelle approche du collège est soutenue par le mathématicien Emile Borel. Ce dernier soutenait qu un enseignement purement théorique n en augmentait pas sa valeur. En 1952, Marshall H. Stone (président de la Commission Internationale de l Enseignement Mathématique) veut généraliser l instruction après le primaire, et voyant que l industrie se développe, veut élargir la place des mathématiques. Bien sûr, le public étant plus large, les méthodes pédagogiques doivent changer. La scolarité devient obligatoire jusqu à 16 ans en 1959, et en 1963 les collèges d enseignement secondaires sont créés. La fin du primaire n est plus alors considérée comme la fin des études, mais comme une préparation à des études moyennes ou longues. En 1960, les objectifs du primaire changent et on s attend désormais à ce qu un élève de 11 ans «n hésite pas sur le sens d une opération», et qu il connaisse parfaitement ses tables. En 1970, l enseignement doit développer l intelligence de tous les enfants «afin qu ils entrent dans le second degré avec les meilleures chances de succès. L ambition d un tel enseignement n est donc plus essentiellement de préparer les élèves à la vie active et professionnelle en leur faisant acquérir des techniques de résolutions de problèmes catalogués et suggérés par la vie courante, mais bien de leur assurer une approche correcte et une compréhension réelle des notions mathématiques liées à ces techniques». Les problèmes posés aux élèves présentent moins de situations concrètes, moins de difficultés, le but n étant plus de préparer l élève à sa vie de travailleur. L élève reste acteur de son apprentissage mais de manière différente. Ses expériences et manipulations lui servent désormais à découvrir progressivement des notions abstraites et non à apprendre par cœur. 11

2. l enseignement aujourd hui a. Au primaire Dès les premières lignes de l introduction du Document D Application Des Programmes (cycle 2 cycle 3) de Mathématiques, on peut déjà lire que «les mathématiques fournissent des outils pour agir, pour choisir, pour décider dans la vie courante.» Le calcul mental est même présenté comme un élément principal de cet enseignement et que sa maîtrise doit «être indispensable pour les besoins de la vie quotidienne» (l exemple donné est notamment l ordre de grandeur travail non ou mal fait puisqu il est à l origine de ma problématique). Les mathématiques sont donc reliées indiscutablement à des problèmes provenant de l environnement social des élèves (situations proches et vécues par la classe). «La résolution des problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également le moyen d en assurer une appropriation qui en garantie le sens.» Cependant on peut relever certaines différences dans l enseignement entre : - le cycle 2 où on demande qu à travers certaines activités, les élèves puissent anticiper un résultat (ce qui a pour objectif un début de recherche par raisonnement, explication, abstraction) qu ils vérifient par la suite, expérimentalement. - le cycle 3 où ce même genre de recherche par l abstrait ne se termine pas par une vérification mais un débat, c est-à-dire que chaque élève devra faire l effort d imaginer une situation qui lui convient. Cette différence est due à l évolution de l enseignement scientifique à ce niveau. Maintenant les élèves ne se contentent plus d apprendre, mais ils construisent eux-mêmes des nouvelles connaissances grâce à leur savoir (ils doivent réaliser que leurs raisonnements doivent parfois aller plus loin que ce qu ils savent déjà). Revenons au contenu des programmes : on relève par exemple que la proportionnalité ne s appuie que sur des situations concrètes, que les nombres entiers ou décimaux s organisent essentiellement autour de l usage de la monnaie En résumé, en sortant de l école primaire, pour ce qui est de la partie numérique (ce n est pas le cas pour a partie géométrique), les élèves sont censés savoir utiliser toutes les notions dans des situations réelles. 12

