5 ème OS 1 Chapitre n 8 : Induction Rappelons que le lien existant entre l électricité et le magnétisme fut mis en évidence en 1820 par Oersted. On découvrit à cette époque qu un barreau en fer devenait aimanté lorsqu on le plaçait à l intérieur d un solénoïde parcouru par un courant. A la suite de cette expérience, Faraday démontre l existence de l effet inverse : un courant électrique produit par un champ magnétique. L expression induction électromagnétique désigne la production d effets électriques à partir de champs magnétiques. Le champ électrique induit peut produire un courant induit dans un conducteur. L induction électromagnétique est à l origine du fonctionnement des générateurs et des transformateurs, et, comme nous le verrons, est la base de la propagation des ondes électromagnétiques (lumière, signaux radio, rayons X et gammas). Expériences N 1 : champ magnétique variable (expérience de Faraday) l aimant immobile. L intensité et le sens du courant induit dépendent de la vitesse relative de la boucle et de l aimant. B.- La spire primaire est reliée en série à une pile et à un interrupteur, alors que la spire secondaire est reliée à un ampèremètre. Lorsqu on ferme l interrupteur dans le circuit primaire, on observe une brève déviation de l aiguille de l ampèremètre dans le secondaire. Et tant que le courant primaire reste constant, il ne se passe rien. Si on ouvre l interrupteur, on observe à nouveau une déviation momentanée de l aiguille, mais dans le sens opposé. N 2 : aire variable et orientation variable Une spire circulaire de fil conducteur flexible est placée de telle sorte que son plan soit à un champ uniforme constant dans le temps. Si l on tire subitement sur des points diamétralement opposés de la spire, l aire délimitée par la boucle se trouve réduite et un courant induit circule dans la spire. Supposons maintenant que le champ magnétique et l aire de spire restent constants. Si l on fait tourner le plan de la spire par rapport à la direction du champ, un courant induit circule dans la spire tant que dure la rotation. Pour expliquer ces résultats, il nous faut introduire la notion de flux magnétique, φ B. A.- Lorsque l aimant et la boucle sont immobiles, il ne se produit rien. Lorsqu on approche le pôle nord de la boucle, un courant circule dans le sens antihoraire, vu de l aimant. Lorsqu on éloigne le pôle nord, un courant circule dans le sens horaire. Ce résultat n est pas modifié si l on déplace la boucle et que l on garde Définition : Dans le cas d une surface plane d aire A plongée dans un champ magnétique B uniforme, le flux magnétique traversant la surface S est défini par B = B S φ [W] où S est orienté au plan de la surface qu il représente (son sens est déterminé par la règle de la main droite)
5 ème OS 2 φ B = B d S [Wb] (si B n est pas uniforme ou S n est pas plane) Le flux s exprime en Weber [Wb]. Loi de l induction (Faraday 1831 et Lenz 1834) La tension induite ξ (ou f.é.m induite) le long d une courbe fermée est proportionnelle à la vitesse de variation du flux du champ magnétique B à travers cette courbe (Faraday). Cet énoncé sera complété par Lenz qui pose la loi suivante : ξ = - dφ B [V] ou E d l = - dφ B [V] Loi d induction L énoncé définitif de la loi sera posé par Maxwell : «l effet de la f.é.m induite est tel qu elle s oppose à la variation de flux qui le produit». Remarques : 1.- La dérivée du flux magnétique par rapport au temps a les mêmes dimensions dφ B qu une tension. Autrement dit, la constante de proportionnalité entre U ind et est un nombre sans dimension. Cette constante de proportionnalité vaut -1. 2.- La tension induite produit un courant induit. 3.- On peut considérer que ces 2 grandeurs (tension et courant) ne sont que des effets secondaires, l effet principal étant l apparition d un champ électrique induit. 