Université Hassan 1er, Faculté polydisciplinaire de Khouribga, BP. 145, Khouribga, Maroc.
Plan du Cours 1 2 3
Chapitre 1
1. Notion d'intérêt Dénition L'intérêt peut être déni comme la rémunération d'un prêt d'argent Trois facteurs essentiels déterminent le coût de l'intérêt : la somme prêtée la durée du prêt le taux auquel cette somme est prêtée Il y a deux types d'intérêt : l'intérêt simple et l'intérêt composé
2. Intérêt simple Dénition L'intérêt simple se calcule toujours sur le principal. Il ne s'ajoute pas au capital pour porter lui même intérêt Il est versé en une seule fois au début de l'opération, c'est à dire lors de la remise du prêt, ou à la n de l'opération c'est à dire lors du remboursement. L'intérêt simple concerne essentiellement les opérations à court terme (inférieures à un an)
Calcul pratique C : le montant du capital en Dhs (valeur nominale) T : le taux d'intérêt annuel (en pourcentage) N : la durée de placement (en année) I : le montant de l'intérêt à calculer en Dhs V : la valeur acquise par le capital en Dhs (valeur aquise) Alors, on a : I = C T % N = C T 100 N V = C + I
Remarques 1 Si la durée du placement N est exprimée en mois, on aura : I = C T 100 N 12 2 Si la durée du placement N est exprimée en jours, on aura : I = C T 100 N 360
Exemples Une somme de 30000 Dhs est placée sur un compte du 23 Avril au 9 Août au taux simple de 7% 1 Calculons le montant de l'intérêt produit à l'échéance 2 Calculons la valeur acquise par ce capital 3 Cherchons la date de remboursement pour un intérêt produit égal à 315 Dhs
3. L'escompte commercial Dénition L'escompte est une opération de crédit par laquelle la banque transforme une créance, matérialisée par un eet de commerce, en liquidité au prot de son client, avant son échéance et contre remise de l'eet C'est l'intérêt simple calculé à un taux indiqué par le banquier sur une somme égale à la valeur nominale de l'eet et une durée allant du jour de la négociation jusqu'au jour de l'échéance
Calcul pratique V : la valeur nominale de l'eet, c'est la valeur de l'eet à son échéance T : le taux d'escompte N : la durée de l'escompte, c'est le nombre de jours séparant la date de négociation de l'eet de sa date d'échéance E : l'escompte commercial A : la valeur actuelle commerciale Alors, on a : E = V T 100 N 360 A = V E
Exemple Combien le banquier remettra-t-il à son client s'il lui escompte en 29-11-2013 un eet de 100.000 Dhs payable au 20-02-2014, sachant que le taux est 9%?
Agios de l'escompte Dénition La remise d'un eet à l'escompte entraîne des frais nanciers comprennant plusieurs commissions, en plus de l'escompte L'ensemble de l'escompte et des commissions s'appelle l'agio L'agio se compose de l'escompte, les diverses commissions et la taxe sur la valeur ajoutée (TVA) Au Maroc, la TVA est de 10%. Elle est appliquée directement sur l'ensemble de l'agio Hors Taxe La durée réelle de l'escompte est parfois majorée d'un ou de plusieurs jours (appelés couramment jours de banque)
Exemple Calculons la valeur actuelle de l'eet de commerce de 35.500 Dhs échéant le 27 juillet 2005 et escompté le 10 avril de la même année, aux conditions suivantes : 1 Taux d'escompte : 13% 2 Commission de manipulation : 2 Dhs par eet 3 TVA : 10% 4 Tenir compte d'un jour de banque
4. Equivalence de deux eets Dénition Deux eets sont équivalents à une date déterminée, si escomptés en même temps, ils ont la même valeur actuelle Cette date est la date déquivalence Remarques La date d'équivalence de deux eets, dans le cas ou elle existe, est antérieure à la date d'échéance la plus proche La date d'équivalence doit être postérieure aux dates à partir desquelles les deux eets ont été créés Deux eets ne peuvent être équivalents qu'à une seule date
Calcul pratique V 1, V 2 : les valeurs nominales des deux eets T 1, T 2 : les taux d'escompte N 1, N 2 : les durées d'escompte E 1, E 2 : les escomptes commerciales Alors, on a : V 1 E 1 = V 2 E 2 V 1 V 1 T 1 100 N 1 360 = V 2 V 2 T 2 100 N 2 360
Exemple A quelle date un eet de valeur nominale de 20.000 Dhs à échéance du 15 avril est-il équivalent à un eet de 20.435,68 Dhs à échéance du 14 juin de la même année sachant que le taux d'escompte est de 12, 6%? Exemple On désire remplacer un eet d'une valeur nominale de 75.000 Dhs payable dans 60 jours par un autre eet de valeur nominale de 74.600 Dhs. Quelle sera l'échéance de cet eet sachant que le taux d'escompte est de 13%?