Cela explique certainement les réponses (très économiques) données par mes élèves : à savoir que les mathématiques sont utilisées au supermarché, pour le calcul de l impôt mais rarement dans un domaine qui relève de la géométrie. b. Au secondaire J ai recherché dans les programmes officiels et dans les documents d accompagnement, les conseils relatifs aux activités que l on doit donner aux élèves. On peut y relever clairement un changement progressif de l enseignement en ce qui concerne les problèmes concrets. En 6 ème, parmi les trois objectifs de l année, on constate qu il faut savoir appliquer les mathématiques dans différents domaines (et par exemple dans des situations de la vie courante). L enseignement de la proportionnalité repose seulement sur des problèmes concrets (il est précisé que l étude purement numérique démarre en 5 ème ). Le caractère «utile» des mathématiques est mis en relief au fil des leçons. Pendant ces quatre années de collège, les travaux numériques doivent être associés à des situations concrètes. Cependant une différence apparaît en 3 ème : alors qu en 4 ème il est encore précisé que «toute étude théorique des propriétés des opérations est exclue», on ajoute maintenant des «problèmes numériques purs». Pour la partie «organisation et gestion de données» aussi, quelques différences apparaissent : jusqu en 4 ème tout reposait sur des exemples, alors qu en 3 ème on «peut» avoir recours à des situations concrètes. Plus aucune obligation, seulement un conseil.. Cela va dans le cheminement de l éducation que l on veut donner aux élèves : à la sortie du collège «l utilité et la pérennité des mathématiques ne sont pas à prouver» mais chaque élève doit comprendre «la simplification que permet la maîtrise de l abstraction». (document d accompagnement de 2 de ). Et pourtant comment expliquer alors les résultats du sondage effectué dans mon collège? Les élèves de 3 ème ne sont pas du tout convaincus de l utilité des mathématiques 3. vers un enseignement concret Ce qu il faut arriver à donner à un adolescent, c est une image positive des mathématiques, lui faire comprendre que ce n est pas quelque chose qui s apprend mais qui se développe, puisque chacun, au plus profond de soi, possède un côté mathématique. Pierre 13

Legrand dit même qu il est «persuadé qu on en sait bien plus en maths que ce que l on affirme en savoir». On peut les utiliser comme méthode, outil ou jeu, mais de toute façon, inconsciemment on les utilise quotidiennement. D autre part, les élèves doivent prendre conscience que notre civilisation est de plus en plus dépendante de cette science (en informatique notamment), et qu ils doivent arriver à en acquérir les fondements. Dans l enseignement secondaire, dès la 6 ème, on apprend aux enfants à développer des intelligences, favoriser certaines attitudes, à organiser leurs réflexions et peut-être même à faire le lien entre certaines d entre elles, afin d arriver à une logique irréfutable. Pour Condorcet «l étude des mathématiques est le plus sûr moyen de développer les facultés intellectuelles et d apprendre à raisonner juste». Et pour arriver à cela, il faut que tout le monde parle le même langage : le langage mathématique Voilà une difficulté supplémentaire qui est inévitable. Un langage, ça s apprend, et donc il faut introduire de nouveaux mots (cf. Annexe 1). Le vocabulaire n est pas plus difficile que le vocabulaire utilisé en français : pourquoi les mots métaphore ou alexandrin auraient plus de sens que diviseur ou médiatrice? Les expressions du type cercle de famille, carré d as, vu sous cet angle déjà connues car utilisées dans le langage courant, peuvent facilement illustrer ce qu est un cercle, un carré, un angle. Et peut-être que cela peut devenir un jeu pour les élèves : comment expliquer que l on surnomme la France «l hexagone»? Pourquoi lorsqu on lit très rapidement, on dit «lire en diagonale»? N importe quelle personne apprenant une nouvelle langue, utilise des moyens mnémotechniques pour faciliter son apprentissage, alors si les élèves ont de bonnes bases en vocabulaire et comprennent le sens des mots, on peut faire ça aussi en mathématiques. L avantage est double, puisque l effet réciproque est aussi envisageable : «une bonne maîtrise du français» équivaut à «une bonne maîtrise des sciences». Quand le vocabulaire est compris, il faut pouvoir ensuite l appliquer dans des exercices. Au collège surtout, les cours magistraux sont à bannir puisque trop théoriques. De même, l apprentissage de méthodes, de gestes techniques ne sert pas à la formation de l esprit scientifique de l élève. Pour qu un enfant puisse analyser et résoudre en expliquant sa démarche, il faut que l énoncé ait du sens. Et pour cela, l élève doit pouvoir se re-situer dans le contexte, mobiliser ses expériences, son vécu, pour arriver à une solution qui ait du sens. Si un enfant arrive à faire ceci, il sera capable de résoudre n importe quel problème concret, puis faire le lien entre les notions, et à établir des relations plus abstraites. La compréhension entraînant la réussite, la motivation ne se fera pas attendre plus longtemps. Tout commence donc par un enseignement plus concret. 14