4.- Les lignes de champ sont fermées, ce qui veut dire que la notion de potentiel électrique perd toute sa signification, puisqu un potentiel n a de sens que si la circulation du champ électrique sur une courbe fermée est nulle. 5.- En 1851, von Helmoltz fit remarquer que la loi de Lenz n était qu une conséquence de la conservation de l énergie. 6.- L apparition d une f.é.m induite dans une boucle permet de transformer de l énergie mécanique en énergie électrique, puis en énergie thermique. 7.- Si la spire est remplacée par une bobine de N spires, nous constatons que les f.é.m induites sont en série et s additionnent. La f.é.m totale vaut donc : ξ = - N d B φ 8.- Cette loi est la base du phénomène de lévitation. Générateurs Le générateur est une application importante de l induction électromagnétique. Il est constitué de N spires tournant à la vitesse angulaire constante ω dans un champ magnétique extérieur uniforme. Développement
5 ème OS 3 Le courant alternatif produit par la bobine alimente 2 anneaux collecteurs. Si l on branche un circuit aux bornes du générateur, on observe un courant alternatif qui change de sens périodiquement. Dans un certain nombre de cas, c est le courant continu que l on va utiliser (moteurs utilisés dans les transports publics). L inversion de polarité de la tension d un générateur de courant alternatif peut être éliminée en utilisant 2 demi-bagues comme commutateurs. Cela a pour effet de redresser l alternance négative du courant alternatif de sortie. Notons que si l on utilise un grand nombre de bobines au lieu d une, les fluctuations du courant obtenu sont considérablement réduites. Notons encore la similitude entre le générateur (dynamo) et le moteur à courant continu : le fonctionnement du générateur est simplement l inverse de celui du moteur. Le générateur transforme l énergie mécanique en énergie électrique, la bobine étant tournée mécaniquement par une force extérieure à l entrée et un courant est induit à la sortie. Le moteur fait l inverse : il transforme l énergie électrique (le courant qui circule dans une bobine) en énergie mécanique. La force contre-électromotrice f.c.é.m des moteurs. Lorsque la bobine tourne dans le champ magnétique, elle est le siège d une f.é.m induite, semblable à celle d un générateur et qui s oppose à la f.é.m extérieure. La f.c.é.m est proportionnelle à ω, la vitesse angulaire du moteur. Lorsqu on met le moteur en marche, la bobine est au repos et il n y a donc pas de force contreélectromotrice. Le courant de démarrage peut être assez intense parce qu il n est limité que par la résistance de la bobine. Au fur et à mesure que la vitesse de rotation augmente, l augmentation de la f.c.é.m réduit le courant, qui dépend de la f.é.m nette. Si le moteur n effectue aucun travail, la vitesse angulaire augmente jusqu à ce que l énergie fournie soit équilibrée par les pertes de frottement et les pertes par effet Joule. A ce stade, l intensité du courant est assez faible. Lorsque le moteur effectue un travail mécanique, la vitesse angulaire diminue, ce qui réduit la f.c.é.m. Il en résulte une augmentation de l intensité du courant. La puissance additionnelle fournie par la source extérieure de f.é.m est convertie en puissance mécanique par le moteur. Si le travail à effectuer est trop important, la f.c.é.m est réduite d avantage, ce qui augmente encore l intensité du courant et risque de faire «griller» le moteur. La f.é.m induite dans un conducteur en mouvement U ind = B l v Considérons le cas d une tige métallique de longueur l qui se déplace à une vitesse v constante dans un champ magnétique B à sa longueur et à v. uniforme La tige devient l équivalent d une pile de f.é.m : A ce stade, posons-nous la question suivante : Quelle est l origine de la f.é.m induite?
