Systèmes d équations C H A P I T R E 5 Énigme du chapitre. Au début d un spectacle de danses folkloriques, il y a trois fois plus de danseurs que de danseuses. Après le départ de 8 couples, il reste sur scène cinq fois plus de garçons que de filles. Combien y avait-il de danseurs et de danseuses au début du spectacle? Objectifs du chapitre. Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique.
I/ Système de deux équations à deux inconnues Activité A. Découverte des systèmes d équations Solène et Benjamin achètent des cahiers et des stylos identiques dans la même papeterie. On note x le prix d un cahier et y le prix d un stylo.. En achetant trois cahiers et deux stylos, Solène paie 0;50 e. (a) Traduire cette information par une équation à deux inconnues, x et y. (b) Exprimer x en fonction de y, puis y en fonction de x. (c) En supposant que le prix d un cahier est 2;20 e, calculer le prix d un stylo. (d) En supposant que le prix d un stylo est ;80 e, calculer le prix d un cahier. (e) Peut-on connaître le prix d un cahier et celui d un stylo uniquement à partir du montant payé par Solène? 2. Benjamin paie 4 e pour l achat de cinq cahiers et un stylo. Traduire cette information par une équation à deux inconnues x et y. 3. Lorsque deux équations à deux inconnues doivent être vérifiées simultanément, on les présente à l aide d un système dans lequel les équations, écrites l une sous l autre, sont reliées par une accolade. On considère le système (S) ci-dessous. 3x + 2y = 0;5 () (S) 5x + y )4 (2) (a) Quelle information la première équation traduit-elle? Et la deuxième question? (b) Indiquer si les couples (2;3; ;8), (2;2; 3) et (2;5; ;5) sont des solutions du système ci-dessus. Définitions 5x + 2y = 4 est un système de deux équations du premier degré à deux inconnues désignées 2x + y = 7 par les lettres x et y. Un couple de nombres (x; y ) est solutions d un système s il vérifie simultanément les deux égalités. Exemple Soit (S) le système de deux équations à deux inconnues suivant : 5x + 2y = 4 (S) 2x + y = 7
Pour x = 2 et y = 3 : 5x + 2y = 5 2 + 2 ( 3) = 0 6 = 4 2x + y = 2 2 + ( 3) = 7 Les deux égalités sont simultanément vérifiées pour x = 2 et y = 3 donc le couple (2; 3) est solution du système (S). Faire les exercices 2 3 4 F
II/ Résolution algébrique d un système Activité B. Résoudre un système d équations Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c est trouver tous les couples de nombres (x; y ) qui vérifient chacune des deux équations. On souhaite résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant : 2x + 5y = 4 () (S) 3x + y = 7 (2). Résolution par substitution (a) Utiliser l équation (2) pour exprimer y en fonction de x. (b) Remplacer y par cette expression dans l équation (). (c) Résoudre la nouvelle équation obtenue. (d) En déduire la valeur de y. (e) Vérifier que le couple de nombres (x; y ) trouvé est bien une solution du système proposé. 2. Résolution par combinaison (a) En multipliant par 5 chaque membre de l équation (2), on obtient une nouvelle équation, que l on appellera (2 0 ). Quelle est cette nouvelle équation? (b) Additionner membre à membre les équations () et (2 0 ). En déduire la valeur de x. (c) Déterminer la valeur de y. (d) Vérifier que le couple de nombres (x; y ) trouvé est bien une solution du système proposé. Définition Résoudre un système de deux équations à deux inconnues revient à déterminer tous les couples (x; y ) qui vérifient simultanément les deux équations. ) Résolution par substitution Méthode On veut résoudre le système : par la méthode de substitution. 3x + y = 9 4x 3y = 7. On exprime y en fonction de x à l aide de la première équation. y = 9 + 3x:
2. On remplace (substitue) y par 9 + 3x dans la deuxième équation. 4x 3(9 + 3x) = 7: 3. On résout l équation à une inconnue ainsi obtenue pour trouver la valeur de x. 4x 27 9x = 7 5x = 0 x = 2 4. On remplace x par 2 dans l équation trouvée à la première étape pour trouver la valeur de y. y = 9 + 3 ( 2) y = 9 6 y = 3: 3x + y = 9 x = 2 5. Donc si alors 4x 3y = 7 y = 3 est une sollution effective de ce système :. On vérifie ensuite que le couple ( 2; 3) 4 2 3 3 = 8 9 = 7 3 2 + 3 = 6 + 3 = 9 On en déduit que le couple ( 2; 3) est la solution de ce système. 2) Résolution par combinaison Méthode On veut résoudre le système : 5x 4y = 8 2x + 5y = par combinaison.. Détermination d une des inconnues : On cherche à éliminer l inconnue y pour se ramener à une équation du premier degré à une inconnue. (a) On multiplie les deux membres de la première équation par 5 et ceux de la seconde par 4. 5 (5x 4y ) = 5 8 4 (2x + 5y ) = 4