4. mais pas trop! les risques d un tel enseignement Chaque nouvelle notion, nouvelle technique doit être approchée de manière motivante, et doit rapidement être illustrée par des applications significatives. Mais il faut faire attention à ne pas tomber dans l exagération. En effet, à force de trop vouloir utiliser des exemples concrets, on peut se heurter à de nombreux problèmes. Le premier est celui de la concrétude : ce nom étrange est donné à l «inaptitude mentale à élaborer des idées sans recours à des idées concrètes». Cela signifie qu à force de trop en faire, on pourrait se retrouver face à des enfants qui ne comprennent pas une notion, tant qu ils ne l ont pas appliquée sur un exemple concret. Et alors, ce serait très délicat d en aborder d autres. D après : Ph.Meirieu, Apprendre oui mais comment? et J-P.Astolfi, cahiers pédagogiques Les élèves «dépendants du champs» accordent une grande importance au vécu, à l affectif. Ils risquent en lisant un exercice, de trop rester prisonnier des données concrètes, du contexte précis. Une présentation d exercices de maths sous forme de récit de la vie quotidienne leur plaira, mais il y a danger que leur attention soit trop orientée vers la situation concrète et non sur les opérations à mettre en œuvre. Ils ont du mal à effectuer des exercices qui ne sont pas de simples applications. Les élèves «indépendants du champs» s abstraient facilement du vécu, du contexte, parfois de façon excessive. Leur expérience pourrait parfois leur donner des indices, mais ils n en tiennent pas assez compte. Il faut donc arriver à trouver un juste équilibre entre les deux côtés de la balance pour que les élèves puissent selon leurs besoins, se pencher vers une situation déjà vécue pour comprendre une notion, ou bien, au contraire, s abstraire totalement des situations pour assimiler une notion dans un contexte général. Le deuxième problème que l on peut rencontrer est toujours lié à la concrétude : si on donne trop d exercices tirés de situations quotidiennes, on peut oublier que certaines situations détaillées dans les exercices, ne sont pas des situations que l on peut rencontrer. On traduit des moments d une journée, en des énoncés mathématiques, et par là, on arrive à des excès. Stella Baruk explique même qu à force de concrétiser, on finit par idéaliser des situations, qui, en fin de compte, se révèlent totalement abstraites. Elle donne aussi de nombreux exemples à ces excès de concrétisation : beaucoup d énoncés prennent comme personnage principal, un enfant qui va au supermarché pour faire des provisions pour fêter son anniversaire : comment peut-on imaginer un enfant seul dans un supermarché? n est-ce pas aux parents d attribuer ce rôle? Un autre exercice propose l exemple d une cruche qui a 15

permis de remplir 14 verres de 15cl et dans laquelle il reste 20cl. Le but étant de déterminer la capacité de la cruche. Problèmes :comment est-on sûr que les 14 verres ont été remplis de la même manière? La cruche était-elle remplie jusqu à ras bord? Des petits détails qui permettent de mettre en évidence l absurdité de certaines situations «parfaites», des idéalités mathématiques. Enfin, un des problèmes rencontrés lorsqu on veut trop concrétiser, est d oublier qu on s adresse à des enfants, et que donc, il faut adapter les exercices pour eux, et non pour l enseignant. Il faut ainsi oublier les économies que l on peut réaliser en payant au comptant au lieu de crédit, ou bien encore le solde d un compte? Les économies pour un enfant, c est l argent qui est dans la tirelire, et non celui qu on dépense d une manière plutôt que d une autre. Et le solde d un compte bancaire Avant de parler du solde d un compte, sait-il seulement ce qu est un compte en banque s il a moins de treize ans? Il faut arranger les énoncés pour que des enfants, des adolescents les comprennent. Le professeur doit adapter son enseignement. 16