5 ème OS 4 Les courants de Foucault Si un conducteur étendu se déplace par rapport à un champ magnétique qui n est pas uniforme sur toute l étendue du conducteur, ou si des points du conducteur se déplacent à des vitesses différentes par rapport au champ ce qui est le cas s il tourne, des courants sont induits au sein du conducteur. Ils circulent en boucles fermées. Ce sont les courants de Foucault. Ces courants génèrent leur propre champ magnétique qui, suivant la loi de Lenz, s oppose à la cause de l induction. Ces courants sont utilisés dans les systèmes de freinage. Notons encore que les courants de Foucault produisent de l énergie thermique (cuisson par induction). L inductance Nous avons vu que la variation du flux magnétique créé par une bobine fait apparaître une f.é.m induite dans une bobine voisine. L apparition d une f.é.m induite dans un circuit causée par la variation du champ magnétique produit par un circuit voisin porte le nom d induction mutuelle ; la grandeur physique associée s appelle l inductance mutuelle. La figure représente une bobine en série avec un interrupteur et une pile. Lorsqu on ferme l interrupteur à l instant t o, le courant qui augmente crée un champ magnétique variable. La variation du flux fait apparaître une f.é.m induite qui s oppose à cette variation. Ce phénomène d auto-induction apparaît dans n importe quel circuit, la bobine ne faisant qu accentuer l effet. Dans ce cas, la f.é.m d auto-induction s oppose à l augmentation du courant. Le courant n atteint donc pas sa valeur finale instantanément mais augmente progressivement. Nous retrouvons le même type de phénomène lorsqu on ouvre l interrupteur ce qui peut produire une étincelle entre les contacts de l interrupteur. L auto-inductance Il est commode d exprimer la f.é.m induite en fonction du courant qui circule dans un circuit plutôt que du flux magnétique qui le traverse. En l absence de matériaux magnétiques, le champ magnétique produit par une bobine, et par conséquent le flux, sont directement proportionnels au courant circulant dans la bobine. où N 1 Φ 11 =L 1 I 1 L 1 = constante de proportionnalité appelé auto-inductance ou selfinductance [H] (Henry) Φ 11 = flux traversant la bobine 1 et crée par son propre courant I 1 Un élément de circuit, comme une bobine, spécialement conçu pour avoir une auto-inductance, est appelée bobine d induction ou inducteur. D après l équation U ind = - d ( Nφ ) (pour N spires), la f.é.m d auto-induction dans la bobine 1 due aux variations du courant I, s écrit sous la forme : di ξ 11 = - L 1 L inductance L est l équivalent électrique de l inertie en mécanique, une mesure de la résistance au changement. La f.é.m auto-induite instantanée est proportionnelle au taux de variation dans le temps de l intensité du courant dans la bobine.
5 ème OS 5 La polarité de la f.é.m d auto-induction dépend du taux de variation du courant, et non de son intensité ni de son sens. Inductance mutuelle Le flux produit par la bobine 2 est proportionnel à I2. Le flux total produit par I2 à travers la bobine 1 peut s écrire : Les circuits RL Nous avions précisé dans au début du chapitre «inductance» que l autoinductance dans un circuit empêche le courant de varier brutalement. Nous allons à présent voir comment le courant augmente ou diminue en fonction du temps dans un circuit comportant une bobine d induction et une résistance en série. Nous supposons que la bobine d induction est idéale et que sa résistance est négligeable. En fait, on considère que la résistance d une bobine réelle fait partie de la résistance externe. où N 1 Φ 12 = MI 2 M = inductance mutuelle [H] On peut s attendre à ce que l inductance mutuelle soit supérieure lorsque les bobines sont proches d une de l autre et orientées de telle sorte que le flux traversant l une des bobines et produit par l autre soit maximal. La f.é.m induite dans la bobine 1 par suite des variations de I 2 s écrit sous la forme : ξ 12 = -M di 2 La f.é.m induite totale dans la bobine 1 produite par les variations de I 1 et de I 2 est : ξ 1 = ξ 11 + ξ 12 Exercice : Un long solénoïde de longueur l et de section transversale S comporte N spires. Déterminer son auto-inductance L. On suppose que le champ est uniforme dans tout le solénoïde. Croissance du courant L évolution temporelle du courant vaut : où I = τ I e ) 0 (1 t I 0 = R ξ = valeur finale de I lorsque t à τ = L/R = constante de temps Pendant une constante de temps τ, le courant croît jusqu à (1-e -1 )I 0 = 0,631.I 0. Nous retrouvons ici l expression donnant l évolution de la charge d un condensateur.