5. Echéance commune Dénition L'échéance commune est le cas de remplacement de plusieurs eets par un seul eet L'échéance commune est l'échéance d'un eet unique qui, à la date d'équivalence, a une valeur actuelle égale à la somme des valeurs actuelles des eets remplacés
Exemple On souhaite remplacer le 15 juin les trois eets ci-dessous par un eet unique : Eet 1 : V 1 = 5.000 à échéance le 20 août Eet 2 : V 2 = 4.000 à échéance le 15 juillet Eet 3 : V 3 = 12.000 à échéance le 20 septembre Quelle est l'échéance de l'eet de 21.200 Dhs remplaçant les eets 1, 2 et 3 avec un taux d'escompte de 13%?
6. Intérêt composé Dénition Un capital est dit placé à Intérêt composé, lorsqu'à l'issue de chaque période de placement, les intérêts sont ajoutés au capital pour porter eux même Intérêts à la période suivante au taux convenu On parle alors d'une capitalisation des Intérêts Cette dernière opération est généralement appliquée lorsque la durée de placement dépasse un an
Calcul pratique C 0 : le montant du capital en Dhs (valeur nominale) T : le taux d'intérêt par période pour une durée d'un an N : Nombres de périodes de placement C N : Valeur acquise par le capital C 0 pendant N périodes Alors, la valeur acquise par le capital C 0 à la n de N périodes au taux T est donc donnée par la formule suivante : C N = C 0 (1 + T ) N
Exemple Une somme de 10000 Dhs est placée pendant 5 ans au taux annuel de 10% Quelle somme obtient-on à l'issue de ce placement? Si au bout de cette période de placement on souhaite obtenir 20000 Dhs, quelle somme doit-on placer aujourd'hui? Si la somme placée aujourd'hui est de 10000 Dhs, après combien de temps disposera-t-on d'une somme égale à 23580 Dhs? Si au bout de 5 ans la valeur acquise du placement est de 17821 Dhs, à quel taux le placement a été eectué?
Cas de placement en un nombre fractionnaire de périodes Parfois, le temps de placement est fractionnaire, par exemple 5 ans et 7 mois. Alors dans ce cas, on considère les deux solutions : la solution rationnelle et la solution commerciale. Exemple Calculons la valeur acquise d'un capital de 100.000 dirhams placé pendant une période de 5 ans et 7 mois à avec un taux de 8% l'an. ( Capitalisation annuelle )
7. Taux proportionnel - Taux équivalent Remarques 1 Les taux d'intérêt sont généralement exprimés en taux annuels. Mais, on peut considérer une période plus courte que l'année, par exemple, le semestre, le trimestre le mois ou le jour 2 La formule C N = C 0 (1 + T ) N n'est applicable que si le taux d'intérêt T et la durée N sont homogènes, c'est à dire exprimés dans la même unité de temps que la période de capitalisation 3 Si par exemple, il est convenu entre le prêteur et l'emprunteur que les intérêts doivent être capitalisés à la n de chaque mois, la formule ne sera applicable que si le taux d'intérêt est mensuel et que la durée de placement est exprimée en mois
Remarques 1 De même, les intérêts peuvent être capitalisés chaque semestre, chaque trimestre, chaque mois ou chaque jour 2 Lorsque le taux d'intérêt est annuel et l'on considère une période inférieure à l'année, le taux d'intérêt prévalant pour cette période devra être calculé. Pour ce faire, on emploie l'un des deux taux suivants : Taux proportionnel Taux équivalent
Taux proportionnel Dénition 1 Deux taux correspondants à des périodes diérentes sont dits proportionnels, lorsque leur rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitalisation respectives 2 Soit T : p : Le taux d'intérêt annuel Nombre de périodes dans l'année T p : Le taux proportionnel par période Alors, on a : T p = T p 3 T s = T 2 T t = T 4 T m = T 12 où T s est le taux semestriel où T t est le taux trimestriel où T m est le taux mensuel
Taux équivalent Dénition 1 Deux taux correspondants à des périodes de capitalisation diérentes, sont dits équivalents lorsqu'ils produisent la même valeur acquise quand ils sont appliqués au même capital 2 Soit T : p : Le taux d'intérêt annuel Nombre de périodes dans l'année T p : Le taux équivalent par période Alors, on a : T p = (1 + T ) 1 p 1 3 T s = (1 + T ) 1 2 1 où Ts est le taux semestriel T t = (1 + T ) 1 4 1 T m = (1 + T ) 12 1 1 où Tt est le taux trimestriel où Tm est le taux mensuel
Exemple 1 Calculons les taux ( semestriel, trimestriel et mensuel ) proportionnels au taux annuel T = 9% 2 Calculons les taux ( semestriel, trimestriel et mensuel ) équivalents au taux annuel T = 9% 3 Une somme de 10000 Dhs est placée pendant 3 mois au taux annuel de 12%. Calculer la valeur acquise.