III. Expérimentations 1. le choix de mes expérimentations On retrouve tout d abord une activité géométrique. Il est assez rare et difficile de pouvoir interpréter la géométrie autrement que par des figures abstraites, ainsi un côté plutôt ludique était assez appréciable. De plus, les nouveaux mots de vocabulaire sont toujours difficiles à introduire, alors autant faciliter leur apprentissage. Puis deux exercices proposés en devoir à la maison : l un étant une application directe du cours, l autre étant un exercice de recherche puisque la réponse n est pas trouvable immédiatement mais grâce à un travail rigoureux et réfléchi. L énoncé de ce second exercice est facile à comprendre, sa réponse non évidente, mais elle se situe dans un champ de connaissances et de compétences de l élève. Enfin une narration de recherche : là, il ne faut pas simplement trouver la réponse correcte. Il faut élaborer des hypothèses, des conjectures, et les confronter entre elles. A travers ceci, l élève se retrouve dans la peau d un chercheur en mathématiques, et il construit peu à peu, sa propre logique scientifique. 2.activité géométrique Ma première expérience fut vécue lors de la première leçon de géométrie. Cette leçon consiste surtout à mettre en place le vocabulaire géométrique de base. J ai voulu éviter de donner directement des noms et des définitions. Pour comprendre la différence entre une droite et une demi-droite, il faut voir ce que ça représente. J ai donc élaboré cette activité en pensant que les élèves devaient comprendre les mots de vocabulaire sans les avoir encore écrits dans leur cahier. Faire la différence entre la couleur rouge et la couleur bleue doit être tout aussi évidente que la différence entre une droite et une demidroite. Voici donc la feuille distribuée à mes élèves : 17

Les questions n étaient pas écrites sur le papier. J ai donné les consignes au fur et à mesure de l avancement des élèves. Tout d abord, il a fallu leur expliquer que les mathématiques permettent de simplifier bien des situations de la vie courante. Dans ce cas, au lieu de représenter tous les détails qui figurent sur le premier dessin, on peut représenter sur le deuxième, seulement les données nécessaires au problème. Avant même que je puisse poser la 1 e question (que représentent les croix?), une élève m a fait remarquer que les croix dessinées en bas étaient en fait une simplification du dessin de la maison, la poste, la librairie et du stade. On a nommé ces points M, P, L, S. La schématisation était en route Consigne 1 : Tous les mercredis après-midis, Romain se rend au stade (situé dans la même rue que sa maison) pour faire du sport. Tracer en vert cette rue. Consigne 2 : Tracer en rouge le trajet effectué par Romain. Ce travail devait se faire de manière individuelle. Mais la réactivité des élèves ne s est pas faite attendre. Les élèves assis côte à côte ont commencé à comparer leur travail. Les 18

erreurs étaient auto-corrigées et peu à peu, tous les élèves avaient compris que le trajet et la rue n étaient pas représentés par le même objet. «Le trait rouge, il commence au point M et il s arrête au point S ; alors que le trait vert continue de chaque côté de M et S.» Un élève qui avait prolongé le trait vert d un seul côté a remarqué que son trait n était pas la représentation du trajet ni de la rue, mais plutôt d une impasse. Consigne 3 : Avant de retourner à sa maison, Romain passe chez le libraire. Tracer le chemin du retour. Devant quel bâtiment passe-t-il? Encore une fois, les élèves surveillaient le travail du voisin, et aucune erreur n est apparue quant au tracé. Ils ont aussi anticipé sur la consigne 4. «Il passe devant la poste qui semble à mi-chemin!» Consigne 4 : La position de la Poste semble particulière. Comment pourrait-on vérifier ce résultat? Le point P étant placé au milieu du segment [ML], la plupart des élèves ont vérifié à l aide de la règle. Mais des erreurs de mesures étant prévisibles, le meilleur outil était incontestablement le compas. Par la suite, j ai pu mettre en place un lien sous-jacent entre le vocabulaire mathématique et le vocabulaire courant. Vocabulaire usuel Trajet Rue Impasse Lieu Mi-chemin Vocabulaire mathématique Segment Droite Demi-droite Point Milieu Cette expérience fut un réel succès : les élèves avaient très bien compris à la fin de cette séance que les objets mathématiques qui sont dessinés différemment, doivent porter des noms différents. Ainsi, il leur fut facile d apprendre des mots qu ils n avaient jamais entendu auparavant, mais dont ils connaissaient la définition et la représentation. Il leur fut aussi plus facile de les manipuler. 19