5 ème OS 6 Notons que plus l auto-inductance L est grande, plus la f.é.m d auto-induction est grande, moins la courbe de I fonction de t est inclinée initialement, plus la constante de temps et longue et plus le temps nécessaire pour que l intensité atteigne sa valeur limite est long. I = I e 0 t τ L énergie emmagasinée dans une bobine d induction Décroissance du courant Examinons ce qui se produit lorsqu on enlève la pile sans rompre la continuité du circuit. On suppose que l interrupteur S1 est fermé depuis un certain temps, de sorte que le courant a atteint sa valeur limite ξ/r. A l instant t = 0, on ferme l interrupteur S 2 et on ouvre l interrupteur S 1. L évolution temporelle du courant vaut : Généralement, lorsqu on ouvre l interrupteur d une lampe, celle-ci ne s éteint pas immédiatement. Au contraire, elle brille plus intensément pendant un petit moment puis sa luminosité diminue progressivement. Plus L est grand, plus grande est la constante de temps τ et plus longtemps la lampe continue à briller. Mais alors, d où provient l énergie qui continue à alimenter la lampe après l ouverture de l interrupteur? En fait, la bobine emmagasine de l énergie magnétique lors de l établissement du courant. C est cette même énergie qui prolonge le courant induit dans le circuit, lorsqu on ouvre l interrupteur. Autre question : comment l énergie est-elle transférée du champ au conducteur c est-à-dire aux transporteurs de charge? (Nous le verrons plus tard). La pile qui établit le courant dans une bobine d induction doit accomplir un travail contre l action de la f.é.m induite. L énergie fournie par la pile est emmagasinée dans la bobine d induction. L énergie totale emmagasinée dans le circuit du précédent est donnée par : E = ½ L I 2
5 ème OS 7 Densité d énergie du champ magnétique La densité est donnée par : u B = 2 B 2µ 0 Cette énergie peut être comparée à l énergie emmagasinée dans un condensateur : E c = ½ Q 2 /C Exercice : Une bobine d induction de 50 mh est en série avec une résistance de 10 Ω et une pile de f.é.m égale à 25 V. A t = 0s, on ferme l interrupteur. a.- Trouver la constante de temps du circuit b.- le temps qu il faut au courant pour atteindre 90% de sa valeur finale c.- le taux auquel l énergie est emmagasinée dans la bobine d induction d.- la puissance dissipée dans la résistance e.- Quel est le taux auquel la pile fournit l énergie? C est la densité d énergie d un champ magnétique dans le vide. On peut comparer cette valeur avec l équation donnant la densité d énergie d un champ électrique, u E = ½ ε 0 E 2. Il est possible de transporter cette énergie dans le vide ou les milieux matériels : c est effectivement ce que fait la lumière. Le champ électrique et magnétique classique paraissent comme quelque chose de continu qui peut emmagasiner, transférer et transporter de l énergie. Cette image devra être modifiée à la lumière du concept moderne de quantification des champs et de l énergie de rayonnement. Cependant, quand il est observé à une échelle macroscopique, le champ quantique (quantifié) devient en général une sorte de moyenne continue (physique statistique).
5ème OS Les oscillations dans un circuit LC 8 Conclusion : le système oscille donc entre le condensateur et la bobine d induction. Comme le suggère le système bloc-ressort sur la figure, le courant et la charge subissent des oscillations harmoniques simples. Résultat : la charge oscille avec une fréquence angulaire propre du système 1 LC ω0 = avec Q = Q0cos(ω0t) I = I0cos(ω0t) où I0 = et ω 0 Q0 Nous constatons que I et Q sont déphasés de 90 en comparant les courbes I(t) et Q(t). Analogie entre l oscillation électrique et mécanique : La figure représente un condensateur de charge initiale Q0 relié à une bobine idéale de résistance nulle. Toute l énergie du système est initialement contenue dans le champ électrique : UE = ½ Q2/C. A t = 0s, on ferme l interrupteur et le condensateur commence à se décharger. Pendant la montée du courant, il s établit dans la bobine un champ magnétique où une partie de l énergie se trouve donc emmagasinée, UB = ½ LI2. Lorsque le courant atteint sa valeur maximale I0, toute l énergie est dans le champ magnétique : UB = ½ LI02. Le condensateur n a à présent plus d énergie, ce qui signifie que Q = 0. Par conséquent, I = 0 lorsque Q = Q0 et Q = 0 lorsque I = I0. Le courant commence alors à charger le condensateur (d). A la figure (e), le condensateur est complètement chargé, mais de polarité opposée à son état initial. 