RÉSUMÉ DES FORMULES RELATIVES AUX LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES Paul Lescot 6 Mars 009 1.Préliminaires Lorsque la variable aléatoire X suit une loi discrète, les valeurs possibles de X étant a 1,...a k,... (en nombre fini ou infini) avec probabilités respectives p 1,...,p k,... (p k = P (X = a k )), alors l espérance E(X) est donnée par : E(X) = p k a k. Rappelons que p k = 1. Lorsque X suit une loi continue de densité f X, la fonction de répartition F X de X est définie par : d où : F X (a) = déf P (X a) = a f X (u)du, L espérance E(X) est donnée par : F X(a) = f X (a). On a de plus : E(X) = uf X (u)du. f X (u)du = 1. Dans l un l autre cas, la variance de X est définie par : V ar(x) = E(X ) (E(X)) son écart type par : On posera, pour a > 0, σ(x) = V ar(x). Γ(a) = 0 t a 1 e t dt ; 1 Types by AMS-TEX
PAUL LESCOT alors Γ(a + 1) = aγ(a), Γ(1) = 1, (ceci n est pas évident) Γ( 1 ) = π. On a donc, pour tout entier n 1 : Γ(n) = (n 1)!,, pour tout entier n 0 : Γ(n + 1 ) = (n 1 )(n 3 )...1 π. Rappelons les notations usuelles pour le nombre de combinaisons de k objs parmi n: ( ) n = C k n! n = k k!(n k)!..lois discrètes.1 Loi de pile ou face. La variable X prend la valeur 1 ou la valeur 1, chacune avec probabilité 1. On a E(X) = 0 V ar(x) = 1.. Loi de Bernoulli B(1, p)(p [0, 1]). X prend les valeurs 1 0 avec les probabilités respectives p 1 p : P (X = 1) = p P (X = 0) = 1 p. On a E(X) = p, V ar(x) = p(1 p) σ(x) = p(1 p). Pour p = 1, X 1 suit une loi de pile ou face (cf. l exemple.)..3 Loi binomiale. On dit que X suit une loi binomiale B(N, p) (N entier 1, p [0, 1]) si X est la somme X 1 +...X N de N variables indépendantes dans leur ensemble identiquement distribuées suivant chacune une loi B(1, p). Les valeurs possibles de X sont 0, 1,..., N, on a k {0,..., N} P (X = k) = ( ) N p k (1 p) N k. k On a E(X) = Np, V ar(x) = Np(1 p) σ(x) = Np(1 p). L exemple. correspond à N = 1..4 Loi de Poisson. On dit que X suit une loi P(λ) si les valeurs possibles de X sont les entiers 0 (0, 1,,...) que, pour chaque k N, on a : λ λk P (X = k) = e k! On a E(X) = λ, V ar(x) = λ σ(x) = λ. Lorsque λ est un réel 0 fixé que N tend vers +, la loi binomiale B(N, λ N ) converge (en un sens qui peut être rigoureusement précisé) vers une loi de Poisson P(λ)..
RÉSUMÉ DES FORMULES RELATIVES AUX LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES 3 Dans certains cas, on peut approximer la loi binomiale B(N, p) par la loi de Poisson P(N p) ; on s autorisera cte approximation dès que les trois conditions suivantes seront simultanément satisfaites : p 1 10, Np 15, N 50. Pour un exemple de cte approximation, voir le second exercice du problème. Si X suit une loi P(λ) Y une loi P(µ), alors X + Y suit une loi P(λ + µ)..5 Loi géométrique G(p) de paramètre p ]0, 1]. Ici p ]0, 1]. Supposons qu une suite d expériences donne la réponse 0 ou 1 avec probabilités respectives 1 p p, soit X le nombre d expériences nécessaires pour obtenir la réponse 1. Alors X suit une loi G(p) : les valeurs possibles de X sont les entiers strictement positifs 1,,...,, pour chaque k N, on a : On a P (X = k) = p(1 p) k 1. E(X) = 1 p, V ar(x) = 1 p p, 1 p σ(x) =. p Lorsque X suit une loi G(p) Y une loi G(q), min(x, Y ) suit une loi G(p+q pq)..6 Loi hypergéométrique. Soit une population Ω de cardinal N, divisée en deux sous populations disjointes Ω 1 Ω repectivement de cardinal n 1 de cardinal N n 1. On tire au hasard sans remise n individus de cte population, on appelle X le nombre de ceux qui appartiennent à Ω 1. Les valeurs possibles de X sont 0,..., min(n 1, n ),, pour chaque k {0,..., min(n 1, n )}, on a : P (X = k) = ( n1 )( N n1 k n k ) ( N n ). On a : E(X) = n 1n N.
4 PAUL LESCOT 3.Lois continues 3.1 La loi uniforme sur l intervalle [a, b] (a < b). Par définition, si la variable aléatoire X suit une telle loi, sa densité f X donnée par : est 0 sinon. On a f X (u) = 1 b a si a u b E(X) = a + b, V ar(x) = (b a) 1, σ(x) = b a 3. 3. Loi normale(ou Gaussienne) N (µ, σ). Ici µ σ sont deux réels avec σ > 0. La densité d une variable aléatoire X suivant cte loi est donnée par : f X (u) = 1 σ (u µ) π e σ. On a E(X) = µ σ(x) = σ. Dans le cas particulier µ = 0 σ = 1, X est dite une variable normale centrée réduite ; sa densité est donnée par : sa fonction de répartition par : f X (u) = 1 π e u du. Φ(a) = P (X a) = 1 π a Une table de la fonction Φ a été distribuée en cours. 3.3 Loi exponentielle de paramètre λ. Ici la densité est définie par : f X (x) = λe λx si x 0 e u du. f X (x) = 0 si x < 0. On a E(X) = 1 λ V ar(x) = 1 λ, d où σ(x) = 1 λ. La loi exponentielle sert à décrire l occurrence d événements rares indépendants (ex. les tremblements de terre) ; en eff, on a :
RÉSUMÉ DES FORMULES RELATIVES AUX LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES 5 a 0 h 0 P (X > a + h X > a) = P (X > h). Si les temps d occurrence d un phénomène suivent une loi exponentielle de paramètre λ, alors, pour chaque t 0, le nombre d événements intervenus dans un intervalle de temps fixé de longueur t suit une loi de Poisson de paramètre λt. 3.4 Loi du χ à n degrés de liberté. Soient G 1,...,G n n variables de loi N (0, 1), indépendantes dans leur ensemble, posons X = G 1 +... + G n. Alors la loi de X est appelé loi du χ à n degrés de liberté. Sa densité est donnée par : f X (x) = 1 n Γ( n 1 e x )xn pour x 0, f X (x) = 0 pour x < 0. On a E(X) = n, V ar(x) = n σ(x) = n. Lorsque n =, la loi de X coïncide avec la loi exponentielle de paramètre 1. 3.5 Loi de Student. On dit que la variable aléatoire X suit une loi de Student à n degrés de liberté si elle suit une loi continue de densité f X (x) donnée par : f X (x) = Γ( n+1 ) 1 nγ( n )Γ( 1 ) (1 + x n ) n+1 On a E(X) = 0 V ar(x) = n n. Supposons que U suive une loi N (0, 1) que V suive une loi du χ à n degrés nu de liberté ; alors X = suit une loi de Student à n degrés de liberté. V.