3. exercices a. Devoir maison (la division euclidienne) Un collège a reçu 470 livrets scolaires. On les range dans des cartons pouvant contenir chacun 25 livrets. 1) Combien faut-il de cartons? 2) Ces 470 livrets sont distribués dans les classes. Dans combien de classes complètes de 25 élèves pourra-t-on les distribuer? Cet exercice classique sur la division euclidienne permet à un professeur de réaliser, le manque de sens que peuvent avoir les élèves lorsqu ils font des mathématiques. Ils ont normalement une chance sur deux pour la réponse (en effet, ils savent qu il faut faire une division puisque c est le chapitre du moment, donc il ne reste plus qu à interpréter le résultat) : le «quotient» ou le «quotient + 1» ; une compréhension normale de ce que représente le quotient de la division euclidienne, de ce que représente tout simplement une division, faire des paquets, permet de répondre rapidement aux questions. Pourtant plusieurs fois à l oral, les erreurs habituelles sur l interprétation du quotient ont été corrigées, mais les réactions sont identiques à chaque fois «ah oui, c est vrai!». Pourquoi alors, si cela semble si simple, compréhensible et logique, ai-je encore eu des réponses du type «quotient / quotient» ou «quotient + 1 / quotient + 1» (ici les réponses étaient «quotient + 1 / quotient»)? cf Annexe 2 Ce qui m a le plus stupéfaite, ce sont les phrases d explications qui complétaient leurs résultats : - «il faut 18 cartons et il restera 20 livrets». La question qui vient à l esprit et que je pose à ces élèves est : «où met-on donc ces livrets?» «euh dans un autre carton! Donc il y en a 19!». - «ils seront distribués dans 19 classes et dans une classe il en manquera 5». Riposte directe «combien de classes complètes alors?» «euh 18! oh zut!» Que dire de plus à ces élèves-là? Ils ont bien posé l opération, la consigne est claire, mais leur réponse est absurde! Ils utilisent les nombres de manière subjective sans véritablement se préoccuper de la cohérence de leur interprétation. Ce sont malheureusement des erreurs classiques mais où s arrête le rôle d un professeur de mathématiques? J en viens encore à ma poser des questions sur la manière dont 20

je dois évaluer ceci. Faut-il insister sur le sens des opérations ou sur le sens des résultats? Un travail en collaboration avec un professeur de français ne serait-il pas indispensable? b. Devoir maison (l escargot) Après le constat sur la division euclidienne, je me suis dit que peut-être, en dehors de tout contexte mathématique, les élèves sont capables de réfléchir et de construire eux-mêmes des raisonnements irréfutables (un des objectifs de la classe de 6ème). Je leur ai donc donné cet exercice humoristique, qui met en oeuvre seulement de la logique et la manipulation des heures. Un escargot a entrepris l ascension d une pile de 10 briques. Il est capable de monter de 4 briques en 1h15 mais comme l effort est extrêmement pénible, il doit ensuite passer 0h25 à dormir, pendant laquelle il glisse de 2 briques vers le bas. Combien de temps lui faudra-t-il pour atteindre le sommet? Alors, évidemment, on est loin d un énoncé concret. Mais j ai exploité l imagination des enfants pour éviter de tomber dans la concrétude. Aucun élève n a mal compris l énoncé. Ils ont tous imaginé cet escargot montant, dormant et redescendant. Leurs difficultés résidaient plus dans la manipulation des heures et la recherche du nombre d étapes. Ici, un des objectifs était de faire comprendre aux élèves que les mathématiques peuvent résoudre bien des problèmes de la vie courante. Dans ce cas, il y a eu différents types de réponses (cf. Annexe 3) en passant de la rédaction (type rédaction de cours de français), en passant par des schémas, des graphiques, et même des petites bandes dessinées D autres ont tellement abusé de leur logique (2 briques en 1h40 donc 10 briques en 5 fois plus de temps) qu un schéma les a convaincu sans problèmes de leur erreur de raisonnement. Mais ils se sont amusés et ont cherché! Et ils ont aussi tous compris que le meilleur (et le plus court) moyen de résoudre ce problème, était grâce à un schéma ou un graphique (c est-à-dire des outils mathématiques) et non une rédaction qui enchaîne des vérités mais qui arrive à une conclusion fausse, parce qu un chaînon était inutile. 21