2013-2014 F v Mécanique x v m ½ mv2 k 1/2kx2 F P= Electricité Q I L ½ LI2 1/C ½ Q2/C ΔV P = IΔV Le développement suggéré ci-dessus n est pas réaliste car : 1.- toute bobine d induction a une résistance. 2.- Même si la résistance était nulle, l énergie totale du système ne serait pas constante. Elle est dissipée par le système sous forme d ondes EM. PG
5 ème OS 9 Les oscillations dans un circuit RLC série On suppose que le condensateur a une charge initiale Q 0 et que l on ferme l interrupteur à t = 0. La solution du circuit est donnée par : Série n 8: Induction Loi d induction 1.- On fait rentrer, à une vitesse v, une boucle rectangulaire conductrice de largeur L et de résistance R dans une zone de champ magnétique uniforme B bien délimitée. Trouve la valeur du courant à travers la boucle. Rt / 2L Q = Q0e sin( ω ' t + δ ) où ω ' = ω ω =1/ Discussion : R 2L 2 2 0 ( ) LC 1.- R/2L < ω 0 : le système est sous-amorti et la charge varie suivant l équation cidessus. L amplitude des oscillations décroît de façon exponentielle 2.- Si R/2L = ω 0 : le système est en amortissement critique 3.- R/2L > ω 0 : le système est en amortissement surcritique La démonstration de ces formules a déjà été faite dans le cadre du mouvement harmonique avec R jouant le rôle de la constante d amortissement γ. Exercice : Dans un circuit RLC série, L = 20 mh, C = 50µF, et R = 6Ω Trouver : a.- le temps nécessaire pour que l amplitude tombe de moitié de sa valeur initiale b.- la fréquence angulaire amortie c.- le nombre d oscillations pendant 20 ms d.- pour quelle valeur de R le système est-il en amortissement critique? 2.- Le plan circulaire d une bobine circulaire comportant 15 spires de rayon 2 cm fait un angle de 40 avec un champ magnétique uniforme de 0,2 T. Détermine la valeur de la f.é.m induite si le champ augmente linéairement avec le temps jusqu à 0,5 T en 0,2 s. 3.- L antenne d un poste radio recevant une station AM qui émet sur 800 khz est constituée d une bobine de 120 spires de rayon 0,6 cm. Cette bobine est le siège d une f.é.m induite due au champ magnétique oscillant de l onde radio. Si le champ est donné par B(t) = 1. 10-5 sin (2πυt), où t est en secondes et B en teslas, détermine la f.é.m induite dans la bobine. On suppose que le champ magnétique est orienté selon l axe de la bobine. 4.- Un champ magnétique donné par B(t) = 0,2t 0,5t 2, où t est en secondes et B en teslas, est au plan d une bobine circulaire comportant 25 spires de rayon 1,8 cm et dont la résistance totale est égale à 1,5 Ω. Trouve la puissance dissipée à 3s.
5 ème OS 10 5.- Une tige métallique de longueur l glisse avec une vitesse constante v sur des rails conducteurs qui se terminent par une résistance R. Le champ magnétique est constant et uniforme, orienté au plan des rails. Détermine : a.- le courant circulant dans la résistance b.- la puissance dissipée dans la résistance c.- la puissance mécanique pour tirer la tige Générateurs 6.- Une bobine dont la section transversale a une aire de 40 cm 2 est constituée de 100 spires et a une résistance de 4,5 Ω. Elle tourne à raison de 120 tr/min avec son axe à un champ de 0,04 T. Détermine : a.- la f.é.m maximale produite b.- le moment de force magnétique maximal auquel est soumise la bobine Champ électrique induit 7.- Le courant dans un solénoïde idéal de rayon R varie en fonction du temps. Détermine le champ électrique induit en des points situés a.- à l intérieur b.- à l extérieur du solénoïde. Exprime les résultats en fonction de db/ 8.- Le courant circulant dans un solénoïde varie selon I(t) = 4 + 6t 2, où t est en secondes et I en ampères. Le solénoïde comporte 800 spires/m et a un rayon de 2 cm. A t = 2s, détermine le module du champ électrique induit aux distances suivantes de l axe central : a.