Chapitre 2
1. Une annuité est une suite de ux monétaires perçus ou réglés à intervalles de temps égaux. Le versement d'annuité a pour objet soit de rembourser une dette, soit de constituer un capital ( Capital retraite, Capital éducation... ). Le terme annuité est habituellement réservé à des périodicités annuelles. Lorsque la période est diérente de l'année, il est préférable de remplacer le terme annuité par semestrialité, trimestrialité ou mensualité.
L'étude des annuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, à une date donnée, d'une suite de ux. L'annuité prend en considération la date du premier ux, la périodicité des ux, le nombre des ux et le montant de chaque ux. Lorsque les annuités sont égales, on parle d'annuités constantes, alors que lorsque leur montant varie d'une période à une autre, on parle d'annuités variables. peuvent être perçues ou versées en début de période ou en n de période.
2. constantes La valeur acquise ou la valeur actuelle d'une suite d'annuité constante dépend de la date de versement, c'est à dire début de période ou n de période Dans toute la suite, on traitera le cas d'une suite d'annuité constante de n de période
Valeur acquise On appelle valeur acquise par une suite d'annuité constante de n de période, la somme des annuités (A n ) exprimée immédiatement après le versement de la dernière annuité. On note par : A n : la valeur acquise par la suite des annuités A : l'annuité constante de n de période n : le nombre de périodes t : le taux d'intérêt par période de capitalisation Alors, la formule de capitalisation est : A n = A (1 + t)n 1 t
Valeur actuelle On appelle valeur actuelle d'une suite d'annuité constante de n de période, la somme A 0, des annuités actualisées, exprimée à la date origine càd une période avant le premier versement. On note par : A 0 : la valeur actuelle de la suite des annuités A : l'annuité constante de n de période n : le nombre de périodes t : le taux d'intérêt par période de capitalisation Alors la formule d'actualisation est : A 0 = A 1 (1 + t) n t
Application 1 Exemple Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement par une suite de 10 annuités constantes de n de période de 17.500 dirhams chacune. Capitalisation de 8% l'an. Calculer la valeur de cette suite d'annuités un an et neuf mois après le dernier versement. Quelle somme constante faut-il verser chaque année à la même date pour constituer en 12 versements deux ans après le dernier versement un capital de 500.000 dirhams chacune. Taux est de 7% l'an. Calculer un mois après le dernier versement la valeur acquise par une suite de 72 mensualités de 2.500 dirhams chacune. Taux est de 7% l'an.
Application 2 Exemple Calculer un an avant le premier versement la valeur actuelle d'une suite de 10 annuités constantes de 17.500 dirhams chacune. Taux est de 9% l'an. Calculer la valeur actuelle de cette même suite 3 ans avant le premier versement. Taux est de 9% l'an. Une dette de 300.000 dirhams, avec un taux de 9% l'an, est remboursable en 20 trimestrialités constantes, le premier versement dans 3 mois. Calculer le montant de la trimestrialité de remboursement.
Chapitre 3
1. Dénitions L'emprunt ou ordinaire se caractérise par le fait que l'emprunteur (un particulier ou une entreprise) s'adresse à un seul créancier L'emprunt s'oppose à l'emprunt obligataire par lequel l'emprunteur (une grande entreprise ou l'etat) recourt à une multitude de créanciers Le remboursement de cet emprunt s'eectue généralement, par annuités (ou les autres formes, càd mensualité, trimestrialité...) de n de période Chaque annuité est composée de deux éléments : Un remboursement d'une partie du capital emprunté, appelé l'amortissement, et une partie " intérêt " Le remboursement de l'emprunt dépend du mode d'amortissement utilisé
2. Emprunts remboursables par amortissements constants Le montant de l'emprunt est divisé en parts égales (les amortissements) en fonction du nombre de périodes de remboursement A la n de chaque période, l'emprunteur verse au prêteur une partie de la dette (amortissement) et un intérêt calculé au taux prévu sur le montant encore dû (non remboursé au prêteur) La somme de ces 2 éléments (amortissement + intérêt) forme l'annuité de remboursement
Application Exemple Une entreprise emprunte la somme de 1000000 dh en vue de faire face aux surcoûts apparus sur les marchés d'approvisionnements. Cet emprunt est remboursable en quatre fractions égales, payables à la n de chacune des quatre années, avec un taux de 12% l'an. Construisons le tableau d'amortissement de cet emprunt.
3. Emprunts remboursables par annuités constantes Selon cette formule de remboursement, ce sont les annuités (intérêts + amortissements) qui sont constantes On calcule d'abord l'annuité constante A Pour la première ligne, on commence par calculer l'intérêt i 1. Ensuite, par soustraction A i 1, on obtient le premier amortissement M 1 On calcule la dette C 1 au début de la deuxième période : C 1 = C M 1 On calcule l'intérêt i 2, et ainsi de suite...
Application Exemple Une personne emprunte 350.000 dirhams aupès d'une banque et s'engage à verser 8 annuités constantes, la première payable un an après la date du contrat avec un taux de 12%. Construisons le tableau d'amortissement de cet emprunt.