C H A P I T R E Notion de fonctions 9 Énigme du chapitre. Déterminer une fonction f de la forme f (x ) = ax 2 + bx + c telle que : f (0) = 1 ; f (1) = 1 ; f (3) = 7 ; f (5) = 21 f (10) = 91 ; f ( 3 5 ) = 19 25 Objectifs du chapitre. Déterminer l image d un nombre par une fonction determinée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.
I/ Vocabulaire Activité A. Fonctions, image et antécédent Partie A : Une cocotte-minute Pour cuire des aliments, Houcine utilise une cocotte-minute. Le processus peut être schématiser de la façon suivante : Aliment!! Aliment cuit à la vapeur 1. Qu obtient Houcine s il met chauffer un navet cru dans la cocotte-minute? 2. Reprendre la question 1 pour : (a) une carotte crue ; (b) une pommme crue. 3. (a) Pourrait-il obtenir une endive cuite en ayant inseré un brocoli cru? (b) Qu a-t-il mis dans sa cocotte-minute pour obtenir un filet de poisson cuit à la vapeur? Partie B : Un peu de mathématiques tout de même! Voici un programme de calcul : Choisir un nombre ; Le mettre au carré ; Enlever 5 au résultat ; Prendre le double du résultat obtenu. 1. On schématise tout le programme de calcul à l aide de trois «machines à compter» : la machine c, qui met au carré ; la machine d, qui calcule le double ; la machine e, qui enlève 5. Recopier et compléte le schéma ci-dessous. Machine c : 3 «au carré»! : : : Machine : : : : : : :......! : : : Machine : : : : : : :......! : : : 2. En mathématiques, ces «machines à compter» sont appelées des fonctons. (a) Que devient le nombre 11 si on lui applique la fonction c? Y-a-t-il plusieurs résultats possibles? Compléter la phrase : «On dit que le résultat obtenu est l image de 11 par la fonction c. On note c : 11 7! : : : ou c(11) = : : :.» (b) Recopier et compléter :
e : 2 7! : : : ou e(2) = : : : d : 2;8 7! : : : ou d(: : :) = : : :. 3. (a) À quel(s) nombre(s) peut-on appliquer la fonction c pour obtenir 25? Les résultats précédents sont les antécédents de 25 par la fonction c. (b) Quel est l antécdent de 17 par la fonction d? 4. (a) On appelle x un nombre. Recopier et compléter : c : x 7! : : :. On dit que la fonction c est définie par la formule c(x) = x 2. (b) Par quelle formule est définie la fonction e? la fonction d? 5. On nomme p la fonction, qui à un nombre choisi fait correspondre le résultat du programme de calcul de la question 4. Par quelle formule est définie par la fonction p? Calculer p( 2). Définition Une fonction f est un processus mathématique qui, à un nombre x, fait correspondre un nombre unique noté f (x). x f! f (x) Notations On note g : x 7! x 2 qui se lit «La fonction g qui à x associe x 2.» On dit aussi que la fonction g est définie par la formule g(x) = x 2. Exemple La fonction g, qui à un nombre x fait correspondre son carré x 2, est représentée par le schéma : x g! x 2 Pour x = 3, on a 3 g! 3 2 = 9. On note g : 3 7! 9 qui se lit «g qui à 3 associe 9» ou g(3) = 9 qui se lit «g de 3 est égal à 9». On dit alors que : 9 est l image de 3 par la fonction g. 3 est un antécédent de 9 par la fonction g. Définition Dans le schéma suivant : x g! x 2 g est la fonction. x est un antécédent de f (x) par la fonction g f (x) est l image de x par la fonction g
Remarque Par une fonction, l image d un nombre est unique, alors qu un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou aucun. Exemples 3 et 3 sont deux antécédents de 9 par la fonction g car g( 3) = ( 3) 2 = 9 et g(3) = 3 2 = 9. 1 n a aucun antécédent par la fonction g car un carré est toujours positif. Faire les exercices 1 F 2 3 F
II/ Tableau de valeurs Activité B. Lien entre fonctions, formules et tableaux Lors d une braderie, un premier commerçant A divise ses prix de ventre par 2. Un deuxième commerçant B baisse ses prix de ventes de 5 e. On considère deux fonctions, f et h, qui, aux prix de ventes initiaux, font correspondre les prix de ventes modifiés par chaque commerçant. Voici des tableaux de valeurs de ces deux fonctions. x 28 37 51 f (x) 23 32 46 x 17 26 8 h(x) 8;5 13 4 1. En observant ces tableaux, associer chaque fonction au commerçant correspondant. 2. Par lecture directe des tableaux, recopier et compléter : (a) f (37) = : : : (b) h(8) = : : : (c) f (: : :) = 46 (d) h(: : :) = 8;5 (e) L image de 26 par la fonction h est : : : (f) Un antécédent de 23 par la fonction f est : : : 3. Donner une formule qui définit la fonction f, puis faire de même avec la fonction h. Une fonction peut être aussi déterminée par un tableau de valeurs. Exemple Voici un tableau de valeurs d une fonction h x 5 8 12 h(x) 7 11 7 antécédents images D après ce tableau, on peut écrire que : 11 est l image de 8 par la fonction h ; 5 et 12 sont des antécédents de 7 par la fonction h ; h( 8) = 11 et h(5) = h(12) = 7. Faire les exercices 4 5 6 F
III/ Courbe représentative d une fonction Activité C. Courbe représentative d une fonction Kaly effectue un vol en ULM en 90 min. Il relève l attitude à laquelle il se trouve toutes les 10 min. On considère alors la fonction de la fonction a qui, à une durée d, en minutes, fait correspondre l altitude a(d), en mètres. Voici un tableau des valeurs relevées par Kaly. Durée d en minutes 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Altitude a(d) en mètres 50 400 700 880 935 910 960 825 530 50 Voici la courbe obtenue, avec un tableur, à partir des valeurs relevées. On dit que cette courbe représente la fonction a. 1. (a) D après le tableau de valeurs, à quelle altitude se trouve Kaly au bout de 10 min? au bout de 40 min? au bout de 80 min? (b) Associer un point de la courbe à chacun de ces trois résultats en précisant ses coordonnées. 2. (a) D après le tableau de valeurs, quelle est l image de 80 par la fonction a? celle de 50? (b) Sur quel axe du repère lit-on les images respectives de 80 et de 50? 3. (a) D après le tableau de valeurs, quel est l antécédent de 960 par la fonction a? (b) Sur quel axe du repère lit-on l antécédent de 960? 4. Lire graphiquement le (ou les) antécédent(s) de 700 par la fonction a, avec la précision permise par le graphique. Une fonction peut être aussi déterminée par une courbe. Définition La courbe représentative d une fonction f est l ensemble des points dont les coordonnées sont de la forme (x; f (x)).
Exemple On donne le courbe représentative de f suivante : 4 3 2 B C A 1 2 1 0 1 2 3 1 Par lecture graphique, on observe que les points A( 2; 1), B(0; 2) et C(3;2) appartiennent à la courbe représentative de la fonction f. On peut donc écrire que f ( 2) = 1, f (0) = 2 et f (3) = 2. Remarque Lorsqu une fonction est définie par une courbe représentative, on ne peut l étudier qu à partir d une lecture graphique plus ou moins précise, et pour certaines valeurs seulement. Faire les exercices 7 8 9 10 11 F 12 F Problèmes : Faire les exercices 13 F 14 F 15 F 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F