- 0,5 cm b.- 4 cm. F.é.m induite dans un conducteur en mouvement 9.- Un avion qui a une envergure de 45m vole à 300 m/s dans une région où la composante verticale du champ magnétique terrestre est égale à 0,6 G. a.- Quelle est la différence de potentiel entre les extrémités des ailes? b.- Quelle valeur indiquerait un voltmètre se déplaçant avec l avion et dont les bornes seraient reliées aux extrémités des ailes? 10.- Une dynamo à disque de Faraday, qui est un exemple de générateur homopolaire, de rayon 20 cm produit 1,2 V dans un champ magnétique de 0,08 T au plan du disque. Quelle est la vitesse de rotation en tr/min? 11.- Un bêtatron est une machine qui utilise un champ électrique induit pour accélérer des électrons décrivant une trajectoire circulaire dans une cavité torique. Le champ magnétique n est pas uniforme et il varie en fonction du temps. a.- Ecris la 2 ème loi de Newton pour le mouvement circulaire d un électron, sachant que B orb est le champ magnétique sur l orbite de rayon r. Montrez que mv = e r B orb. b.- Si B moy est la valeur moyenne du champ sur la région située à l intérieur de l orbite, montre que le module du champ électrique induit est donné par E = (r/2)db moy /. d( mv) c.- Applique la 2 ème loi de Newton sous la forme F = à la force électrique sur l électron pour démontrer que B orb =B moy /2. Si cette condition est vérifiée, l électron reste sur une orbite fixe, même si sa vitesse augmente. Inductance 12.- Un solénoïde comporte 500 spires et son auto-inductance est égale à 1,2 mh. a.- Quel est le flux à travers chaque spire lorsque le courant est égal à 2A? b.- Quelle est la f.é.m induite lorsque le courant varie à raison de 35 A/s? 13.- On utilise souvent un câble coaxial pour transmettre les signaux électriques, par exemple d une antenne à un récepteur de télévision. Comme le montre la figure, un tel câble est
5 ème OS 11 constitué d un fil intérieur de rayon a parcouru par un courant I vers le haut et d un conducteur cylindrique extérieur de rayon b parcouru par un courant de même intensité dirigé vers le bas. Trouve l auto-inductance d un câble coaxial de longueur l. On néglige le flux magnétique à l intérieur du fil central. 14.- Un solénoïde dont la section transversale a une aire de 8 cm 2 comporte 20 spires/cm. Une 2 ème bobine de 40 spires est enroulé autour du solénoïde. a.- Quelle est l inductance mutuelle? b.- Si le courant dans le solénoïde varie selon I = 3t 2t 2, où t est en secondes et I en ampères, quelle est la valeur de la f.é.m induite dans la 2 ème bobine à t = 2s? c.- Quel est le premier instant auquel l énergie se répartit à parts égales entre C et L? 19.- Dans le circuit de syntonisation d une radio AM, l inductance est de 5 mh. Quel doit être l intervalle de variation de la capacité pour que le circuit puisse capter toute la bande AM comprise entre 550 khz et 1600 khz? 20.- Démontre que dans un circuit RL, toute l énergie emmagasinée dans la bobine est dissipée sous forme d énergie thermique dans la résistance. 15.- 2 solénoïdes d auto-inductances L1 et L2 et d inductance mutuelle M sont reliés en série. Montre que leur auto-inductance équivalente est L éq =L1 + L2 ± 2M. Pourquoi les 2 signes sont-ils possibles? Energie 16.- a.- Le module du champ magnétique terrestre est voisin de 1 G près de la surface. Quelle est la densité d énergie magnétique? b.- Un solénoïde de longueur 10 cm et de rayon 1 cm comporte 100 spires. Quelle est l intensité du courant qui produirait la densité d énergie trouvée à la question a)? 17.- Un câble coaxial est constitué d un fil conducteur intérieur de rayon a = 0,5 mm et d une gaine extérieure de rayon b = 2mm. Si l intensité du courant est égale à 2 A, quelle est l énergie emmagasinée sur un mètre de câble? Circuits RL 18.- Un condensateur C = 10µF a une charge initiale de 60 µc. Il est relié aux bornes d une bobine L = 8mH à t = 0. a.- Quelle est la fréquence des oscillations? b.- Quelle est l intensité maximale du courant circulant dans L?