4. narration de recherche Enfin ma dernière expérience. Elle fait aussi l objet d un devoir à la maison. En effet, il fallait donner à tous les élèves le temps de la réflexion pour qu ils puissent tous me donner une réponse. J imagine que certains élèves trouvent de suite l astuce dans ce genre d exercices mais pour d autres un temps d observation est nécessaire. Voici donc l énoncé : Dans un collège de 420 élèves, on enseigne l'anglais et l'espagnol. Il y a 230 élèves qui étudient l'anglais et 220 élèves qui étudient l'espagnol. Mais on sait aussi que 110 élèves étudient à la fois l'anglais et l'espagnol. Question : Combien d'élèves n'apprennent aucune de ces deux langues? Comme on peut le constater, il s agit encore une fois d un exercice totalement concret, et donc le contexte favorise la compréhension des élèves (le collège, l apprentissage de deux langues vivantes, des nombres simples à manipuler). Et pourtant ce n est pas si simple à trouver : il faut savoir faire la distinction entre les ensembles, les catégories, pour pouvoir les organiser, et les dénombrer. Tout comme pour l exercice de l escargot, le fait qu il n y ait aucune indication pour résoudre cet exercice et que l élève n arrive pas à le re-situer dans une leçon déjà faite, permet d obtenir une multitude de raisonnements aussi juste les uns que les autres et d encourager les élèves dans leur manière de penser. Tout d abord, il y a ceux qui restent dans leur rédaction de français (cf. Annexe 4A), longue mais parfaite, et qui prennent le risque de ne pas voir où est l erreur dans leur raisonnement. Puis il y a ceux qui commencent à réfléchir, comprennent qu il y a un problème, et là soit ils s arrêtent (cf. Annexe 4B) soit ils continuent en pensant que le professeur n y verra que du feu (cf. Annexe 4C). Ceux-là sont regroupés dans la même catégorie, à savoir, les élèves qui n ont pas vu que dans l énoncé, il y a différentes catégories d apprentissages et notamment, «anglais-espagnol» est décompté dans deux autres catégories. Et enfin, il y a les autres élèves et c est là que c est très intéressant : la rédaction mathématique, logique et sans ambiguïté! 22

Dans l Annexe 4D, on retrouve la copie d un élève qui sans aucune difficulté et grâce à un schéma qui ne peut être plus synthétique, réussit en trois lignes seulement à résoudre ce problème. Une autre élève (cf. Annexe 4E), dans une rédaction plus longue mais sans surcharge de phrases, a eu le même réflexe d organisation et de séparation des catégories. Ces élèves penseront certainement que cet exemple était une introduction au chapitre sur l organisation de données. Puis j ai eu la surprise de découvrir la copie d un élève en difficulté. Il a réussi à trouver la réponse en mélangeant le langage oral et le langage écrit. Cependant cet élève (peut-être aidé par un parent mais qui a bien compris puisqu il était très motivé pour expliquer à ses camarades) a déjà acquis par cet exercice, les notions de bases pour l algèbre. Il a utilisé des mots au lieu d inconnues x ou y, mais il semble bien parti pour le langage algébrique. (cf. Annexe 4F) Enfin pour terminer, il y a les élèves qui sont entièrement dans le langage ensembliste (cf. Annexe 4G), et à travers des schémas ou croquis, commencent aussi à faire de l algèbre : une élève a même, dans un raisonnement un peu chaotique, changé de référentiel et en soustrayant 110 à 420, 230 et 220, elle s est retrouvé avec seulement des enfants qui apprenaient l anglais, l espagnol ou rien, mais pas d enfants qui apprenaient les deux langues à la fois. Divers raisonnements mais un même constat : les mathématiques c est utile et c est varié! Un même problème peut faire intervenir différents outils scientifiques, et si on manipule bien ces outils, on peut arriver facilement et sans obstacle à une solution correcte. Mes élèves l ont bien compris : cet exercice proposé après celui de l escargot, leur a permis d utiliser tous les moyens qu ils voulaient pour le résoudre mais rare sont ceux qui n ont pas essayé de faire un schéma. Beaucoup moins d élèves ont essayé de faire une rédaction. D ailleurs lors de la correction en classe, ils étaient tous aussi motivés les uns que les autres pour passer au tableau, et expliquer comment obtenir le résultat sans faille. 23