(b) On obtient ainsi des coefficients opposés devant y dans les deux équations. 25x 20y = 40 8x + 20y = 4 (c) On ajoute membre à membre les deux équations du système ainsi obtenu pour éliminer y. 25x + 8x = 40 + 4 (d) On résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de x. 2. Détermination de l autre inconnue (a) On remplace x par 4 3 33x = 44 x = 44 33 = 4 3 = 4 3 dans l une des deux équations pour trouver y (ici la première). 5 4 3 20 3 4y = 8 4y = 8 4y = 4 3 (b) On trouve y = 5x 4y = 8 x = 4 3 3. Donc, si alors 2x + 5y = y = une solution effective de ce système :. 3 3. On vérifie ensuite que le couple ( 4 3 ; 3 ) est 5 4 4 3 3 = 20 3 + 4 3 = 24 3 = 8 2 4 3 + 5 3 = 8 5 3 3 = 3 3 = : On en déduit que le couple ( 4 ; ) est la solution de ce système. 3 3 Faire les exercices 5 6 7 8 F 9 F
III/ Résolution graphique d un système Activité C. Résoudre graphiquement un système d équations On considère le système (S) de deux équations à deux inconnues suivant : 2x + y = 5 () (S) x + y = (2). (a) À partir de l équation (), exprimer y en fonction de x. (b) Déterminer la fonction f définie par l expression précédente puis préciser la nature de cette fonction. (c) On a tracé la représentation graphique (d) de la fonction f dans le repère orthogonal ci-dessous. Justifier le tracé effectué. 6 5 4 3 2 0 2 3 4 2 (d) (d) Reproduire ce tracé dans un repère orthogonal. 2. Reprendre les question (a) et (b) à partir de l équation (2) pour une fonction que l on notera g. Tracer dans le même repère la représentation graphique (d 0 ) de la fonction g ainsi définie. 3. (a) Déterminer graphiquement les coordonnées du point I d intersection de (d) et (d 0 ). (b) Vérifier par le calcul que le couple des coordonnées de I est un couple solution du système (S). 4. (a) Proposer une méthode graphique permettant de résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues. (b) Que peut-on dire du couple solution obtenu par lecture graphique?
Propriété Si les deux équations du premier degré d un système sont associées à deux fonctions affines f et g représentées par deux droites (d ) et (d 2 ) qui se coupent en un point I, alors le couple (x I ; y I ) des coordonnées de ce point est le couple solution du système. Exemple On considère le système (S) de deux équations du premier degré à deux inconnues : 3x + y = 5 () (S) x y = (2) De l équation (), on en déduit que y = 3x + 5. On reconnaître la fonction affine f : x 7! 3x + 5. Sa représentation graphique est une droite (d ). On calcule les coordonnées de deux points de cette droite. f (0) = 3 0 + 5 = 5 f (2) = 3 2 + 5 = : La représentation graphique de la fonction f est donc la droite (d ) passant par les points A(0; 5) et B(2; ) tracée ci-dessous. De l équation (2), on en déduit que y = x, soit y = x +. On reconnaît la fonction affine g : x 7! x +. Sa représentation graphique est une droite (d 2 ). On calcule les coordonnées de deux points de cette droite : g( ) = + = 0: g(0) = 0 + = La représentation graphique de la fonction g est donc la droite (d 2 ) passant par les points C(0; ) et D( ; 0) tracée ci-dessous. 5 4 A (d ) 3 2 I (d 2 ) C D 0 2 3 B
Par lecture graphique, les droites (d ) et (d 2 ) semble être sécantes en I(; 2), donc la solution du système (S) semble être le couple (; 2). On vérifie par le calcul que le couple (; 2) est bien une solution du système (S) : 3 + 2 = 5 2 = Donc : le couple (; 2) est une solution du système (S). Faire les exercices 0 2 3 F 4 F
IV/ Résolution de problèmes Activité D. Résolution de problèmes à l aide d un système d équations La somme de deux est égale à 48 et leur différence est égale à 4. Quels sont ces deux nombres? Pour résoudre le problème ci-dessus, on appelle x le plus grand des deux nombres cherchés, et y le plus petit.. (a) Traduire la première information par une équation à deux inconnues x et y. (b) Traduire de même la deuxième information par une équation à deux inconnues x et y. 2. Le problème posé se traduit par un système de deux équations à deux inconnues. Écrire puis résoudre ce système en choisissant une des deux méthodes décrites à l activité B. 3. Quels sont les deux nombres cherchés? Méthode Un musée propose un tarif pour les adultes à 7 e et un autre pour les enfants à 4;50 e. Lors d une journée, ce musée a reçu la visite de 205 personnes et la recette totale a été de 222;50 e. Retrouver le nombre d adultes et le nombre d enfants ayant visité le musée lors de cette journée.. On repère les données non connues et on choisit les inconnues. Soit x le nombre d adultes et y le nombre d enfants. 2. On met le problème en équation, c est-à-dire on exprime les informations données dans l énoncé en fonction de x et y. 205 personnes ont visité le musée donc x + y = 205. La recette totale a été de 222;50 e donc 7x + 4;50y = 222;50. Ainsi, l énoncé se traduit par le système ci-dessous : x + y = 205 7x + 4;50y = 222;50 3. On résout le système par les méthodes données à la section II. On trouve x = 20 et y = 85. 4. On vérifie que le couple trouvé est solution du problème. 5. On conclut : 20 adultes et 85 enfants ont visité le musée lors de cette journée. Faire les exercices 5 6 7 8 F 9 F 20 F 2 F Vu au brevet : Faire les exercices 22 F 23 F 24 F