CONCLUSION Après mes expériences, j ai pu constater des différences entre les exercices proposés au milieu d une leçon (les élèves appliquent les méthodes sans s en approprier le sens), et ceux proposés en activité préparatoire (c est le bon sens des élèves qui entre en jeu). Ma conclusion est que les élèves travaillent et raisonnent mieux sur des sujets qu ils n ont pas encore ou peu abordés. C est ce point-là qu il faut chercher à exploiter. Des exercices comme celui de l escargot qui permet de stimuler l imagination ou celui sur le cardinal d un groupe qui permet de rester dans un domaine totalement concret, autorisent les élèves à être libres et à s exprimer mathématiquement de manière inconsciente. A l avenir, je vais essayer de trouver et d alterner les exercices concrets et pseudoimaginaires stimuler l imagination et en même temps rester les pieds sur terre. En 6 ème surtout, leur imagination est débordante alors autant l utiliser à bon escient. Quelques unes des pratiques les plus efficaces sont apparemment les activités préparatoires, où la motivation et l enthousiasme des élèves se fait ressentir lorsqu ils trouvent les bonnes réponses ou méthodes, et même les difficultés de certains énoncés qui amènent donc à de nouvelles notions ; et les activités de recherche, telle que les narrations, qui font prendre conscience aux élèves, que même s ils ne possèdent pas les outils nécessaires, leur réflexion sur des situations qu ils arrivent à s approprier (car concrètes) leur permettent de mettre en route leur logique mathématique, et par là, le début de leur éducation scientifique et sociale. Mais surtout, je ne dois pas perdre de vue qu il faut initier les élèves à une vie sociale et citoyenne, ce qui passe nécessairement par une expérience mathématique. 24

DOCUMENTATION BIBLIOGRAPHIE LEGRAND, Pierre. Profession enseignant Les Maths en collège et en lycée. Hachette, 1997. 443 p. (ISBN 2-01-170485-5) BARUK, Stella. Si 7=0, Quelles mathématiques pour l école?. Odile Jacob, 2006. 448 p. Documents d accompagnement des programmes des classes de 6 ème (édition juin 2005), 5 ème -4 ème (édition mars 2004), 3 ème (édition mars 2004), 2 de (édition mai 2002) Documents d application des programmes de Mathématiques (cycle 2 et cycle 3) - applicables à la rentrée 2002 IREM de Montpellier. La narration de recherche de l école primaire au lycée. APMEP. Brochure n 151 (2002). p9-10 SITES WEB D enfer, Renaud. Mathématiques au primaire de la Troisième République aux années 1960. Gazette n 108 Avril 2006. Site de la Société Mathématique de France [en ligne], consulté en janvier 2007. Disponible sur : http://smf.emath.fr/publications/gazette/2006/108/smf_gazette_108_67-81.pdf 25

ANNEXES Annexe 1 Tableau d après Alain Lieury (1991) Discipline Nombre de nouveaux mots introduits en 6 ème Français 1989 Histoire 1088 Education civique 872 Géographie 824 Anglais 716 Biologie 402 Physique-chimie 259 Mathématiques 167 26

Annexe 2 27

Annexe 3 Annexe 3A Annexe 3B Annexe 3C Annexe 3D Annexe 3E Annexe 3F 28

Annexe 4 Annexe 4A Annexe 4B Annexe 4C Annexe 4D Annexe 4E Annexe 4F Annexe 4G 29